Գունդ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Գնդի մակերևույթը (գնդոլորտը կամ սֆերան (հուն.՝ σφαῖρα)) տարածության այն կետերի երկրաչափական տեղն է, որոնք հավասարահեռ են մի կետից։ Այդ կետը կոչվում է գնդոլորտի կենտրոն , իսկ գնդոլորտի որևէ կետ նրա կենտրոնի հետ միացնող հատվածը կոչվում է գնդի շառավիղ։ Գունդը կառաջանա որպես պտտական մարմին, եթե շրջանը կամ կիսաշրջանը պտտենք տրամագծի շուրջը։

Գունդը բնութագրող բանաձեւերը[խմբագրել]

Մակերևույթի մակերեսը S_O  \, = \, 4 \pi r^2
Ծավալը V \, = \, \frac{4}{3} \pi r^3
Սեգմենտի ծավալը V_\mathrm{KS} \, = \, \frac{h^2 \pi}{3} (3r - h)
Իներցիայի մոմենտը J \, = \, \frac{2}{5} mr^2

Գնդային գոտի[խմբագրել]

Գնդային գոտի կոչվում է սֆերայի այն մասը, որն առնված է գունդը հատող երկու զուգահեռ հարթությունների միջև , իսկ գնդի համապատասխան մասը կոչվում է գնդային շերտ։ Եթե այդ երկու զուգահեռ հարթություններից մեկը շոշափում է սֆերան, ապա ստացվում է գնդային սեգմենտ։ Եթե այդ հարթություններից մեկը շոշափում է գնդոլորտը, իսկ մյուսը անցնում է գնդի կենտրոնով, ապա ստանում ենք կիսագունդ։

Գնդային սեկտոր[խմբագրել]

Գնդային սեկտոր կոչվում է այն մարմիննը, որը ստացվում է գնդային սեգմենտից և կոնից։ Այն դեպքում, երբ սեգմենտը փոքր է կիսագնդից, գնդային սեկտորը ստացվում է սեգմենտը լրացնելով սեգմենտի հետ նույն հիմքը ունեցող և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնով։ Իսկ եթե սեգմենտը մեծ է կիսագնդից, ապա գնդային սեկտորը ստացվում է այդ սեգմենտից հեռացնելով նրա հետ ընդհանուր հիմք և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնը։ Գնդային գոտու մակերևույթի մակերեսը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝

S=2 \pi R h

որտեղ R-ը գնդի շառավիղն է, h-ը՝ գնդային գոտու բարձրությունը,π-ն մոտավորապես հավասար է 3.14

Թեորեմ[խմբագրել]

Գնդի ցանկացած հարթ հատույթ շրջան է։ Ընդ որում , եթե գնդի շառավիղը հավասար է R,'իսկ հատման հարթության հեռավորությունը գնդի կենտրոնից հավասար է d, ապա հատույթի շառավիղը հավասար է

r=\sqrt{R^2-d^2}։

Ապացույց[խմբագրել]

Sphere with cross section.svg

Դիցուք O -ն գնդի կենտրոնն է, O' - ը գնդի կենտրոնի պրոեկցիան է հատույթի հարթության վրա , OO'= |x|, A- ն սֆերայի և հատույթի հարթությանը պատկանող որևէ կետ է։ Ստացված OO'A եռանկյունում ∠OO'A = 90° ։ Հետևաբար O'A=\sqrt{OA^2-O'O^2} =\sqrt{R^2-|x|^2}։ Այստեղից հետևում է , որ A - ն պատկանում է հատույթի հարթության մեջ ընկած O' կենտրոնով և r շառավղով շրջանագծին ։ Դժվար չէ ստուգել, որ այդ շրջանագծի ցանկացած կետն ընկած է տրված սֆերայի վրա։