Էլիպս

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Ellipse Properties.svg

Էլիպս երկրաչափական պատկեր է։ Էլիպս է կոչվում հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների գումարը տրված երկու
 F_1 և  F_2 կետերից հաստատուն է և մեծ է  F_1 F_2 հատվածի երկարությունից։ Այդ հաստատունը կնշանակենք 2a-ով։  F_1 -ը և  F_2 -ը կոչվում են էլիպսի ֆոկուսներ, իսկ  F_1 F_2 հատվածի երկարությունը կնշանակենք 2c-ով, և կանվանենք ֆոկուսային հեռավորություն:

Էլիպսի հավասարումը[խմբագրել]

Հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգն ընտրենք այնպես , որ Ox առանցքն անցնի  F_1 և  F_2 կետերով , իսկ Oy առանցքը`  F_1 F_2 հատվածի միջնակետով : Այս դեպքում , ըստ սահմանման , էլիպսի ցանկացած P(x, y) կետի համար`

P F_1 + P F_2 = 2a

Հաշվի առնելով , որ  F_1 կետի կոորդինատներն են  F_1 (-c;0) , իսկ  F_2 կետինը  F_1 (c;0), երկու կետի հեռավորության բանաձևից ստանում ենք`

 \sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a

Սա էլ հենց հանդիսանում է էլիպսի հավասարումը ընտրված կոորդինատային համակարգում։ Փորձենք այն գրել կոմպակտ տեսքով։ Դրա համար երկրորդ գումարելին տեղափոխենք հավասարման աջ մաս և երկու կողմերը բարձրացնենք քառակուսի`

 ~(x+c)^2+y^2 = 4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2

Պարզեցումներից հետո ստանում ենք`

  ~(a^2-c^2)x^2+a^2y^2 = a^2(a^2-c^2)

Քանի որ  ~a > c , ապա  ~a^2-c^2 > 0 : Նշանակենք  ~b^2 = a^2-c^2 , ուստի  b = \sqrt{a^2-c^2} հետևաբար հավասարումը կընդունի հետևյալ տեսքը`

 ~b^2x^2+a^2y^2 = a^2b^2

կամ

 ~\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

որը կոչվում է էլիպսի կանոնական հավասարում : Այստեղ 2a-ն և 2b-ն կոչում են էլիպսի համապատասխանաբար մեծ և փոքր առանցքների երկարություններ, իսկ կոորդինատների սկզբնակետը` քլիպսի կենտրոն :  e = \frac{c}{a} թիվը կոչվում է էլիպսի էքսցենտրիսիտետ : Կոորդինատային առանցքների հետ հատման կետերը կոչվում են էլիպսի գագաթներ :

Դիտողություն[խմբագրել]

Նշենք, որ իրականում մենք ցույց տվեցինք, որ(1) հավասարմանը բավարարող ցանկացած M(x;y) բավարարում է նաև (2) հավասարմանը։ Կարելի է ցույց տալ, որ ճիշտ է նաև հակառակը, այսինքն (2)-ին բավարարող ցանկացած M(x;y) կետ բավարարում է նաև (1)-ին։ Օրինակ։ Գտնել հետևյալ հավասարումով տրված էլիպսի ֆոկուսների հեռավորությունը և էքսցենտրիսիտետը։

 ~3x^2+4y^2 = 5

Լուծում[խմբագրել]

հավասարման երկու մասը բաժանելով 5-ի` ստանում ենք

 \frac{x^2}{\frac{5}{3}} +\frac{y^2}{\frac{5}{4}}=1

ուստի  a =  \sqrt{\frac{5}{3}} ;  b =  \sqrt{\frac{5}{4}}  ~{c^2}={a^2} - {b^2} = {\frac{5}{3}} - {\frac{5}{4}} = {\frac{5}{12}} , ~2c=2\sqrt{\frac{5}{12}}  e = \sqrt{\frac{5}{12}} : \sqrt{\frac{5}{3}} =  {\frac{1}{2}}