Իմպուլս (շարժման քանակ)

Իմպուլսը (շարժման քանակ) վեկտորական ֆիզիկական մեծություն է՝ մարմնի մեխանիկական շարժման չափը: Դասական մեխանիկայում իմպուլսը հավասար է մարմնի m զանգվածի և v արագության արտադրյալին և ունի արագության վեկտորի ուղղությունը.

$\vec p=m\vec v$:

Հիմնական հասկացությունները միաչափ դեպքում

Մեկ մասնիկի դեպքը

Ավանդաբար մասնիկի իմպուլսը նշանակվում է p տառով: Այն մարմնի զանգվածի և արագության արտադրյալն է՝

$\vec p=m\vec v$:

Չափման միավորը զանգվածի և արագության միավորների արտադրյալն է: ՄՄ համակարգում՝ կգ·մ/վ: Լինելով վեկտորական մեծություն` իմպուլսն ունի մեծություն և ուղղություն:

Բազմաթիվ մասնիկների դեպքը

Համակարգի իմպուլսը այդ համակարգը կազմող բոլոր մասնիկների իմպուլսների գումարն է: Եթե երկու մասնիկներ ունեն m₁ և m₂ զանգվածն ու v₁ և v₂ արագությունը, ապա արդյունարար իմպուլսը՝

$\begin{align} p &= p_1 + p_2 &= m_1 v_1 + m_2 v_2\,: \end{align}$

Համանման ձևով՝ երկուսից ավելի մասնիկների դեպքում:

Իմպուլսի և ուժի կապը

Ըստ Նյուտոնի երկրորդ օրենքի, մասնիկի իմպուլսի փոփոխությունը հավասար է նրա վրա ազդող F ուժին՝

$F = \frac{dp }{d t}:$

Եթե զանգվածը հաստատուն է, ապա

$F = m\frac{dv}{d t} = m a,$

այնպես որ ուժը հավասար է զանգվածի և արագացման արտադրյալին:

Իմպուլսի պահպանման օրենքը

Նյուտոնի օրենքներից բխում է, որ փակ համակարգի արդյունարար իմպուլսը հաստատուն մեծություն է: Ենթադրենք ունենք միմյանց հետ փոխազդող երկու մասնիկ: Ըստ Նյուտոնի երրորդ օրենքի, դրանց վրա ազդող ուժերը հավասար են և հակառակ են ուղղված: Ըստ առաջին օրենքի, F₁= dp₁/dt և F₂=dp₂/dt: Այդտեղից

$\frac{d p_1}{d t} = - \frac{d p_2}{d t},$

կամ

$\frac{d}{d t} \left(p_1+ p_2\right)= 0:$

Եթե մասնիկների արագությունները նշանակենք u₁, u₂ փոխազդեցությունից առաջ և v₁, v₂՝ հետո, ապա

$m_1 u_{1} + m_2 u_{2} = m_1 v_{1} + m_2 v_{2}:$

Իմպուլսի պահպանման օրենքը կախված չէ փոխազդեցության ուժի բնույթից:

Բազմաչափ դեպքը

Եռաչափ դեպքում իմպուլը և արագությունը տրվում են վեկտորներով: x, y, z առանցքներով կոօրդինատական համակարգում արագության բաղադրիչները x, y, z ուղղություններով համապատասխանաբար v_x, v_y և v_z են: Նշանակենք արագության վեկտորը

$\mathbf{v} = \left(v_x,v_y,v_z \right),$

իսկ իմպուլսի վեկտորը՝

$\mathbf{p} = \left(p_x,p_y,p_z \right):$

Այդ դեպքում իմպուլսի և արագության կապը կարելի է ստանալ՝ վերևի արտահայտության v սկալյար մեծությունը փոխարինելով v վեկտորով՝

$\mathbf{p}= m \mathbf{v}$

Ցանկացած վեկտորական հավասարում կարելի է ներկայացնել սկալյար հավասարումների համակարգի տեսքով՝

$\begin{align} p_x &= m v_x\\ p_y &= m v_y \\ p_z &= m v_z: \end{align}$

Այլ սահմանումներ

Ռելյատիվիստական մեխանիկա

Ռելյատիվիստական մեխանիկայում իմպուլսը սահմանվում է որպես

$\mathbf{p} = \gamma m_0\mathbf{v}\,,$

որտեղ m₀-ն համակարգի ինվարիանտ զանգվածն է, γ-ն՝ Լորենցի ֆակտորը.

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}\,,$

v-ն մասնիկի արագությունն է, c-ն՝ լույսի արագությունը: Արագությունը իմպուլսով արտահայտվում է

$\mathbf{v} = \frac{c^2 \mathbf{p}}{\sqrt{(pc)^2 + (m_0 c^2)^2}} = \frac{c^2 \mathbf{p}}{E} \,,$

բանաձևով, որտեղ $\scriptstyle p = \sqrt{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}$-ն իմպուլսի մոդուլն է: Դասական մեխանիկայի շրջանակներում ռելյատիվիստական իմպուլսը գրեթե հավասար է նյուտոնյան իմպուլսին. փոքր արագությունների դեպքում γm₀v≈m₀v: Մարմնի E լրիվ էներգիան p ռելյատիվիստական իմպուլսի հետ կապված է

