Կատեգորիաների տեսություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Natural transformation.svg

Կատեգորիաների տեսություն, արդի մաթեմատիկայի վերացական բաժիններից. մաթեմատիկական օբյեկտներն ուսումնասիրում է դրանց կառուցվածքի հետ համաձայնեցված արտապատկերումների հետ։ Շնորհիվ իր համահյուսող և միասնականացնող դերի կատեգորիաների տեսությունը բազմությունների տեսության հետ կազմում է արդի մաթեմատիկայի հիմքը։

Կատեգորիաների տեսությունյան ուսումնասիրության առարկան, ընդհանուր առմամբ, կատեգորիաներն ու ֆունկտորներն են։ Կատեգորիայի հասկացությունը կազմվում է երեք մասից. 1. կատեգորիայի օբյեկտների համախմբություն, 2. յուրաքանչյուր A, B օբյեկտների համար տրված Mor (A, B) մորֆիզմների բազմություն (որի տարրերը նշանակվում են φ։ A→B), 3. մորֆիզմների արտադրյալ կամ համադրություն, որը մորֆիզմների յուրաքանչյուր φ։ A→B և ψ։ B→C զույգին համապատասխանեցնում է ψoφ։ A→C մորֆիզմ։ Կատեգորիայի մորֆիզմները և դրանց արտադրյալը պետք է բավարարեն հետևյալ պայմաններին. ա. ցանկացած φ։ A→B, ψ։ B→C, χ։ C→D մորֆիզմների եռյակի համար՝ χ° (ψ°φ)= (χ°φ)°φ (արտադրյալի զուգորդականություն), բ. կամայական A օբյեկտի համար գոյություն ունի այնպիսի 1A։ A→A մորֆիզմ, որ ինչպիսիք էլ լինեն φ։ A→B և ψ։ C→A մորֆիզմները՝ χ°1A=φ և 1A°ψ=ψ (միավոր մորֆիզմի գոյություն), գ. Mor (A, B) և Mor (C, D) բազմությունները չունեն ընդհանուր տարր, եթե A≠C կամ B≠D։ Կատեգորիաների երկու տարրական օրինակ. 1. օբյեկտներ համարենք հարթության բոլոր եռանկյունների բազմությունը, կամայական A, B եռանկյունների համար Mor (A, B)՝ A-ն B-ին տանող բոլոր հոմոտետիաների բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը։ 2. Օբյեկտներ համարենք հարթության բոլոր շրջանագծերը, Mor (a, b)-ն՝ a շրջանագիծը b շրջանագծին տանող հոմոտետիաների բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը (այս օրինակներում Mor (A, B) և Mor (C, D) բազմությունների հավասար հոմոտետիաները համարվում են տարբեր մորֆիզմներ, եթե A≠C կամ B≠D։

Commutative diagram for morphism.svg

Դիցուք ունենք երկու կատեգորիա՝ Ա և Բ։ Ասում են, որ տրված է Փ կովարիանտ (կոնտրավարիանտ) ֆունկտոր Ա-ից Բ, եթե Ա-ի յուրաքանչյուր A օբյեկտին համապատասխանեցված է Բ-ի որոշակի Փ (A) օբյեկտ և Ա-ի յուրաքանչյուր φ։ A→B մորֆիզմին՝ Բ-ի Փ (φ)։ Փ (A)→Փ (B) [համապատասխանաբար Փ (φ)։ Փ (B)→Փ (A)] մորֆիզմը, ընդ որում բավարարվում են հետևյալ պայմանները, ա. մորֆիզմների համադրության պատկերը համընկնում է մորֆիզմների պատկերների համադրության հետ, այսինքն՝ ցանկացած φ։ A→B և ψ։ B→C մորֆիզմների համար Փ (ψ°φ)=Փ (ψ)°Փ (φ) [համապատասխանաբար Փ (ψ°φ)=Փ (φ)°Փ (ψ)], բ. յուրաքանչյուր միավոր մորֆիզմի պատկերը միավոր մորֆիզմ է՝ Փ (1A)=1Փ (A)։ Օրինակ, եռանկյանը համապատասխանեցնելով նրան ներգծված շրջանագիծ, իսկ եռանկյունների հոմոտետիային՝ ներգծյալ շրջանագծերի համապատասխան հոմոտետիան, կստանանք ֆունկտոր վերը նշված օրինակների առաջին կատեգորիայից երկրորդի մեջ։

Կատեգորիաների տեսության դերն ու նշանակությունը մաթեմատիկայում որոշվում է նրանով, որ այնպիսի հիմնական մաթեմատիկական հասկացություններ, ինչպիսիք են բազմությունները և նրանց արտապատկերումները, խմբերը և նրանց հոմոմորֆիզմները, տոպոլոգիական տարածություններն ու նրանց հոմոմորֆիզմները են, կազմում են կատեգորիա, ընդ որում կատեգորիաների տեսությունը հնարավորություն է տալիս մասնավոր տիպի կատեգորիաներն ուսումնասիրող գիտությունների սահմաններում ծագած հասկացություններին նայել նոր, ավելի ընդհանուր տեսանկյունից։ Կատեգորիա հասկացությունը սահմանել են Էյլենբերգն ու Մակլեյնը (1945)։ Կատեգորիաների տեսության զարգացումը 50-ական թվականներին գլխավոր առմամբ կապված էր հոմոլոգիաների տեսության և հանրահաշվական տոպոլոգիայի բուռն զարգացման հետ։ Ներկայումս կատեգորիաների տեսությունը մաթեմատիկայի արագ զարգացող ճյուղերից է և հետզհետե վերածվում է ինքնուրույն գիտության։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Հայկական սովետական հանրագիտարանից, որի նյութերը թողարկված են Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) թույլատրագրի ներքո։ CC-BY-SA-icon-80x15.png