Հավանականությունների տեսություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Dice (PSF).png

Հավանականությունների տեսությունը մաթեմատիկայի բաժիններից է, որը զբաղվում է պատահական երևույթների մոդելավորմամբ և պատահականության վերլուծությամբ։ Այն մաթեմատիկական հիմք է հանդիսանում վիճակագրության համար, ինչպես նաև հաջողությամբ կիրառվում է քվանտային ֆիզիկայի, քիմիայի, կենսաբանության և այլ գիտությունների մեջ։ Հավանականությունների տեսության կարևորագույն հասկացություններից են տարրական պատահույթը, պատահական մեծությունն ու բաշխման ֆունկցիան։ Ժամանակակից հավանականությունների տեսության ճյուղերից են՝ հերթերի տեսությունը, ստոխաստիկ երկրաչափությունը, ինֆորմացիայի տեսությունը, պատահական թափառումները և այլն։

Պատմություն[խմբագրել]

Հավանականությունների տեսությունը ծագել է դեռևս միջին դարերում և նրա ուսումնասիրության առարկան սկզբնապես եղել է ազարտ խաղերի մաթեմատիկական վերլուծությունը։ Զառախաղին վերաբերող հավանականային օրինաչափություններ առաջին անգամ ուսումնասիրել են հայտնի մաթեմատիկոսներ Պիեռ Ֆերման, Բլեզ Պասկալը և Քրիստիան Հյուգենսը։ Վերջինս մեծ ներդրում ունի հավանականությունների տեսության հիմնարար գաղափարների ձևավորման գործում, մասնավորապես, նա մեկնաբանում էր հավանականությունը որպես հնարավորության չափ։ Հավանականությունների տեսությանը վերաբերող առաջին մենագրությունը պատկանում է Յակոբ Բեռնուլիին, ով անկախ պատահական մեծությունների համար ապացուցել է մեծ թվերի օրենքը։ Սկզբնապես հավանականությունների տեսության հասկացությունները չեն ունեցել խիստ մաթեմատիկական սահմանումներ։ Ժամանակակից հավանականությունների տեսության աքսիոմատիկան տվել է ռուս մաթեմատիկոս Կոլմոգորովը։ Միայն դրանից հետո հավանականությունների տեսությունը ստացավ խիստ մաթեմատիկական տեսք և վերջնականապես համարվեց մաթեմատիկայի բաժիններից մեկը։

Հավանականային Տարածություն[խմբագրել]

Հավանականային տարածությունը հավանականությունների տեսության կենտրոնական գաղափարներից է։ Այն ներմուծել է Անդրեյ Նիկոլայեվիչ Կոլոմոգորովը 1930-ական թվականներին։ Հավանականային տարածությունը (Ω,\scriptstyle \mathcal{F},P) եռյակ է, որտեղ

  1. Ω-ն կամայական բնույթի բազմություն է, որի էլէմենտները կոչվում են տարրական պատահույթներ։ Ω-ի վրա չի դրվում ոչ մի սահմանափակում, նրա տարրերը կարող են լինել բնական թվեր, Էվկլիդյան տարածության կետեր, հաջորդականություններ, երկրաչափական պատկերներ, ֆունկցիաներ, բազմություններ և այլն։ Ω-ն ըստ էության դիտարկվող փորձի բոլոր հնարավոր ելքերի բազմությունն է։
  2. \scriptstyle \mathcal{F}-ը Ω-ի ենթաբազմությունների սիգմա-հանրահաշիվ է, որի տարրերը կոչվում են պատահույթներ։ Կասենք, որ փորձի արդյունքում հանդես է եկել A պատահույթը, եթե այդ փորձի արդյունքում հանդես եկած տարրական պատահույթը A–ի էլեմնտ է։
  3. P-ն հավանականային չափ է որոշված \scriptstyle \mathcal{F}-ի տարրերի վրա։ P-ն կոչվում է հավանականություն։

Այսպիսով՝ (Ω,\scriptstyle \mathcal{F},P) հավանականային տարածությունը փորձի և հավանականության մաթեմատիկական մոդելն է։

Դիտարկենք հավանականային տարածության մի օրինակ։ Եթե պատահականորեն նետենք զառը, ապա արդյունքում որպես վերին նիստ հանդես կգա մեկից վեց կետ ունեցող նիստերից որևէ մեկը։ Դիտարկվող օրինակում Ω–ն ունի վերջավոր հզորություն, մասնավորապես այն բաղկացած է վեց տարրից՝

Ω=~\{\omega_1, \ldots, \omega_6\}, որտեղ ~\omega_i-ն i կետ պարունակող նիստն է

\scriptstyle \mathcal{F}-ը բաղկացած է Ω-ի բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունից։ \ \scriptstyle \mathcal{A} \in \scriptstyle \mathcal{F} պատահույթի հանդես գալու հավանականությունը հավասար է A-ի հզորության հարեբերությանը Ω-ի հզորությանը։

Պատահական մեծություն[խմբագրել]

Պատահական մեծությունը հավանականությունների տեսության կարևորագույն հասկացություններից է։ Հավանականային խնդիրներ ուսումնասիրելիս պատահական մեծությունը մեկնաբանվում է որպես մի մեծություն, որի արժեքները փոփոխվում են փորձի արդյունքներից կախված։ Ի տարբերություն այլ մաթեմատիկական մեծությունների, պատահական մեծությունը իր արժեքներն ընդունում է որոշակի հավանականություններով։ Պատահական մեծության մաթեմատիկական սահմանումը հետևյալն է.

