Եռանկյուն

Եռանկյունը եռակողմ բազմանկյուն է։ Այլ կերպ այն կարելի է սահմանել որպես այնպիսի պատկեր, որը կազմված է միևնույն ուղղի վրա չգտնվող երեք կետերից, և այդ կետերը զույգ առ զույգ միացնող երեք հատվածներից։ Կետերը կոչվում են եռանկյան գագաթներ, իսկ հատվածները՝ նրա կողմեր։ A, B, և C գագաթներով եռանկյունը հաճախ նշանակում են ΔABC։

Եռանկյան տեսակներ

Եռանկյունը կախված կողմերի երկարությունների փոխհարաբերությունից և անկյունների մեծությունից, լինում է ուղղանկյուն (անկյուններից մեկն ուղիղ է), բութանկյուն (անկյուններից մեկը բութ է), սուրանկյուն (երեք անկյուններն էլ սուր են),

Ուղղանկյուն	Բութանկյուն	Սուրանկյուն

հավասարակողմ կամ կանոնավոր (երեք կողմերնեն էլ հավասար են) և հավասարասրուն (հավասար են գոնե երկու կողմ)։

Հավասարակողմ	Հավասարասրուն

Եռանկյունների հավասարություն և նմանություն

Եռանկյունների հավասարություն

Եռանկյունները հավասար են, եթե հավասար են նրանց համապատասխան կողմերն ու համապատասխան անկյունները։

Եռանկյունների հավասարության հայտանիշները՝

• Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և նրանցով կազմված անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու կողմերին և նրանցով կազմված անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
• Եթե մի եռանկյան մի կողմը և նրան առընթեր անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին և նրան առընթեր անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։
• Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են։

=== Եռանկյունների նմանություն ===

Եռանկյունները նման են, եթե այդ եռանկյունների համապատասխան անկյունները հավասար են, իսկ համապատասխան կողմերի հարաբերությունը նույնն է։ Այսինքն ∆ABC և ∆A₁B₁C₁ նման եռանկյունների միջև

$\frac{AB}{A_1B_1}$ = $\frac{AC}{A_1C_1}$ = $\frac{BC}{B_1C_1}$, ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁, ∠C=∠C₁։

Եռանկյունների նմանության հիմնական թեորեմներն են՝

• Երկու եռանկյուններ նման են, եթե նրանցից մեկի երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուսի երկու անկյուններին։

• Երկու եռանկյուններ նման են, եթե նրանցից մեկի երկու կողմերը համեմատական են մյուսի երկու կողմերին և այդ կողմերով կազմված անկյունները հավասար են։

• Երկու եռանկյուններ նման են, եթե մեկի կողմերը համեմատական են մյուսի կողմերին։

Սովորեք քանի որ շատ կարևոր է

Եռանկյան հետ կապված սահմանումներ

Եռանկյան գագաթից տարված բարձրություն է կոչվում այդ գագաթից նրա դիմացի կողմը պարունակող ուղղին տարված ուղղահացը։

Եռանկյան գագաթից տարված կիսորդ է կոչվում եռանկյան անկյան կիսորդի այն հատվածը, որի միացնում է այդ գագաթը և նրա դիմացի կողմի վրա գտնվող կետը։

Եռանկյան միջնագիծ է կոչվում այդ գագաթը և դիմացի կողմի միջնակետը միացնող հատվածը։

Եռանկյան միջին գիծ է կոչվում նրա երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը։

Ուղղանկյուն եռանկյուն է կոչվում այն եռանկյունը, որի ներքին անկյուններից մեկը 90 աստիճան է (ուղիղ անկյուն)։ Այդ անկյան դիմացի կողմը կոչվում է ներքնաձիգ, իսկ կից կողմերը կոչվում են ուղղանկյուն եռանկյան էջեր։

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուս է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին՝

$\sin \alpha = \frac {a} {h}\,.$

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոսինուս է կոչվում կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին՝

$\cos \alpha = \frac {b} {h}\,.$

Ուղղանկյուն եռանկյուն

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան տանգենս է կոչվում հանդիպակաց էջի հարաբերությունը կից էջին՝

$\tan \alpha = \frac {a} {b}\,.$

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոտանգենս է կոչվում կից էջի հարաբերությունը հանդիպակաց էջին՝

$\cot \alpha = \frac {b} {a}\,.$

Եռանկյունների հետ կապված հիմնական փաստեր

Եռանկյունների մասին հիմնական փաստերը ուսումնասիրվել են Էվկլիդեսի կողմից իր «Սկզբունքներ» ձեռնարկի 1–4 գրքերում մոտ մ․թ․ա․ 300 թ․-ին։

d-ն պատկերված եռանկյան արտաքին անկյունն է։

Էվկլիդեսյան երկրաչափությունում եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է 180 աստիճանի։ Այստեղից հետևում է, որ ցանկացած եռանկյան անկյուններից գոնե երկուսը սուր են։

