Արագացում

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Ընկնող գունդը օդի դիմադրության բացակայության դեպքում ավելի ու ավելի արագ է շարժվում

Արագացում, արագության փոփոխման արագությունը, այսինքն՝ արագության առաջին ածանցյալը ըստ ժամանակի։ Վեկտորական մեծություն է, ցույց է տալիս միավոր ժամանակում մարմնի արագության վեկտորի փոփոխության չափը։ Սովորաբար նշանակվում է \vec a (լատ. լատ.՝ acceleratio բառից), տեսական մեխանիկայում՝ \vec w։

 \vec a={d\vec v \over dt}:

Օրինակ, Երկրի մակերևույթին մոտ ուղղահայաց ազատ ընկնող մարմինը, եթե օդի դիմադրությունը փոքր է, անկման յուրաքանչյուր վայրկյանում մեծացնում է իր արագությունը մոտ 9.8 մ/վ-ով, այսինքն՝ ազատ անկման արագացումը հավասար է մոտ 9.8 մ/վ2։

Արագացումը վեկտորական մեծություն է, այսինքն՝ հաշվի ենք առնում ոչ միայն մարմնի արագության մեծության փոփոխությունը, այլև՝ ուղղության։ Մասնավորապես, հաստատուն արագության մոդուլով շրջանագծով շարժվող մարմնի արագացումը զրոյից տարբեր է. մարմինն ունի մոդուլով հաստատուն, ուղղությամբ փոփոխական արագացում՝ ուղղված դեպի շրջանագծի կենտրոնը (կենտրոնաձիգ արագացում)։

Արագացման միավորը Միավորների միջազգային համակարգում մ/վ2 է։ Ռելյատիվստական մեխանիկայում դասական արագացման ընդհանրացումը 4-արագացումն է։ Եթե մեխանիկական համակարգի դինամիկան նկարագրվում է ոչ թե դեկարտյան, այլ՝ ընդհանրացված կոորդինատներով (օրինակ՝ համիլտոնյան կամ լագրանժյան ձևակերպումներով), ապա կարելի է սահմանել \ddot{q_i} ընդհանրացված արագացումը որպես \dot{q_i} ընդհանրացված արագության առաջին ածանցյալ կամ ընդհանրացված կօորդինատների առաջին ածացյալ ըստ ժամանակի։ Օրինակ, եթե որպես ընդհանրացված կոորդինատ է ընտրված անկյունը, ապա ընդհանրացված արագացում կլինի, համապատասխանաբար, անկյունային արագացումը։ Ընդհանրացված արագացումների չափողականությունը ընդհանուր դեպքում հավասար չէ LT−2։

Կետի կինեմատիկան[խմբագրել]

Նյութական կետի արագացման վեկտորը ժամանակի ցանկացած պահին հաշվում ենք որպես նյութական կետի արագության վեկտորի առաջին կարգի ածանցյալ ըստ ժամանակի (կամ երկրորդ կարգի ածանցյալ ըստ շառավիղ-վեկտորի).

\vec a = {d\vec v \over dt} = {d^2\vec r \over dt^2}:

Եթե կետի հետագծի վրա հայտնի են \vec r (t_0) = \vec r_0 կոորդինատները և \vec v(t_0) = \vec v_0 արագության վեկտորը ժամանակի որևէ t0 պահին, ինչպես նաև \vec a (t), արագացման կախումը ժամանակից, ապա, ինտեգրելով այս հավասարումը, կարելի է ստանալ կետի կոորդինատները և արագությունը ժամանակի ցանկացած t պահին (այսինքն՝ ինչպես t0 պահից հետո, այնպես էլ դրանից առաջ).

\vec v (t) = \vec v_0 + \int_{t_0}^t \vec a(t) dt
\vec r (t) =  \vec r_0 + (t-t_0)\vec v_0 + \int_{t_0}^t\int_{t_0}^t \vec a(t) dt^2

Մասնավոր դեպքում, եթե \vec a վեկտորը չի փոխվում ժամանակի ընթացքում, շարժումը կոչվում է հավասարաչափ արագացող։ Հավասարաչափ արագացող շարժման դեպքում վերը բերված ընդհանուր բանաձևերը պարզեցվում են՝ գալով հետևյալ տեսքի՝

\vec v(t) = \vec v_0 + (t - t_0)\vec a,
\vec r(t) = \vec r_0 + (t-t_0)\vec v_0 + {(t-t_0)^2\over 2}\vec a:

Հավասարաչափ արագացող շարժման մասնավոր դեպքում արագացումը շարժման ամբողջ ժամանակահատվածում հավասար է զրոյի։ Այս դեպքում արագությունը հաստատուն է, իսկ շարժման հետագիծը ուղիղ գիծ է, այդ պատճառով այս շարժումը կոչվում է ուղղագիծ հավասարաչափ շարժում։ Եթե այս դեպքում արագությունը նույնպես հավասար է զրոյի, ապա մարմինը գտնվում է դադարի վիճակում։

Հավասարաչափ արագացող շարժումը կետի համար միշտ հարթ շարժում է, իսկ պինդ մարմնի համար՝ համընթաց շարժում։ Սակայն հակառակ պնդումը, ընդհանուր դեպքում, ճիշտ չէ։ Հավասարաչափ արագացող շարժումը այլ հաշվարկման իներցիալ համակարգ անցնելիս մնում է հավասարաչափ արագացող։ Հավասարաչափ արագացող շարժման մասնավոր դեպքը, երբ արագացումը (հաստատուն) և արագությունը ուղղված են մի գծով, սակայն տարբեր ուղղություններով, կոչվում է հավասարաչափ դանդաղող շարժում։ Հավասարաչափ դանդաղող շարժումը միշտ միաչափ է։ Շարժումը կարելի է դիտարկել որպես հավասարաչափ դանդաղող միայն մինչև այն պահը, երբ արագությունը դառնում է զրո։ Բացի այդ, միշտ գոյություն ունեն իներցիալ հաշվարկման համակարգեր, որտեղ շարժումը հավասարաչափ դանդաղող չէ։

Կետի արագացումը ուղղագիծ շարժման դեպքում[խմբագրել]

Արագացումով շարժման կարևոր մասնավոր դեպք է ուղղագիծ շարժումը, երբ ժամանակի ցանկացած պահի արագացումը համագիծ է արագությանը (օրինակ՝ ուղղահայաց սկզբնական արագությամբ մարմնի անկման դեպքը)։ Ուղղագիծ շարժման դեպքում կարելի է կոորդինատական առանցքներից մեկն ընտրել շարժման ուղղությամբ և փոխարինել շառավիղ-վեկտորը և արագության ու արագացման վեկտորները սկալյարներով։ Հաստատուն արագացման դեպքում վերը բերված բանաձևերից բխում է, որ

 v^2= u^2 + 2 \, a s:

Այստեղ u-ն և v-ն մարմնի սկզբնական և վերջնական արագություններն են, a-ն՝ արագացումը, s-ը՝ մարմնի անցած ճանապարհը։

Սկզբնական արագություն չունեցող ավասարաչափ արագացող ուղղագիծ շարժում[խմբագրել]

Զրոյական սկզբնական արագությամբ հավասարաչափ արագացող ուղղագիծ շարժման գործնականում կարևոր մի շարք բանաձևեր, որոնք կապ են հաստատում մարմնի անցած ճանապարհի, ծախսված ժամանակի, վերջնական արագության և արագացման միջև՝

 t = \sqrt{\frac{2 s}{a}} = \frac{v}{a} = \frac{2s}{v}, \qquad\qquad s = \frac{vt}{2}=\frac{a t^2}{2} = \frac{v^2}{2a},
 v = \sqrt{2 \, a s} = at = \frac{2s}{t},  \qquad\qquad a = \frac{v}{t} = \frac{2s}{t^2} = \frac{v^2}{2s}:

Այս մեծություններից ցանկացած երկուսով որոշվում են մյուս երկուսը, համարվում է, որ ժամանակը հաշվարկվում է շարժման սկզբից՝ t0= 0։

Մարմնի արագացումը շրջանագծով շարժման ժամանակ[խմբագրել]

Հավասարաչափ շարժումը շրջանագծով: Արագացումը միշտ ուղղահայաց է արագությանը և ուղղված է դեպի շրջանագծի կենտրոնը:
Շրջանագծով անհավասարաչափ շարժման օրինակ (մաթեմատիկական ճոճանակ) Տանգենցիալ և կենտրոնաձիգ բաղադրիչներից կազմված արագացումը տարբեր պահերին փոփոխվում է լրիվ շոշափողից մինչև լրիվ նորմալի (հետագծի նկատմամբ):

Կետի՝ շրջանագծով շարժման ժամանակ արագացման վեկտորը՝

 \vec a = \frac{d \vec v}{dt}

Կարելի է վերլուծել երկու բաղադրիչների (գումարելիների)՝

\vec a = \vec a_\tau + \vec a_n

\vec a_\tau տանգենցիալ արագացումը կամ շոշափող արագացումը (երբեմն նշանակվում է նաև \vec w_\tau, \vec u_\tau և այլն, կախված արագացման նշանակումից) ուղղված է հետագծի շոշափողով։ \vec a արագացման վեկտորի բաղադրիչն է՝ համագիծ ակնթարթային արագության վեկտորին։ Բնութագրում է արագության փոփոխությունը ըստ մոդուլի.

