Էյլերյան ինտեգրալներ

Էյլերյան ինտեգրալներ, բետա $(B(x,y))$ և գամմա $(\Gamma (x))$ ֆունկցիաների ընդհանուր անվանումը։ Բետա և գամմա ֆունկցիաները $x$ և $y$ արգումենտների դրական արժեքների համար սահմանվում են $\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$ և $\Gamma (x)=\int \limits _{\mathrm {0} }^{\infty }\!{e^{-1}t^{x-1}\,dt}$ բացարձակ զուգամետ ինտեգրալների միջոցով և անընդհատ են համապատասխանաբար հարթության ($x>0,y>0$) մասում և $(0,+\infty )$ կիսառանցքի վրա։ $B(x,y)$և $(\Gamma (x))$ ֆունկցիաները համապատասխանաբար բինոմային գործակիցների $(C_{m}^{n})$ և ֆակտորիալի $(n!)$ գաղափարները ընդհանրացնում են անընդհատ փոփոխվող արգումենտի համար։ Մասնավոր դեպքում, երբ $x,y$-ը բնական թվեր են՝ $B(n,m)={\frac {1}{mC_{m+n-1}^{n-1}}},\Gamma (n+1)=n!$: Էյլերյան ինտեգրալների միջև $B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$ կապի շնորհիվ $B(x,y)$ ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը բերում է $\Gamma (x)$-ի ուսումնասիրությանը։ Ունեն լայն կիրառություն, մեծ դեր են խաղում հատուկ ֆունկցիաների տեսությունում։ Էյլերյան ինտեգրալների առաջին անգամ ուսումնասիրել են Ի. Նյուտոնն ու Ջ. Վալիսը։ Հետագայում դրանք ավելի մանրամասն ուսումնասիրել է Լ. Էյլերը։ Էյլերյան ինտեգրալներ անվանումը տվել է մաթեմատիկոս Լեժանդրը։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 49)։