Դիցուք (Ω,\scriptstyle \mathcal{F},P)–ն հավանականային տարածություն է։ ~\xi\colon\Omega \to \mathbb{R} ֆունկցիան կոչվում է պատահական մեծություն, եթե ցանկացած B Բորելյան բազմության համար B–ի նախապատկերը պատահույթ է։ Այլ կերպ ասած՝ պատահական մեծությունը տարրական պատահույթների տարածության վրա որոշված իրականարժեք չափելի (\scriptstyle \mathcal{F}–ի նկատմամբ) ֆունկցիա է։

Պատահականորեն ընտրված մարդու տարիքը, աշխատավարձը, քաշը, երեխաների քանակը հանդիսանում են պատահական մեծությունների օրինակներ։

Բաշխման ֆունկցիա[խմբագրել]

Բաշխման ֆունկցիան պատահական մեծության բնութագիրներից է։ ~\xi\colon\Omega \to \mathbb{R} պատահական մեծության բաշխման ֆունկցիան ինֆորմացիա է պարունակում այն մասին, թե ինչ հավանականություններով է ~\xi–ն ընդունում իր արժեքները։ ~\xi-ի բաշխման ֆունկցիան x \in \mathbb{R} կետում սովորաբար նշանակվում է F_{\xi}(x)–ով և սահմանվում է որպես \{\omega; \xi(\omega) \leqslant x\} պատահույթի հավանականություն՝

F_{\xi}(x)=\mathbb{P}(\xi \leqslant x ):

Այսպիսով՝ բաշխման ֆունկցիայի արժեքը x կետում դա հավանականությունն է այն բանի, որ ~\xi պատահական մեծությունը կընդունի x-ին չգերազանցող արժեք։

Մեծ թվերի օրենքը (Մ. թ. օ.)[խմբագրել]

Եթե կատարենք միևնույն փորձը մեծ թվով անգամ և հաշվենք, թե A պատահույթը կատարված փորձերից քանիսում է հանդես եկել (այդպիսի փորձերը անվանենք հաջող փորձեր), ապա հավանականության գաղափարը ինտուիտիվ կարելի է հասկանալ որպես հաջող փորձերի ու կատարված փորձերի քանակների հարաբերություն։ Սկզբնապես Մեծ թվերի օրենքը եղել է հավանականության վերոնշյալ ընկալման մաթեմատիկական ձևակերպումը, որն առաջին անգամ ապացուցել է Յակոբ Բեռնուլին։ Հետագայում Մեծ թվերի օրենքին վերաբերվող տարբեր թեորեմներ են ապացուցել Սիմեոն Պուասոնը (ով շրջանառության մեջ է դրել Մ. թ. օ. տերմինը), Պաֆնուտի Չեբիշևը և այլոք։ Այդ թեորեմներից մեկը կարելի է ձևակերպել այսպես.

Դիցուք \{\xi_i\}_{i=1}^{\infty}-ը միևնույն (Ω,\scriptstyle \mathcal{F},P) հավանականային տարածության վրա որոշված անկախ և միատեսակ բաշխված պատահական մեծությունների հաջորդականություն է։ Ենթադրենք \xi_1-ն ունի վերջավոր մաթեմատիկական սպասում՝ \mathbb{E}\xi_1 = \mu, S_n-ով նշանակենք հետևյալ գումարը.

S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \xi_i,\; n \in \mathbb{N}.

Ըստ Մեծ թվերի օրենքի՝ ցանկացած \varepsilon դրական թվի համար տեղի ունի հետևյալը.


    \lim_{n\to\infty}P\!\left(\,|S_n-\mu| < \varepsilon\,\right) = 1:

Մեծ թվերի օրենքը կարելի է մեկնաբանել այսպես. անկախ և միատեսակ բաշխված պատահական մեծությունների թվաբանական միջինը, երբ փորձերի քանակը բավականաչափ մեծ թիվ է, ցանկացած չափով քիչ է տարբերվում \mu մաթեմատիկական սպասումից, մեկին ինչքան ասես մոտ հավանականությամբ։

Կենտրոնական սահմանային թեորեմը (Կ. ս. թ.)[խմբագրել]

Կենտրոնական սահմանային թեորեմը մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ արդյունքներից է, այն բացատրում է, թե ինչու են բնության ամենատարբեր երևույթների ուսումնասիրության ժամանակ առաջանում նորմալ բաշխում ունեցող պատահական մեծություններ։

Դիցուք \{\xi_i\}_{i=1}^{\infty}-ը միևնույն (Ω,\scriptstyle \mathcal{F},P) հավանականային տարածության վրա որոշված անկախ և միատեսակ բաշխված պատահական մեծությունների հաջորդականություն է։ Ենթադրենք \xi_1-ն ունի վերջավոր մաթեմատիկական սպասում և դիսպերսիա՝ \mathbb{E}\xi_1 = \mu, \operatorname{Var}(\xi_1) = \sigma^2, իսկ S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \xi_i-ը դիտարկվող հաջորդականության առաջին n անդամների թվաբանական միջինն է։ Ըստ Կենտրոնական սահմանային թեորեմի՝

\frac{S_n - \mu n}{\sigma \sqrt n} \to N(0,1) ըստ բաշխման, երբ n \to \infty,

որտեղ N(0,1)-ը 0 մաթեմատիկական սպասմամբ և 1 դիսպերսիայով նորմալ բաշխումն է։

Վերոնշյալ արդյունքը հայտնի է դասական Կենտրոնական սահմանային թեորեմ անունով։ Գոյություն ունեն բազմաթիվ կենտրոնական սահմանային թեորեմներ, որոնցից ամենահայտնիներն են Լյապունովի ու Լինդեբերգի թեորեմները։

Արտաքին հղումներ[խմբագրել]

Գրականություն[խմբագրել]

  • Ширяев А., "Вероятность", 1989.
  • Феллер В., "Введение в теорию вероятностей и ее приложения", 1984.
  • Чистяков В., "Курс теории вероятностей", 1982.