Եռանկյան տրված գագաթի արտաքին անկյուն կոչվում է եռանկյան այդ գագաթի անկյանը կից անկյունը։ Եռանյան տրված գագաթի անկյունը նույն գագաթի ներքին անկյան հետ չշփոթելու համար, այն անվանում են ներքին անկյուն։ Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է նրան ոչ կից երկու ներքին անկյունների գումարին։

Եռանկյան ցանկացած երկու կողմերի երկարությունների գումարը միշտ մեծ է երրորդ կողմի երկարությունից։ Այս հատկությունը կոչվում է եռանկյան անհավասարություն։

Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված միջնագիծը, կիսորդը և բարձրությունը համընկնում են։

Եռանկյան երեք միջնագծերը հատման կետով տրոհվում են 2:1 հարաբերությամբ մասերի, հաշված գագաթից։

Եռանկյան երեք միջնագծերը հատման կետով տրոհվում են 2:1 հարաբերությամբ մասերի, հաշված գագաթից։ Միջնագծերի հատման կետը հանդիսանում է նաև համասեռ եռանկյունաձև մարմնի ծանրության կենտրոնը։

Եռանկյանը արտագծած շրջանագիծ

Եռանկյանը արտագծած շրջանագիծ է կոչվում այն շրջանագիծը, որը անցնում է եռանկյան բոլոր գագաթներով։ Եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է եռանկյան կողմերի միջնակետերով անցնող և այդ կողմերին տարած ուղղահայացների հատման կետում։

Եռանկյանը ներգծած շրջանագիծ

Եռանկյանը ներգծած շրջանագիծ է կոչվում այն շրջանագիծը, որը շոշափում է եռանկյան բոլոր կողմերը։ Եռակյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է կիսորդների հատման կետում։

Պյութագորասի թեորեմ։ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին՝

$a^2 + b^2 = c^2\,$։

Կոսինուսների թեորեմ։ Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին՝ հանած այդ կողմերի և նրանցով կազմված անկյան կոսինուսի կրկնապատիկ արտադրյալը՝

c² = a² + b² – 2ab cos γ։

Այն հանդիսանում է Պյութագորասի թեորեմի ընդհանրացված տարբերակը։

Սինուսների թեորեմ։ Եռանկյան կողմերը համեմատական են հանդիպակաց անկյունների սինուսներին՝

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.$

Սինուսների թեորեմից հետևում է, որ եռանկյան մեծ անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմ, մեծ կողմի դիմաց՝ մեծ անկյուն։

Եռանկյան մակերես

Եռանկյան մակերեսը հավասար է նույն հիմք և բարձրություն ունեցող զուգահեռագծի մակերեսի կեսին։

Եռանկյան մակերեսի ամենատարածված հավասարումն է նրա կողմի և այդ կողմին տարված բարձրության արտադրյալի կեսը՝

$\mathrm{S}=\frac{1}{2}bh$։

Եռանկյան մակերեսը հավասար է նույն հիմք և բարձրություն ունեցող զուգահեռագծի մակերեսի կեսին։

Մակերեսը հաշվելու բանաձևեր.

1. $S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} bh_b$, քանի որ $\ h_b = a \sin \gamma$, ուստի
2. $S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} ab \sin \gamma$
3. $S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr$
4. $S_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}$
5. $S_{\triangle ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = {1 \over 4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}$ — Հերոնի բանաձև
6. $S_{\triangle ABC}= \frac {a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}$
7. $S_{\triangle ABC}= {2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}$
8. $S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}=\frac {\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|}{2}=$
   $=\frac {\left|(x_B - x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)\right|}{2}$
9. $S_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2}=r^2+2rR$ — ուղղանկյուն եռանկյան համար
10. $S_{\triangle ABC}=\frac {c^2}{2(ctg\alpha+ctg\beta)}$ — եթե հայտնի է եռանկյան մեկ կողմը և նրան կից անկյունները

Որտեղ

• $\ h_b$ — $\ b$ կողմիին տարված բարձրությունն է,
• $p=\frac {a+b+c}{2}$ — պարագծի կեսն է,
• $\ r$ — ներգծած շրջանի շառավիղն է,
• $\ R$ — արտագծած շրջանի շառավիղն է,
• $\ (x_A, y_A) ; (x_B, y_B) ; (x_C, y_C)$ — եռանկյան գագաթների կոորդինատներն են։

Միջին գիծ

Եռանկյան միջին գիծը , եռանկյան երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածն է:

Աղբյուրներ

• Ա. Վ. Պոգորելով «Երկրաչափություն», 1988։
• М. Я. Выгодский «Справочник по высшей математики», 1977։