Հիպերբոլ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Սահմանում[խմբագրել]

Հիպերբոլ կոչվում է հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների տարբերության մոդուլը տրված երկու F_1 և F_2 կետերի (որոնք կոչվում են հիպերբոլի ֆոկուսներ) հաստատուն է` ‎|‎ P  F_1 - P F_2 | =2a, a>0===

HyperbolaCentralEquation.png

F_1 F_2 հատվածի երկարությունը, որը կնշանակենք 2c-ով, կոչվում է ֆոկուսային հոռավորություն , իսկ F_1 F_2-ի միջնակետը` հիպերբոլի կենտրոն։ Հարթության վրա ուղղանկյուն կորդինատային համակարգն ընտրենք այնպես, որ Ox առանցքն անցնի F_1 և F_2 կետերով, իսկ Oy առանցքը` F_1 F_2-ի միջնակետով (դիտել նկարը)։ Այդ դեպքում F_1 և F_2 կետերի կոորդինատները համապատասխանաբար կլինեն (-c;0) և (c;0)։ Դիցուք M(x;y)-ը հիպերբոլի կամայական կետ է. ըստ պարաբոլի սահմանման`

‎|‎ P  F_1  - P F_2  | =2a

կամ

PF_1 - PF_2= ± 2a

Օգտվելով երկու կետերի հեռավորության բանաձևից` ստանում ենք`

\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2}= ± 2a (1)

Սա էլ հենց հանդիսանում է հիպերբոլի հավասարումը ընտրված կոորդինատային համակարգում։ Երկրորդ գումարելին տանենք հավասարման աջ մաս և երկու կողմը բարձրացնենք քառակուսի,

(x+c)^2 + y^2=4a^2 ± 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2 + y^2

Պարզ ձևափոխություններից հոտո ստանում ենք `

(c^2-a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2-a^2)

Քանի որ ( ըստ եռանկյան անահավասարության ) c>a, ապա c^2-a^2>0:Նշանակելով b^2 = c^2-a^2, կստանանք

b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2

Կամ

 \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 , (2) 

որը կոչվում է հիպերբոլի կանոնական հավասարում:Ինչպես և էլիպսի դեպքում , կարելի է ցույց տալ , որ ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը (2)-ին բավարարող ցանկացած M(x;y) կետ բավարարում է նաև (1)-ին: Ox առանցքը կոչվում է հիպերբոլի իրական առանցք Oy-ը` կեղծ առանցք։ 2a-ն և 2b-ն կոչվում են հիպերբոլի իրական և կեղծ առանցքների երկարություններ։ w = \frac{c}{a} -ն (որտեղ` w=ε) կոչվում է հիպորբոլի էքսցենտրիսիտետ։ Էլիպսի և հիպերբոլի համար x = - \frac{a}{w} (որտեղ` w=ε) և x = \frac{a}{w} (որտեղ` w=ε) ուղիղնեռը կոչվում են դիրեկտրիստներ։