Պլանկի միավորներ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Պլանկի միավորներ, ֆիզիկական մեծությունների չափման միավորներ, սահմանվում են հինգ հիմնարար ֆիզիկական հաստատունների միջոցով այնպես, որ այդ հիմնարար հաստատունների արժեքը Պլանկի միավորներով արտահայտվելու դեպքում հավասար լինի 1։ Տեսական ֆիզիկայի համար Պլանկի միավորներն ունեն մեծ նշանակություն, քանի որ թույլ են տալիս էապես պարզեցնել որոշ ֆիզիկական օրենքների մեջ մտնող հանրահաշվական արտահայտությունները՝ կրճատելով գոնե հինգ հաստատունները։ Պլանկի միավորները հատկապես գործածվում են միասնական տեսություններում, ինչպես, օրինակ, քվանտային ձգողականության մեջ։ Առաջին անգամ 1899 թ. առաջարկել է գերմանացի ֆիզիկոս Մաքս Պլանկը։ Այս միավորները հայտնի են նաև բնական միավորներ անունով, քանի որ դրանց սահմանման ակունքը բխում է հիմնարար ֆիզիկական տեսությունների հատկություններից, ոչ թե փորձի պարամետրերից։ Կան նաև բնական միավորների այլ համակարգեր, սակայն Պլանկի միավորները եզակի են այն իմաստով, որ կախված են բացառապես վակուումի հատկություններից։ Համապիտանի հաստատունները, որոնք Պլանկի միավորների միջոցով նորմավորվում են 1-ի, հետևյալն են՝

Այս հաստատուններից յուրաքանչյուրը կապված է նվազագույնը մեկ հիմնարար ֆիզիկական տեսությունների հետ, օրինակ, с-ն՝ էլեկտրամագնիսականության և հատուկ հարաբերականության տեսության, G-ն՝ ընդհանուր հարաբերականության տեսության և նյուտոնյան գրավիտացիայի, ħ-ը՝ քվանտային մեխանիկայի, ε0-ն (ke-ն)՝ էլեկտրաստատիկայի, kB-ն՝ թերմոդինամիկայի և վիճակագրական ֆիզիկայի։ Պլանկի միավորները երբեմն կոչվում են «Աստծո միավորներ» [1][2], քանի որ դրանք զերծ են մարդակենտրոն կամայականություններից։ Որոշ ֆիզիկոսներ պնդում են, որ արտերկրային բանականության հետ շփվելիս, հասկանալի լինելու համար, համար հարկ կլինի ունենալ նման միավորների համակարգ[3]։ Ի տարբերություն մետրի և վայրկյանի, որոնք պատմական պատճառներով մտնում են ՄՄ համակարգի հիմնական միավորների մեջ, Պլանկի երկարությունը և Պլանկի ժամանակը կոնցեպտուալ կերպով կապված են միմյանց հետ հիմնարար ֆիզիկական մակարդակում։


Բնական միավորները թույլ են տալիս ֆիզիկոսների նորովի ձևակերպել հարցերը։ Ամերիկացի ֆիզիկոս, Նոբելյան մրցանակակիր Ֆրենկ Վիլչեկը ասում է. Մենք տեսնում ենք, որ դրվում է ոչ թե «Ինչո՞ւ է այդքան թույլ գրավիտացիան» հարցը, այլ, ավելի ճիշտ, «ինչո՞ւ է այդքան փոքր պրոտոնի զանգվածը» հարցը։ Բնական (Պլանկի) միավորների համար ձգողության ուժը պարզապես այնպիսին է, ինչպիսին կա՝ հիմնական մեծություն, մինչդեռ պրոտոնի զանգվածը չնչին թիվ է (1 / (13 քվինտիլիոն)[4]։

Հայտնի է, որ երկու պրոտոնների էլեկտրաստատիկ վանողության ուժը (ազատ տարածության համար) էապես մեծ է դրանց գրավիտացիոն ձգողականության ուժից։ Պլանկի միավորների տեսանկյունից, սակայն, այս դրույթը ոչ թե երկու ուժերի համեմատություն է, այլ՝ այն փաստի արձանագրումը, որ պրոտոնի լիցքը մոտավորապես հավասար է Պլանկի լիցքին, մինչդեռ պրոտոնի զանգվածը էապես փոքր է Պլանկի զանգվածից։

