Գունդ

Գնդի երկչափ պրոյեկցիա

Սահմանում

Գնդի մակերևույթը (գնդոլորտը կամ սֆերան (հունարեն՝ σφαῖρα)) տարածության այն կետերի երկրաչափական տեղն է, որոնք հավասարահեռ են մի կետից։ Այդ կետը կոչվում է գնդոլորտի կենտրոն , իսկ գնդոլորտի որևէ կետ նրա կենտրոնի հետ միացնող հատվածը կոչվում է գնդի շառավիղ։ Գունդը կառաջանա որպես պտտական մարմին, եթե շրջանը կամ կիսաշրջանը պտտենք տրամագծի շուրջը։

Գնդային գոտի

Գնդային գոտի կոչվում է սֆերայի այն մասը, որն առնված է գունդը հատող երկու զուգահեռ հարթությունների միջև , իսկ գնդի համապատասխան մասը կոչվում է գնդային շերտ։ Եթե այդ երկու զուգահեռ հարթություններից մեկը շոշափում է սֆերան, ապա ստացվում է գնդային սեգմենտ։ Եթե այդ հարթություններից մեկը շոշափում է գնդոլորտը, իսկ մյուսը անցնում է գնդի կենտրոնով, ապա ստանում ենք կիսագունդ։

Գնդային սեկտոր

Գնդային սեկտոր կոչվում է այն մարմիննը, որը ստացվում է գնդային սեգմենտից և կոնից։ Այն դեպքում, երբ սեգմենտը փոքր է կիսագնդից, գնդային սեկտորը ստացվում է սեգմենտը լրացնելով սեգմենտի հետ նույն հիմքը ունեցող և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնով։ Իսկ եթե սեգմենտը մեծ է կիսագնդից, ապա գնդային սեկտորը ստացվում է այդ սեգմենտից հեռացնելով նրա հետ ընդհանուր հիմք և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնը։ Գնդային գոտու մակերևույթի մակերեսը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով`

$S=2 \pi R h$

որտեղ R-ը գնդի շառավիղն է, h-ը` գնդային գոտու բարձրությունը,π-ն մոտավորապես հավասար է 3.14

Թեորեմ՝
Գնդի ցանկացած հարթ հատույթ շրջան է։ Ընդ որում , եթե գնդի շառավիղը հավասար է R,'իսկ հատման հարթության հեռավորությունը գնդի կենտրոնից հավասար է d, ապա հատույթի շառավիղը հավասար է

$r=\sqrt{R^2-d^2}$։

Ապացույց

Դիցուք O -ն գնդի կենտրոնն է , O' - ը գնդի կենտրոնի պրոեկցիան է հատույթի հարթության վրա , OO'= |x| , A- ն սֆերայի և հատույթի հարթուրյանը պատկանող որևէ կետ է : Ստացված OO'A եռանկյունում ∠OO'A = 90° : Հետևաբար $O'A=\sqrt{OA^2-O'O^2}$ $=\sqrt{R^2-|x|^2}$:Այստեղից հետևում է , որ A - ն պատկանում է հատույթի հարթությունում ընկած O' կենտրոնով և r շառավղով շրջանագծին : Դժվար չէ ստուգել , որ այդ շրջանագծի ցանկացած կետն ընկած է տրված սֆերայի վրա: