Ծավալ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Չափիչ բաժակ, որի օգնությամբ կարելի է հեղուկ չափել

Ծավալ, մարմնի կամ նյութի զբաղեցրած տարածության քանակական բնութագիրը, երկրաչափական մարմինը բնորոշող հիմնական հասկացություններից։

Ծավալի հաշվվումը[խմբագրել]

Ծավալի միավոր է համարվում միավոր կողով խորանարդի ծավալը։ Պարզագույն դեպքում մարմնի ծավալը հաշվվում է իր պարունակած միավոր խորանարդների քանակով։ Ավելի բարդ դեպքերում մարմնի ծավալը հաշվում են հետևյալ կերպ. A մարմինն ու իր շրջակայքը փոխուղղահայաց հարթություններով տրոհում են a երկարության կող ունեցող խորանարդների։ V (a)-ով նշանակենք բոլոր այն խորանարդների ծավալների գումարը, որոնք ամբողջությամբ ընդգրկված են A-ի մեջ, իսկ W (a)-ով՝ բոլոր այն խորանարդներինը, որոնք A-ի հետ ունեն գոնե մեկ ընդհանուր կետ։ a-ն փոքրացնելիս V (a)-ն աճում է, իսկ W (a)-ն՝ նվազում, ընդ որում՝ միշտ V(a)≤W(a)։ V (a)-ն և W (a)-ն ունեն նույն սահմանը (երբ a-ն ձգտում է 0-ի), որը և կոչվում է A մարմնի ծավալ։

Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատների համակարգում A մարմնի ծավալը հաշվվում է

V = \iiint\limits_{A}dxdydz և

V = \int\limits_{Z_1}^{Z_2}S(z)dz բանաձևերով, որտեղ առաջին ինտեգրալը տարածված է A մարմնով, իսկ երկրորդը՝ A-ի՝ Z առանցքի վրա ունեցած պրոյեկցիայով։

Ընդհանուր աֆինական կոորդինատական համակարգում ծավալը հաշվվում է

V = \iiint\limits_{A}\sqrt{g}\ dx_1dx_2dx_3 բանաձևով, որտեղ gds^2=g_{ij}dx^1dx^j հիմնական քառակուսային ձևի դիսկրիմինանտն է։

Ընդհանրացնելով այս բանաձևը՝ մուծվում է ո-չափանի ծավալի հասկացությունը.

Volume formula.png

Չափի միավորները[խմբագրել]

Երկարության յուրաքանչյուր միավորից ստացվում է ծավալի համապատասխան միավոր, որն իրենից ներկայացնում է այդ միավորով կողով խորանարդ։ Օրինակ, խորանարդ սանտիմետրը (սմ3) կլինի այն խորանարդի ծավալը, որի կողերն ունեն 1 սմ երկարություն։
Չափերի միավորների SI միջազգային համակարգում ծավալի հիմնական միավորն է խորանարդ մետրը (մ3)։ Մետրական համակարգի մեջ է մտնում նաև լիտրը (Լ), որպես հեղուկների և սորուն նյութերի ծավալի միավոր։ Լիտրը 10 սանտիմետրանոց խորանարդի ծավալն է`

1 լիտր=(10սմ)3=1000 խորանարդ սանտիմետր=0.001 խորանարդ մետր,

հետևաբար`

1 խորանարդ մետր=1000 լիտր

Փոքր քանակի հեղուկների ծավալները հաճախ չափվում են միլիլիտրերով`

1 միլիլիտր=0.001 լիտր=1 խորանարդ սանտիմետր:

Կան նաև ծավալի այլ ավանդական չափի միավորներ` թեյի գդալ, ճաշի գդալ, փինթ, գալոն, բարել, բուշել և այլն։

Երկրաչափական մարմինների ծավալների բանաձեւերը[խմբագրել]

Խորանարդ a^3\;

որտեղ a-ն կողի երկարությունն է։
_____________________________________________________________

Գլան \pi r^2 h\;

որտեղ r-ը հիմքի շառավիղն է, h-ը` բարձրությունը։
_____________________________________________________________

Պրիզմա B \cdot h

որտեղ` B-ն հիմքի մակերեսն է, h-ը` բարձրությունը
_____________________________________________________________

Բուրգ \frac{1}{3}Bh

որտեղ` B-ն հիմքի մակերեսն է, h-ը` բարձրությունը
_____________________________________________________________

Կոն \frac{1}{3} \pi r^2 h

որտեղ` r-ը հիմքի շառավիղն է, h-ը` բարձրությունը
_____________________________________________________________

Էլիպսոիդ \frac{4}{3} \pi abc

որտեղ` a-ն, b-ն, c-ն կիսաառանցքներն են։
_____________________________________________________________

Կանոնավոր քառանիստ {\sqrt{2}\over12}a^3 \,

որտեղ` a-ն կողի երկարությունն է։
_____________________________________________________________

Զուգահեռանիստ a b c  \sqrt{K}


\begin{align}
 K = 1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma) - \cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)
\end{align}
որտեղ` a-ն, b-ն, c-ն կողերի երկարություններն են, α-ն, β-ն, և γ-ն` կողերի ներսի անկյունները։

Միեւնույն շառավղով եւ բարձրության կոնի, գնդի եւ գլանի ծավալների հարաբերակցությունը[խմբագրել]

r շառավղով եւ h բարձրությունով կոն, գունդ եւ գլան

Վերևում բերված բանաձևերը կարելի է օգտագործել ցույց տալու համար, որ միևնույն շառավիղ և բարձրություն ունեցող կոնի, գնդի և գլանի ծավալները հարաբերվում են ինչպես 1 ։ 2 ։ 3. Եթե շառավիղը r է, բարձրությունը` h, ապա կոնի ծավալը կլինի`

\tfrac{1}{3} \pi r^2 h = \tfrac{1}{3} \pi r^2 (2r) = (\tfrac{2}{3} \pi r^3) \times 1,

գնդինը`

\tfrac{4}{3} \pi r^3 = (\tfrac{2}{3} \pi r^3) \times 2,

իսկ գլանինը`

\pi r^2 h = \pi r^2 (2r) = (\tfrac{2}{3} \pi r^3) \times 3.

Գնդի և գլանի ծավալների 2 ։ 3 հարաբերությունը հայտնաբերել է Արքիմեդեսը։

Ինտեգրալ հաշվումը[խմբագրել]

Մարմինը Ծավալի բանաձևը Փոփոխական մեծությունները
Որևէ տարածական մարմին \int_a^b A(h) \,\mathrm{d}h h-ը որևէ չափն է,
A(h)h-ին ուղղահայաց կտրվածքի մակերեսի ֆունկցիան է ըստ h-ի երկայնքի։ a-ն և b-ն տարածական մարմնի ինտեգրալների սահմաններն են։
(Հաշվարկը կարելի է անել այնպիսի դեպքերում, եթե կտրվածքի մակերեսը հնարավոր է որոշել ըստ h-ի)։
Ցանկացած պտտական մարմին \pi \int_a^b \left({\left[R_O(x)\right]}^2 - {\left[R_I(x)\right]}^2\right) \mathrm{d}x R_O-ը և R_I-ը համապատասխանաբար ներքին և արտաքին շառավիղներն արտահայտող ֆունկցիաներն են։
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական տարբերակը վերցված է Հայկական սովետական հանրագիտարանից, որի նյութերը թողարկված են Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) թույլատրագրի ներքո։ CC-BY-SA-icon-80x15.png