Մինկովսկու դիագրամ

Մինկովսկու դիագրամը դադարի վիճակում գտնվող հաշվարկման համակարգի (x, t),շարժվող համակարգի (x′, t′), լուսային կոնի և ժամանակն ու տարածությունը նշող հիպերբոլներով։

Մինկովսկու դիագրամ, տարածաժամանակային դիագրամ, դիագրամներ, որոնք մշակել է Հերման Մինկովսկին 1908 թվականին՝ հարաբերականության հատուկ տեսությունում տարածության և ժամանակի հատկությունները լուսաբանելու համար։ Թույլ է տալիս քանակապես և առանց մաթեմատիկական հավասարումների հասկանալ ժամանակի դանդաղման և երկարության կրճատման տիպի երևույթները։

Մինկովսկու դիագրամ տերմինն օգտագործվում է թե՛ ընդհանուր, թե՛ մասնավոր իմաստներով։ Մինկովսկու ընդհանուր դիագրամը Մինկովսկու տարածաժամանակի մի հատվածի գրաֆիկական պատկերումն է, հաճախ այն հատվածի, որտեղ տարածությունը կրճատվել է մինչև մեկ չափողականություն։ Այս երկչափ դիագրամները համաշխարհային գծերը պատկերում են որպես կորեր հարթության մեջ, ինչը համապատասխանում է տարածական առանցքի երկայնքով շարժմանը։ Ուղղահայաց առանցքը սովորաբար ժամանակայինն է։

Մինկովսկու մասնավոր դիագրամը լուսաբանում է Լորենցի ձևափոխության արդյունքները։ Հորիզոնական գիծը անշարժ դիտորդի տեսանկյունից համապատասխանում է միաժամանակյա իրադարձություններին։ Լորենցի ձևափոխություններն իրար է կապում երկու իներցիալ հաշվարկման համակարգեր, որտեղ դիտորդը արագության փոփոխություն է նշում (0, 0) իրադարձության դեպքում։ Դիտորդի նոր ժամանակային առանցքը α անկյուն է ձևավորում նախկին ժամանակի առանցքի հետ, որտեղ α < π/4։ Լորենցի ձևափոխությունները կիրառելուց հետո նոր միաժամանկյա իրադարձությունները նախկին միաժամանակյա իրադարձությունների նկատմամբ α֊ով շեղված են պատկերվում։

Հիմքը

Աղբյուրից դեպի աջ շարժվող ֆոտոնը համապատասխանում է իրադարձությունների դեղին հետագծին, որը 45° թեքությամբ գիծ է։

Պարզեցնելու համար Մինկովսկու դիագրամները, սովորաբար միայն մեկ տարածական և մեկ ժամանակային չափումով իրադարձություններն են դիտարկվում։ Ի տարբերություն սովորական տարածա֊ժամանակային դիագրամների, հեռավորությունը պատկերվում է հորիզոնական առանցքով, իսկ ժամանակը՝ ուղղահայաց։ Այս դեպքում տարածության մեկ չափողականության մեջ կատարվող իրադարձությունները հեշտությամբ կարելի է փոխադրել դրագրամի հորիզոնական գծի վրա։ Կարելի է մտածել, որ դիագրամում պատկերված մարմինները ժամանակի ընթացքում ներքևից վերև են շարժվում։ Այս դեպքում յուրաքանչյուր մարմին դիագրամում ունի որոշակի կոր, որը կոչվում է համաշխարհային գիծ։

Դիագրամի վրա յուրաքանչյուր կետ որոշակի դիրք է ներկայացնում տարածության և ժամանակի մեջ։ Այդ դիրքը կոչվում է իրադարձություն, անկախ նրանից՝ որևէ բան կատարվո՞ւմ է այդտեղ թե՞ ոչ։

Հետագիծ֊ժամանակ դիագրամը նյուտոնյան ֆիզիկայում

Նյուտոնյան ֆիզիկայում երկու դիտորդներն էլ A իրադարձությունը ժամանակի նույն կետում են տեսնում։

Դիագրամում x-ով և ct֊ով նշված սև առանցքները դիտորդի կոորդինատական համակարգն են, որը մենք կհամարենք դադարի վիճակում գտնվող և որը x = 0 կետում է։ Դրա համաշխարհային գիծը համընկնում է ժամանակի առանցքին։ Այս առանցքին զուգահեռ յուրաքանչյուր գիծ կհամապատասխանի դադարի վիճակում, բայց այլ կետում գտնվող մարմնի։ Իսկ կապույտ գիծը նկարագրում է դեպի աջ հաստատուն v արագությամբ շարժվող մարմին։

ct′֊ով նշված այս կապույտ գիծը կարելի է ներկայացնել որպես ժամանակի առանցք երկրորդ դիտորդի համար։ Հետագծի առանցքի հետ (x֊ով նշվածը, որը նույնական է երկու դիտորդների համար) ներկայացնում է նրա կոորդինատական համակարգը։ Երկու դիտորդներն էլ համաձայն են իրենց կոորդինատական համակարգերի սկզբնակետերի շուրջ։ Շարժվող դիտորդի համար առանցքները ուղղահայաց չեն միմյանց, իսկ ժամանակի առանցքի մասշտաբը մեծացած է։

