Գունդ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Գնդի մակերևույթը (գնդոլորտը կամ սֆերան (հուն.՝ σφαῖρα)) տարածության այն կետերի երկրաչափական տեղն է, որոնք հավասարահեռ են մի կետից։ Այդ կետը կոչվում է գնդոլորտի կենտրոն , իսկ գնդոլորտի որևէ կետ նրա կենտրոնի հետ միացնող հատվածը կոչվում է գնդի շառավիղ։ Գունդը կառաջանա որպես պտտական մարմին, եթե շրջանը կամ կիսաշրջանը պտտենք տրամագծի շուրջը։

Sphere wireframe.svg

Գունդը բնութագրող բանաձևերը[խմբագրել]

Մակերևույթի մակերեսը S_O  \, = \, 4 \pi r^2
Ծավալը V \, = \, \frac{4}{3} \pi r^3
Սեգմենտի ծավալը V_\mathrm{KS} \, = \, \frac{h^2 \pi}{3} (3r - h)
Իներցիայի մոմենտը J \, = \, \frac{2}{5} mr^2


  • V = \frac{\pi d^3}{6}


Գնդի հասկացությունը մետրական տարածության մեջ բնականորեն ընդանրացնում է գնդի հասկացությունը էվկլիդյան երկրաչափությունում։

Գնդային գոտի[խմբագրել]

Գունդ

Գնդային գոտի կոչվում է սֆերայի այն մասը, որն առնված է գունդը հատող երկու զուգահեռ հարթությունների միջև, իսկ գնդի համապատասխան մասը կոչվում է գնդային շերտ։ Եթե այդ երկու զուգահեռ հարթություններից մեկը շոշափում է սֆերան, ապա ստացվում է գնդային սեգմենտ։ Եթե այդ հարթություններից մեկը շոշափում է գնդոլորտը, իսկ մյուսը անցնում է գնդի կենտրոնով, ապա ստանում ենք կիսագունդ։

Գնդային սեկտոր[խմբագրել]

Գնդային սեկտոր

Գնդային սեկտոր կոչվում է այն մարմիննը, որը ստացվում է գնդային սեգմենտից և կոնից։ Այն դեպքում, երբ սեգմենտը փոքր է կիսագնդից, գնդային սեկտորը ստացվում է սեգմենտը լրացնելով սեգմենտի հետ նույն հիմքը ունեցող և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնով։ Իսկ եթե սեգմենտը մեծ է կիսագնդից, ապա գնդային սեկտորը ստացվում է այդ սեգմենտից հեռացնելով նրա հետ ընդհանուր հիմք և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնը։ Գնդային գոտու մակերևույթի մակերեսը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝ S=2 \pi R h որտեղ R-ը գնդի շառավիղն է, h-ը՝ գնդային գոտու բարձրությունը,\pi-ն մոտավորապես հավասար է 3.14: Եթե գնդի շառավիղը R է, իսկ սեգմենտի բարձրությունը` h , ապա գնդային սեկտորի ծավալը հաշվում է V=\frac{2}{3}\pi R^2 h բանաձևով:

Թեորեմ[խմբագրել]

Գնդի ցանկացած հարթ հատույթ շրջան է։ Ընդ որում , եթե գնդի շառավիղը հավասար է R, իսկ հատման հարթության հեռավորությունը գնդի կենտրոնից հավասար է d, ապա հատույթի շառավիղը հավասար է r=\sqrt{R^2-d^2}։

Ապացույց[խմբագրել]

Sphere with cross section.svg

Դիցուք O-ն գնդի կենտրոնն է, O'-ը գնդի կենտրոնի պրոեկցիան է հատույթի հարթության վրա, OO'= |x|, Aսֆերայի և հատույթի հարթությանը պատկանող որևէ կետ է։ Ստացված OO'A եռանկյունում \angle OO'A = 90^\circ ։ Հետևաբար O'A=\sqrt{OA^2-O'O^2} =\sqrt{R^2-|x|^2}։ Այստեղից հետևում է , որ A-ն պատկանում է հատույթի հարթության մեջ ընկած O' կենտրոնով և r շառավղով շրջանագծին։ Դժվար չէ ստուգել, որ այդ շրջանագծի ցանկացած կետն ընկած է տրված սֆերայի վրա։

Գնդին ներգծված և արտագծված մարմիններ[խմբագրել]

  • Բազմանիստը կոչվում է գնդային մակերևույթին արտագծած, եթե գնդային մակերևույթը շոշափում է նրա բոլոր նիստերը: Այդ դեպքում գնդային մակերևույթը

կոչվում է ներգծված բազմանիստին:

  • Բազմանիստը կոչվում է ներգծած գնդային մակերևույթին, եթե նրա բոլոր գագաթները ընկած են գնդային մակերևույթի վրա: Այդ դեպքում գնդային մակերևույթը

կոչվում է արտագծված բազմանիստին:

  • Եթե կանոնավոր պրիզմային կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ, ապա գնդային մակերևույթի կենտրոնը բազմանիստի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է:
  • Կանոնավոր պրիզմային արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը բազմանիստի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է:
  • Կանոնավոր բուրգին ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրության վրա:
  • Կանոնավոր բուրգին արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրության կամ նրա շարունակության վրա:
  • Գնդային մակերևույթը կոչվում է ներգծված գլանին, եթե այն շոշափում է գլանի հիմքերը և բոլոր ծնորդները:
  • Գնդային մակերևույթը կոչվում է ներգծված կոնին, եթե այն շոշափում է կոնի հիմքը և բոլոր ծնորդները:
  • Գլանը կոչվում է ներգծված գնդային մակերևույթին, եթե գլանի հիմքերը գնդային մակերևույթի հատույթներ են:[1]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել]

  1. Երկրաչափության 12-րդ դաս․ դասագիրք