\vec a_\tau = \frac{\vec v}{|\vec v|} \cdot \frac{d |\vec v|}{dt}:

\vec a_n կենտրոնաձիգ կամ նորմալ արագացումը (նշանակվում է նաև \vec w_\tau, \vec u_\tau և այլն) միշտ առաջանում է (հավասար չէ զրոյի) ոչ միայն շրջանագծով շարժման ժամանակ, այլև ցանկացած ոչ զրոյական կորությամբ հետագծի դեպքում։ \vec a արագացման վեկտորի՝ ակնթարթային արագությանը ուղղահայաց բաղադրիչը։ Բնութագրում է արագության փոփոխությունը ըստ ուղղության։ Նորման արագացման վեկտորը միշտ ուղղված է դեպի պտտման ակնթարթային առանցքը՝

\vec a_n = {|\vec v|} \cdot \frac{d}{dt}\frac{\vec v}{|\vec v|},

իսկ մոդուլը հավասար է

|\vec a_n| = \omega ^2 r = {v^2 \over r},

որտեղ ω-ն անկյունային արագությունն է պտտման առանցքի նկատմամբ, իսկ r-ը՝ շրջանագծի շառավիղը։

բացի այս երկու բաղադրիչներից, օգտագործվում է նաև անկյունային արագացում հասկացությունը, որը ցույց է տալիս անկյունային արագության փոփոխությունը միավոր ժամանակում։ Գծային արագացման նման, հաշվարկվում է հետևյալ կերպ՝

\vec \varepsilon = {d\vec \omega \over dt}:

Վեկտորի ուղղությունը այստեղ ցույց է տալիս արագության մոդուլի նվազումը կամ աճը։ Եթե անկյունային արագացման և անկյունային արագության վեկտորները համուղղված են, կամ, գոնե նրանց սկալյար արտադրյալը դրական է, արագության մեծությունը աճում է, և հակառակը։ Շրջանագծով հավասարաչափ շարժման մասնավոր դեպքում անկյունային արագացման և տանգենցիալ արագացման վեկտորները հավասար են զրոյի, իսկ կենտրոնաձիգ արագացումը ըստ մոդուլի հաստատուն է։

Կետի արագացումը կորագծով շարժման ժամանակ[խմբագրել]

Արագացման բաղադրիչները հարթության մեջ

\vec a արագացման վեկտորը կարելի է վերլուծել ըստ \left\{\vec \tau, \vec{n}, \vec{b}\right\} համընթաց բազիսի՝

 \vec a = {a}_\tau {\vec \tau} + {a}_n {\vec n} + {a}_b {\vec b} = \frac{dv}{dt}{\vec \tau} +  \frac{v^2}{R} {\vec n} + {a}_b {\vec b} ,

որտեղ

 v\ -ը արագության վեկտորի մեծությունն է,
 {\vec \tau} = \vec v/|\vec v| -ը՝ հետագծի շոշափողի միավոր վեկտորը, որն ուղղված է արագության երկայնքով (շոշափող միավոր վեկտոր, օրթ),
 {\vec n} -ը՝ հետագծի գլխավոր նորմալի օրթը, որը կարելի է սահմանել որպես միավոր վեկտոր  d \vec \tau / d l ուղղությամբ,
 {\vec b} -ը՝ հետագծի բինորմալի օրթը, որը միաժամանակ ուղղահայաց է  {\vec \tau} и  {\vec n} օրթերին (այսինքն օրթոգոնալ է հետածգի ակնթարթային հարթության նկատմամբ),
R-ը՝ հետագծի կորության շառավիղը:

{a}_b{\vec b}, գումարելին, որը կոչվում է բինորմալ արագացում, միշտ հավասար է զրոյի, ինչը կարելի է համարել \vec n, \vec b վեկտորների սահմանման ուղղակի հետևանք։ Կարելի է ասել, որ դրանք ընտրվում են այնպես, որ առաջինը միշտ համընկնի նորման արագացմանը, իսկ երկրորդը օրթոգոնալ լինի առաջինին։

{a}_\tau{\vec \tau} և {a}_n{\vec n} վեկտորները կոչվում են համապատասխանաբար տանգենցիալ և նորմալ արագացումներ։

Այսպիսով, վերն ասվածը հաշվի առնելով, արագացման վեկտորը ցանկացած հետագծով շարժման դեպքում կարելի է գրել որպես

 \vec a = {a}_\tau {\vec \tau} + {a}_n {\vec n} = \frac{dv}{dt}{\vec \tau} +  \frac{v^2}{R} {\vec n}:

Արագացումը պինդ մարմնում[խմբագրել]

Բացարձակ պինդ մարմնի A և B երկու կետերի արագացումների կապը կարելի է ստանալ այդ կետերի արագությունների համար Էյլերի բանաձևից՝

\vec{v}_B = \vec{v}_A + \left[\vec{\omega}\times\vec{AB}\right],

որտեղ \vec{\omega}-ն մարմնի անկյունային արագության վեկտորն է։ Ածանցելով այն ըստ ժամանակի, կստանանք.

\vec{w}_B = \vec{w}_A + \left[\vec{\omega}\times \left[ \vec{\omega}\times \vec{AB}\right] \right] + \left[ \vec{\varepsilon}\times \vec{AB} \right],

որտեղ \vec{\varepsilon}-ն մարմնի անկյունային արագացման վեկտորն է։

Գրականություն[խմբագրել]

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.։ Механика, 2004,