Հիմնական միավորները[խմբագրել]

Չափման բոլոր համակարգերն ունեն հիմնական միավորներ, օրինակ, Միավորների միջազգային համակարգում հիմնական միավորը մետրն է։ Պլանկի միավորների համակարգում երկարության հիմնական միավորը կոչվում է պարզապես Պլանկի երկարություն, ժամանակի հիմնական միավորը՝ Պլանկի ժամանակ և այլն։ Այս միավորները ածանցվում են Աղ. 1-ում նկարագրված համապիտանի ֆիզիկական հաստատուններից այնպես, որ վերջիններս հաշվարկվում են ֆիզիկական օրենքների հիմնարար հավասարումներից, եթե ֆիզիկական մեծություններն արտահատված են Պլանկի միավորներով։ Օրինակ, Նյուտոնի ձգողականության օրենքիը՝

 F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}

կարող է արտահայտվել որպես

 \frac{F}{F_\text{P}} = \frac{\left(m_1/m_\text{P}\right) \left(m_2/m_\text{P}\right)}{\left(r/ l_\text{P}\right)^2}:

Երկու հավասարումներն էլ համարժեք են ցանկացած չափման միավորների համակարգում, սակայն երկրորդ հավասարման մեջ բացակայում է G-ն։ Եթե ընդունենք, որ բոլոր ֆիզիկական մեծություններն արտահայտվում են Պլանկի միավորներով, երկրորդ հավասարման մեջ հանդես եկող հարաբերությունները հնարավոր կլինի ներկայացնել իրենց ֆիզիկական մեծությունների սիմվոլներով, առանց սանդղավորելու ըստ իրենց համապատասխանող միավորների՝

 F = \frac{m_1 m_2}{r^2} \ :

Որպեսզի վերջին հավասարումը ճիշտ լինի, (առանց G-ի), F-ը, m1-ը, m2-ը և r-ը պետք է ընկալվեն որպես այդ մեծությունների չափաղականություն չունեցող թվային արժեքներ՝ չափված Պլանկի միավորներով։ Այս պատճառով Պլանկի միավորներին կամ այլ բնական միավորներին պետք է զգուշությամբ վերաբերել. չնայած դրանք թույլ են տալիս մաթեմատիկորեն հեշտացնել աշխատանքը, սակայն կարող են շփոթության հանգեցնել ֆիզիկայի տեսանկյունից։

Աղյուսակ 1. հիմնարար ֆիզիկական հաստատուններ
Հաստատունը Նշանակումը Չափողականությունը Արժեքը միավորների միջազգային համակարգում
Լույսի արագությունը վակուումում c L T −1 2,99792458

×108 մ/վ
(ճշգրիտ ըստ մետրի սահմանման)

Գրավիտացիոն հաստատուն G L3 M−1 T −2 6,67384(80)·10−11 մ3 · վ−2 · կգ−1
Պլանկի կրճատված հաստատուն ħ = h/2π
որտեղh-ը Պլանկի հաստատունն է
L2 M T −1 1,054 571 726(47)×10−34 Ջ•վ
Կուլոնի հաստատուն (4πε0)−1
որտեղ ε0վակուումի դիէլեկտրիկական թափանցելիությունն է
L3 M T −2 Q−2 8,9875517873681764×109 Ն•մ2/Կլ2
(ճշգրիտ ըստ մետրի և ամպերի սահմանման)
Բոլցմանի հաստատուն kB L2 M T −2 Θ−1 1.3806488(13)×10−23 Ջ·Կ−1

Արված են հետևյալ նշանակումները՝ L = երկարություն, M = զանգված, T = ժամանակ, Q = էլեկտրական լիցք, Θ = ջերմաստիճան։

Ինչպես երևում է վերևից, իրարից 1 Պլանկի երկարություն հեռավորության վրա գտնվող 1 Պլանկի զանգվածով երկու մարմինների փոխադարձ ձգողականության ուժը 1 Պլանկի ուժ է։ Համանման ձևով, 1 Պլանկի ժամանակում լույսի անցած ճանապարհը 1 Պլանկի երկարություն է։ Հինգ հիմնական Պլանկի միավորների քանակական արժեքները ՄՄ կամ այլ միավորների համակարգով որոշելու համար պետք է տեղի ունենան

 l_\text{P} = c t_\text{P}
 F_\text{P} = \frac{m_\text{P} l_\text{P}}{t_\text{P}^2} = G \frac{m_\text{P}^2}{l_\text{P}^2}
 E_\text{P} = \frac{m_\text{P} l_\text{P}^2}{t_\text{P}^2} = \hbar \frac{1}{t_\text{P}}
 F_\text{P} = \frac{m_\text{P} l_\text{P}}{t_\text{P}^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_\text{P}^2}{l_\text{P}^2}
 E_\text{P} = \frac{m_\text{P} l_\text{P}^2}{t_\text{P}^2} = k_\text{B} T_\text{P}

հավասարումները, որոնց միակ լուծումը տալիս է Պլանկի հինգ հիմնական միավորների համակարգն է։ Դրանք բերված են Աղ. 2—ում։

Աղյուսակ 2. Պլանկի հիմնական միավորները
Անվանումը Չափողականությունը Արտահայությունը Արժեքը[5] (SI համակարգ միավորներով)
Պլանկի երկարություն Երկարություն (L) l_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} 1.616 199(97) × 10−35 մ[6]
Պլանկի զանգված Զանգված (M) m_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}} 2.176 51(13) × 10−8 կգ[7]
Պլանկի ժամանակ Ժամանակ (T) t_\text{P} = \frac{l_\text{P}}{c} = \frac{\hbar}{m_\text{P}c^2} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} 5.391 06(32) × 10−44 վ[8]
Պլանկի լիցք Էլեկտրական լիցք (Q) q_\text{P} = \sqrt{4 \pi \varepsilon_0 \hbar c} 1.875 545 956(41) × 10−18 Կլ[9][10][11]
Պլանկի ջերմաստիճան Ջերմաստիճան (Θ) T_\text{P} = \frac{m_\text{P} c^2}{k_\text{B}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G k_\text{B}^2}} 1.416 833(85) × 1032 Կ[12]

Ածանցյալ միավորները[խմբագրել]

Աղյուսակ 3-ում բերված են որոշ Պլանկի ածանցյալ միավորներ։

Անվանումը Չափողականություն Արտահայտությունը SI համարժեքը
Պլանկի մակերես Մակերես (L2)  l_\text{P}^2 = \frac{\hbar G}{c^3} 2.61223 × 10−70մ2
Պլանկի ծավալ Ծավալ (L3)  l_\text{P}^3 = \left( \frac{\hbar G}{c^3} \right)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{(\hbar G)^3}{c^9}} 4.22419 × 10−105 մ3
Պլանկի իմպուլս իմպուլս (LMT−1) m_\text{P} c = \frac{\hbar}{l_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}} 6.52485 կգ·մ/վ
Պլանկի էներգիա Էներգիա (L2MT−2) E_\text{P} = m_\text{P} c^2 = \frac{\hbar}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}} 1.9561 × 109 Ջ
Պլանկի ուժ Ուժ (LMT−2) F_\text{P} = \frac{E_\text{P}}{l_\text{P}} = \frac{\hbar}{l_\text{P} t_\text{P}} = \frac{c^4}{G} 1.21027 × 1044 Ն
Պլանկի հզորություն Հզորություն (L2MT−3) P_\text{P} = \frac{E_\text{P}}{t_\text{P}} = \frac{\hbar}{t_\text{P}^2} = \frac{c^5}{G} 3.62831 × 1052 Վատտ
Պլանկի խտություն Խտություն (L−3M) \rho_\text{P} = \frac{m_\text{P}}{l_\text{P}^3} = \frac{\hbar t_\text{P}}{l_\text{P}^5} = \frac{c^5}{\hbar G^2} 5.15500 × 1096 կգ/մ3
Պլանկի էներգիայի խտություն Էներգիայի խտություն (L−1MT-2) \rho^E_\text{P}=\frac{E_\text{P}}{l_\text{P}^3}=\frac{c^7}{\hbar G^2} 4.63298 × 10113 Ջ/մ3
Պլանկի ինտենսիվություն Ինտենսիվություն (MT−3) I_\text{P}=\rho^E_\text{P} c=\frac{P_\text{P}}{l_\text{P}^2}=\frac{c^8}{\hbar G^2} 1.38893 × 10122 Վտ/մ2
Պլանկի անկյունային հաճախություն Հաճախություն (T−1) \omega_\text{P} = \frac{1}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}} 1.85487 × 1043 վ−1
Պլանկի ճնշում Ճնշում (L−1MT−2) p_\text{P} = \frac{F_\text{P}}{l_\text{P}^2} = \frac{\hbar}{l_\text{P}^3 t_\text{P}} =\frac{c^7}{\hbar G^2} 4.63309 × 10113 Պա
Պլանկի հոսանք Էլեկտրական հոսանք (QT−1) I_\text{P} = \frac{q_\text{P}}{t_\text{P}} = \sqrt{\frac{4 \pi \epsilon_0 c^6}{G}} 3.4789 × 1025 Ա
Պլանկի լարում Լարում (L2MT−2Q−1) V_\text{P} = \frac{E_\text{P}}{q_\text{P}} = \frac{\hbar}{t_\text{P} q_\text{P}} = \sqrt{\frac{c^4}{4 \pi \epsilon_0 G} } 1.04295 × 1027 Վ
Պլանկի իմպեդանս Էլեկտրական դիմադրություն (L2MT−1Q−2) Z_\text{P} = \frac{V_\text{P}}{I_\text{P}} = \frac{\hbar}{q_\text{P}^2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi} 29.9792458 Օմ

Հավասարումների պարզացումը[խմբագրել]

Աղյուսակում գրված են ֆիզիկայի որոշ հավասարումներ Պլանկի միավորների համակարգում։

Աղյուսակ 4. Ֆիզիկայի հիմնական հավասարումները Պլանկի միավորներով
SI գրությունը Չափողականություն չունեցող գրությունը
Նյուտոնի տիեզերական ձգողականության օրենքը  F = - G \frac{m_1 m_2}{r^2}  F = - \frac{m_1 m_2}{r^2}
Էյնշտեյնի դաշտի հավասարումները հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ { G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu} } \ { G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \
Զանգվածի և էներգիայի կապը հատուկ հարաբերականության մեջ { E = m c^2} \ { E = m } \
Էներգիայի և իմպուլսի կապը  E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2  \;  E^2 = m^2 + p^2  \;
Մասնիկի ջերմային էներգիան ըստ ազատության աստիճանների { E = \tfrac12 k_\text{B} T} \ { E = \tfrac12 T} \
Բոլցմանի բանաձևը էլտրոպիայի համար { S = k_\text{B} \ln \Omega } \ { S = \ln \Omega } \
Պլանկի առնչությունները էներգիայի և անկյունային արագության համար { E = \hbar \omega } \ { E = \omega } \
Պլանկի օրենքը սև մարմնի համար T ջերմաստիճանում  I(\omega,T) = \frac{\hbar \omega^3 }{4 \pi^3 c^2}~\frac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_\text{B} T}}-1}  I(\omega,T) = \frac{\omega^3 }{4 \pi^3}~\frac{1}{e^{\omega/T}-1}
σ Ստեֆան-Բոլցմանի հաստատունը  \sigma =  \frac{\pi^2 k_\text{B}^4}{60 \hbar^3 c^2} \ \sigma = \pi^2/60
Բեկենշտայն-Հոկինգի սև խոռոչի էնտրոպիան S_\text{BH} = \frac{A_\text{BH} k_\text{B} c^3}{4 G \hbar} = \frac{4\pi G k_\text{B} m^2_\text{BH}}{\hbar c} S_\text{BH} = A_\text{BH}/4 = 4\pi m^2_\text{BH}
Շրյոդինգերի հավասարումը 
- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \dot{\psi}(\mathbf{r}, t) 
- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \dot{\psi}(\mathbf{r}, t)
Շրյադինգերի հավասարման համիլտոնյանը  H \left| \psi_t \right\rangle = i \hbar \partial \left| \psi_t \right\rangle/\partial t  H \left| \psi_t \right\rangle = i \partial \left| \psi_t \right\rangle/\partial t
Դիրակի հավասարման կովարիանտ ձևը \ ( i\hbar \gamma^\mu \partial_\mu - mc) \psi = 0 \ ( i\gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi = 0
Կուլոնի օրենքը  F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}  F = \frac{q_1 q_2}{r^2}
Մաքսվելի հավասարումները \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \rho

\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \left(\frac{1}{\epsilon_0} \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right)

\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho \

\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

Ծանոթագրություններ[խմբագրել]