Դիագրամում պատկերված A իրադարձության ժամանակը նույնն է եևկու դիտորդների համար։ Տարբերվում են միայն դիրքերը, քանի որ շարժվող դիտորդը մոտենում է A իրադարձության գտնվելու վայրին t = 0֊ից ի վեր։ Առհասարակ x առանցքին զուգահեռ գծի վրա գտնվող բոլոր իրադարձությունները երկու դիտորդների համար միաժամանակ են տեղի ունենում։ Կա միայն մեկ ընդհանրական ժամանակ t = t′, որը համապատասխանում է միայն մեկ ընդհանուր հետագծային առանցքի։ Մյուս կողմից երկու տարբեր ժամանակային առանցքների պատճառով դիտորդները սովորաբար տարբեր հետագծային կոորդինատներ են չափում միևնույն իրադարձության համար։ x֊ից և t֊ից x′֊ին և t′֊ին և հակառակն այս գրաֆիկական անցումը մաթեմատիկորեն նկարագրվում է Գալիլեյի ձևափոխություններով։

Մինկովսկու դիագրամը հարաբերականության հատուկ տեսությունում

Հարաբերականության տեսությունում յուրաքանչյուր դիտորդ A իրադարձությանը տարբեր տեղադրություն և ժամանակ է վերագրում։

1905 թվականին Ալբերտ Այնշտայնը հայտնաբերեց, որ նյուտոնյան նկարագրությունը ճիշտ չէ։ Հերման Մինկովսկու (1908) հետ նա գրաֆիկական ներկայացում մշակեց։ Տարածության և ժամանակի հատկություններն այնպիսին են, որ շարժվող մարմինների դեպքում կոորդինատական ձևափոխություններն այլ օրենքների են ենթարկվում։ Մասնավորապես, իրադարձությունները, որոնք մի դիտորդի տեսանկյունից թվում են միաժամանակ, մյուսի համար կարող են տարբեր ժամանակներում տեղի ունենալ։

Մինկովսկու դիագրամներում այս միաժամանակության հարաբերականությունը համապատասխանում է շարժվող մարմնի համար առանձին հետագծային առանցքի։ հետևելով վերը նկարագրված կանոնին, յուրաքանչյուր դիտորդ իր հետագծային առանցքին զուգահեռ իրադարձությունները ներկայացնում է որպես միաժամանակ տեղի ունեցող։ Իրադարձությունների հաջորդականությունը դիտորդի տեսանկյունից կարելի է գրաֆիկորեն պատկերել դիագրամում այս գիծը ներքևից վերև տեղաշարժելով։

Եթե ժամանակի առանցքը t֊ի փոխարեն ct֊ի միավորներով է ընտրվում, երկու հետագծային առանցքների կազմած α անկյունը կհամընկնի երկու ժամանակային առանցքների կազմած անկյանը։ Սա բխում է հարաբերականության տեսության երկրորդ պոստուլատից, ըստ որի՝ լույսի արագությունը նույնն է բոլոր դիտորդների համար, անկախ նրանց հարաբերական շարժումից։ α֊ն տրվում է

$\tan(\alpha )={\frac {v}{c}}=\beta$

արտահայտությամբ։

Տարբեր սանդղակներով առանցքներ

x֊ից և t֊ից x′֊ի և t′֊ի և հակառակը մաթեմատիկորեն նկարագրվում է Լորենցի ձևափոխություններով։ Այդ ձևափոխությունների արդյունքում առաջացած տարածական և ժամանակային առանցքները Մինկովսկու դիագրամի վրա համապատասխանում են հիպերբոլների։ Առանցքների մասշտաբները տրվում են հետևյալ կերպ․ եթե U֊ն ct և x առանցքների միավոր երկարությունն է, ct′ և x′ առանցքներինը համապատասխանաբար կլինի

$U'=U\cdot {\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}$։

ct-առանցքը ներկայացնում է S֊ում դադարի վիճակում գտնվող ժամացույցի համաշխարհային գիծը, U֊ն տևողությունն է այդ համաշխարհային գծի վրա տեղի ունեցող երկու իրադարձությունների միջև։ Այն կոչվում է նաև այդ երկու իրադարձությունների սեփական ժամանակ։ x առանցքի U երկարությունը S֊ում դադարի վիճակում գտնվող ձողի սեփական երկարությունն է։ Նույնը ճիշտ է S′֊ում U′֊ի, ct′-ի և x′-ի համար։