$E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2\,$

առնչությամբ, որտեղ p-ով նշանակված է p-ի մեծությունը (մոդուլը): Իմպուլսի և էներգիայի ռելյատիվիստական կապը տեղի ունի նաև զանգված չունեցող մասնիկների համար, ինչպիսին ֆոտոնն է: Տեղադրելով m₀ = 0, կստանանք, որ

$E = pc\,:$

Ե՛վ զանգված ունեցող, և զանգված չունեցող մասնիկների համար ռելյատիվիստական իմպուլսը կապված է λ դը Բրոյլի ալիքի երկարության հետ

$p = h/\lambda\,$

առնչությամբ, որտեղ h-ը Պլանկի հաստատունն է:

Ընդհանրացված իմպուլսը տեսական մեխանիկայում

Տեսական մեխանիկայում համակարգի լագրանժյանի ածանցյալը ըստ ընդհանրացված արագության կոչվում է ընդհանրացված իմպուլս

$p_i = {{\partial {\mathcal L}} \over {\partial \dot{q}_i}}:$

Ազատ մասնիկի համար Լագրանժի ֆունկցիան ունի $\mathcal L=-mc^2 \sqrt{1-v^2/c^2}$ տեսքը, որտեղից ստացվում են վերը բերված հավասարումները:

Փակ համակարգի լագրանժյանի կախված չլինելը համակարգի դիրքից բխում է տարածության համասեռությունից. լավ մեկուսացված համակարգի վարքը կախված չէ տարածության մեջ նրա զբաղեցրած դիրքից: Ըստ Նյոտերի թեորեմի, այդ համասեռությունից բխում է որոշակի ֆիզիկական մեծության պահպանումը: Հենց այդ մեծությունն էլ կոչվում է իմպուլս:

Քառաչափ ձևակերպումը

Ռելյատիվիստական քառաչափ իմպուլսը ինվարիանտ է Լորենցի ձևափոխությունների նկատմամբ: Սահմանվում է որպես

$\mathbf{P} := (E/c, p_x , p_y ,p_z)\,,$

որտեղ E = γm₀c²-ն համակարգի ամբողջ ռելյատիվիստական էներգիան է, p_x, p_y, p_z-ը համապատասխանաբար ռելյատիվիստական իմպուլսի x, y, z բաղադրիչներն են:

Քառաչափ իմպուլսի ||P|| մոդուլը հավասար է m₀c, ուստի

$||\mathbf{P}||^2 = (E/c)^2 - p^2 = (m_0c)^2\,$

ինչը ինվարիանտ է բոլոր հաշվարկման համակարգերում: Փակ համակարգում պահպանվում է ամբողջ քառաչափ իմպուլսը, ինչի հետևանքով իմպուլսի և էներգիայի պահպանման օրենքները կարելի է ներառել մեկ հավասարման մեջ: Օրինակ, m₁ և m₂ հանգստի զանգվածներով և v₁ և v₂ սկզբնական արագություններով երկու մասնիկների բախման դեպքում v₃ և v₄ վերջնական արագությունները կարելի է գտնել քառաչափ իմպուլսի պահպանման օրենքից՝

$\mathbf{P}_1+\mathbf{P}_2=\mathbf{P}_3+\mathbf{P}_4\,,$

որտեղ

$\mathbf{P}_i=m_i\gamma_i(c,\mathbf{v}_i):$

Առաձգական բախման դեպքում հանգստի զանգվածը մնում է անփոփոխ (m₁ = m₃ և m₂ = m₄): Ոչ առաձգական բախման դեպքում հանգստի զանգվածը աճում է՝ պայմանավորված ջերմային էներգիայի աճով: Քառաչափ իմպուլսի պահպանումը կարելի է մեկնաբանել որպես տարածություն-ժամանակի համասեռության արդյունք:

Իմպուլսը քվանտային մեխանիկայում

Քվանտային մեխանիկայում իմպուլսը սահմանվում է որպես ալիքային ֆունկցիայի օպերատոր: Հայզենբերգի անորոշությունների սկզբունքը տալիս է ճշտության սահմանը, որով կարելի է իմանալ համակարգի իմպուլսը և կոօրդինատը: Քվանտային մեխանիկայում իմպուլսը և կոօրդինատը համալուծ մեծություններ են:

Մեկ մասնիկի համար իմպուլսի օպերատորը կոօրդինատական պատկերացումով կարելի է գրել որպես

$\mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla\,,$

որտեղ ∇-ն նաբլա-օպերատորն է, ħ-ը՝ Պլանկի բերված հաստատունը, i-ն՝ կեղծ միավորը: Այլ պատկերացումներով իմպուլսի օպերատորը այլ տեսք ունի: Օրինակ, իմպուլսային պատկերացումով այն ներկայացվում է որպես

$\mathbf{p}\psi(p) = p\psi(p)\,,$

որտեղ p օպերատորը, գործելով ψ(p) ալիքային ֆունկցիայի վրա, բերում է նրան, որ վերջինս բազմապատկվում է p-ով: Համանման ձևով կոօրդինատի օպերատորի ազդեցությունը ψ(x) ալիքային ֆունկցիայի վրա կհանգեցներ վերջինիս բազմապատկմանը x-ով:

Էլեկտրամագնիսական դաշտի իմպուլսը

Մասնիկի լրիվ իմպուլսը էլեկտրամագնիսական դաշտում հավասար է

$\mathbf {p} = \frac{m \mathbf {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}} + q \mathbf A$

որտեղ $\mathbf A$-ը էլեկտրամագնիսական դաշտի վեկտորական պոտենցիալն է: