Պլանկի հաստատուն

h	Միավոր
h=6,626 069 57(29)×10−34	Ջ•վ
h=4,135 667 516(91)×10−15	էՎ•վ
h=6,626 069 57(29)×10−27	էրգ•վ
ħ	Միավոր
$~\hbar$=1,054 571 726(47)×10−34	Ջ•վ
$~\hbar$=6,582 119 28(15)×10−16	էՎ•վ
$~\hbar$=1,054 571 726(47)×10−27	էրգ•վ

Պլանկի ցուցատախտակը Բեռլինի Հումբոլտի համալսարանում. «1889-1928թթ. այս շենքում դասավանդել է Մաքս Պլանկը`գործողության տարրական քվանտի` h-ի հայտնաբերողը»

Պլանկի հաստատունը (նշանակվում է h) ֆիզիկական հաստատուն է, որը քվանտային մեխանիկայում օգտագործվում է էներգիայի չափն արտահայտելու համար: 1899թ. այն առաջին անգամ կիրառել է Մաքս Պլանկը` քվանտային մեխանիկայի հիմնադիրներից մեկը:

Ընդհանուր նկարագիր

Սկզբում Պլանկի հաստատունը նկարագրվում էր որպես համեմատականության գործակից ֆոտոնի E էներգիայի և ν հաճախության միջև: Էներգիայի և հաճախության միջև գոյություն ունեցող այս կապը հայտնի է Պլանկի առնչություն կամ Պլանկ-Այնշտայնի հավասարում անունով`

$E = ~h\nu$:

Քանի որ ալիքի $\nu$ հաճախությունը, λ երկարությունը և c լույսի արագությունը կապված են λν = c առնչությամբ, Պլանկի առնչությունը կարող է գրվել նաև որպես

$E = \frac{hc}{\lambda}$:

1923թ. Լուի դը Բրոյլը հրապարակեց իր հայտնի առնչությունը, ըստ որի` Պլանկի հաստատունը կապ է հաստատում ոչ միայն ֆոտոնի, այլև ցանկացած մասնիկի իմպուլսի և ալիքի երկարության միջև, ինչը շուտով հաստատվեց փորձնականորեն: Պլանկը հայտնաբերեց, որ ֆիզիկայում գործողությունը չի կարող պատահական արժեքներ ընդունել և բազմապատիկ է մի մեծության, որը հետագայում ստացավ «գործողության քվանտ» անվանումը. այժմ այն կոչվում է Պլանկի հաստատուն: Այս երևույթը, որը նկատելի չէ առօրյա կյանքում գործողության քվանտի չափազանց փոքր արժեքի պատճառով, միկրոաշխարհի անկապտելի հատկանիշներից մեկն է: Հնարավոր չէ նկարագրել որևէ երևույթ` առանց հաշվի առնելու գործողության քվանտացումը: Որոշ դեպքերում, ինչպես, օրինակ, ատոմների մոնոքրոմատիկ լույսի համար, գործողության քվանտը նաև նշանակում է, որ կան որոշակի թույլատրված և արգելված էներգիական մակարդակներ: Եթե հաճախությունը տրվում է անկյունային արագությամբ, հարմար է 2$\pi$ գործակիցը ներառել Պլանկի հաստատունի մեջ: Արդյունքում ստացված հաստատունը կոչվում է «Պլանկի կրճատված (բերված) հաստատուն» կամ «Դիրակի հաստատուն»: Թվային արժեքով այն հավասար է Պլանկի հաստատունին` բաժանած 2$\pi$-ի և նշանակվում է ħ («h գծիկով»).

$\hbar = \frac{h}{2 \pi}$:

ω անկյունային հաճախություն ունեցող ֆոտոնի էներգիան (որտեղ ω = $2\pi\nu$) կլինի

$E = \hbar \omega$:

Արժեքը

Պլանկի հաստատունը ունի նույն չափողականությունը, ինչ և ֆիզիկայի գործողությունը, այսինքն` այն նույնական է անկյունային մոմենտին (էներգիա անգամ ժամանակ կամ մոմենտ անգամ հեռավորություն): SI համակարգում Պլանկի հաստատունը արտահայտվում է ջոուլ-վայրկյանով (Ջ•վ) կամ Ն•մ•վ-ով:

Պլանկի հաստատունի արժեքը

$h = 6.626\ 069\ 57(29)\times 10^{-34}$ Ջ·վ =$4.135\ 667\ 516(91)\times 10^{-15}$ էՎ·վ:

Պլանկի կրճատված հաստատունի արժեքը`

$\hbar = {{h}\over{2\pi}} = 1.054\ 571\ 726(47)\times 10^{-34}$ Ջ·վ =$6.582\ 119\ 28(15)\times 10^{-16}$ էՎ·վ:

Կլոր փակագծերում նշված երկու թվանշանները ցույց են տալիս ստանդարտ անորոշությունը: Հաստատունների և դրանց անորոշությունների արժեքները այստեղ բերված են ըստ 2010թ. CODATA-ի հրապարակման, որը մոտ չորս տարին մեկ միջազգային հանրությանն է ներկայացնում հաստատուն մեծությունների արժեքները:

Ֆիզիկական իմաստը

Քվանտային մեխանիկայում իմպուլսն ունի ալիքային վեկտորի, էներգիան` հաճախության, գործողությունը` ալիքի փուլի ֆիզիկական իմաստ, սակայն ավանդաբար (պատմականորեն) մեխանիկական մեծությունները չափվում են այլ միավորներով (կգ•մ/վ, Ջ, Ջ•վ)` ի տարբերություն համապատասխան ալիքային մեծությունների (մ<sup>−1</sup>, վ<sup>−1</sup>): Պլանկի հաստատունը կապում է դասական և քվանտային հաշվարկման համակարգերը`

$\mathbf p = \hbar \mathbf k$ (իմպուլս) $( |\mathbf p|= 2 \pi \hbar / \lambda )$

$E = \hbar \omega$ (էներգիա)

$S = \hbar \phi$ (գործողություն):

Եթե միավորների համակարգը մշակվեր քվանտային մեխանիկայի ստեղծումից հետո և հարմարեցվեր հիմնական տեսական բանաձևերի ձևակերպմանը, Պլանկի հաստատունը հավանաբար պարզապես կհավասարեցվեր մեկի, կամ, ծայրահեղ դեպքում, ամբողջ թիվ կլիներ: Տեսական ֆիզիկայում հաճախ բանաձևերի պարզեցման համար օգտագործվում է միավորների համակարգ, որտեղ $\hbar = 1$: Այստեղից`

$\mathbf p = \mathbf k$ $(|\mathbf p|= 2 \pi / \lambda)$

$~E = \omega$

$~S = \phi$

$(\hbar = 1)$:

Պլանկի հաստատունը հանդես է գալիս որպես պարզ գնահատական՝ դասական և քվանտային ֆիզիկաների կիրառելիության սահմանները որոշելիս. այն համեմատելով դիտարկվող համակարգերը բնութագրող մեծությունների (գործողություն, իմպուլս, էներգիայի և ժամանակի արտադրյալ և այլն) հետ` կարելի է որոշել, թե տվյալ ֆիզիկական համակարգի հանդեպ ինչ չափով է կիրառելի դասական մեխանիկան: Եթե $~S$-ն համակարգի գործողությունն է, իսկ $~M$-ն` իմպուլսի մոմենտը, ապա $~\frac{S}{\hbar}\gg1$ կամ $~\frac{M}{\hbar}\gg1$ դեպքում համակարգի վարքը մեծ ճշտությամբ նկարագրվում է դասական մեխանիկայով: Այս գնահատականները ուղղակիորեն կապված են Հայզենբերգի անորոշությունների առնչության հետ:

Հայտնաբերման պատմությունը

Պլանկի բանաձևը ջերմային ճառագայթման համար

Պլանկի բանաձևը` բացարձակ սև մարմնի ճառագայթման հզորության սպեկտրային խտության արտահայտությունը ստացել է Մաքս Պլանկը $u(\omega, T)$ հավասարաչափ ճառագայթման խտության համար: Այս բանաձևը ստացվեց այն բանից հետո, երբ պարզ դարձավ, որ Ռելեյ-Ջինսի օրենքը բավարար ճշտությամբ նկարագրում է ճառագայթումը միայն երկար ալիքների տիրույթում: 1900թ. Պլանկն առաջարկեց նոր հաստատունով (հետագայում այն կոչվեց Պլանկի հաստատուն) նկարագրվող մի բանաձև, որը լավ համաձայնեցվում էր փորձարարական տվյալներին: Ընդ որում Պլանկը համարում էր, որ այդ բանաձևը պարզապես հաջողված մաթեմատիկական հնարք է, սակայն չունի ֆիզիկական իմաստ: Պլանկը չէր ենթադրում, որ էլեկտրամագնիսական ճառագայթումը առաքվում է էներգիայի որոշակի բաժինների (քվանտ) տեսքով, որոնց մեծությունը կապված է ճառագայթման հաճախության հետ

$\varepsilon = \hbar \omega$

արտահայտությամբ: $\hbar$ համեմատականության գործակիցը հետագայում կոչվեց Պլանկի հաստատուն. $\hbar$ =1.054×10⁻³⁴ Ջ•վ:

Ֆոտոէֆեկտ

Ֆոտոէֆեկտը լույսի (առհասարակ էլեկտրամագնիսական ալիքների) ազդեցությամբ նյութից էլեկտրոնների ճառագայթման երևույթն է: Կոնդենսացված նյութերում (պինդ և հեղուկ) տարբերում են արտաքին և ներքին ֆոտոէֆեկտի երևույթները: 1905թ. Այնշտայնը լույսի քվանտային բնույթի մասին Պլանկի հիպոթեզի օգնությամբ բացատրեց ֆոտոէֆեկտի երևույթը, ինչի համար 1921թ. ստացավ Նոբելյան մրցանակ: Այնշտայնի աշխատությունը նոր կարևոր հիպոթեզ էր առաջ քաշում. եթե ըստ Պլանկի, լույսը ճառագայթվում էր միայն քվանտացված բաժիններով, ապա Այնշտայնը ենթադրեց, որ լույսը գոյություն ունի միայն քվանտացված բաժիններով: Լույսը ներկայացնելով մասնիկների` ֆոտոնների տեսքով, էներգիայի պահպանման օրենքից կարելի է ստանալ Այնշտայնի բանաձևը ֆոտոէֆեկտի համար.

$\hbar \omega = A_{out} + \frac{mv^2}{2}$,

որտեղ $A_{out}$-ն ելքի աշխատանքն է (էլեկտրոնը նյութից հեռացնելու համար անհրաժեշտ նվազագույն էներգիան), $\frac{mv^2}{2}$-ն` դուրս թռչող էլեկտրոնի կինետիկ էներգիան, $\omega$-ն` $\hbar \omega$ էներգիայով ընկնող ֆոտոնի հաճախությունը, $\hbar$-ը` Պլանկի հաստատունը: Այս բանաձևից հետևում է ֆոտոէֆեկտի կարմիր սահմանի գոյությունը. Դա այն նվազագույն հաճախությունն է, որից ցածրի դեպքում ֆոտոնի էներգիան արդեն բավարար չէ մարմնից էլեկտրոն «պոկելու» համար: Բանաձևի էությունն այն է, որ ֆոտոնի էներգիան ծախսվում է նյութի ատոմը իոնացնելու և էլեկտրոն «պոկելու» համար անհրաժեշտ աշխատանքի վրա, իսկ մնացյալ էներգիան փոխակերպվում է էլեկտրոնի կինետիկ էներգիայի:

Նշանակությունը

Պլանկի հաստատունը տարբեր թվային արժեքներ ունի տարբեր միավորների համակարգերում: SI համակարգում այն ֆիզիկայի ամենափոքր հաստատուններից մեկն է: Դա պայմանավորված է այն հանգամանքով, որ մարդու` իրեն հարմարեցրած սանդղակում, որտեղ էներգիան սովորաբար կիլոջոուլների կարգի է, իսկ ժամանակը` վայրկյանների կամ րոպեների, գործողության քվանտը` Պլանկի հաստատունը, չնչին մեծություն է դառնում: Սա նաև միաժամանակ արտացոլում է այն փաստը, որ առօրյա օբյեկտները կամ համակարգերը բաղկացած են “մեծ” թվով մասնիկներից: Օրինակ` 555 նանոմետր ալիքի երկարությամբ կանաչ լույսի (մարդու աչքը առավել ընկալունակ է այս երկարության հանդեպ) հաճախությունը 540 ՏՀց է (540×10¹² Հց): Յուրաքանչյուր ֆոտոնի E էներգիան այս դեպքում հավասար է hν = 3.58×10⁻¹⁹ Ջ: Առօրյա կյանքի չափանիշներով սա շատ փոքր էներգիա է, սակայն առօրյա կյանքում մենք գործ չենք ունենում ոչ առանձին ֆոտոնների, ոչ ատոմների կամ մոլեկուլների հետ և այս դեպքում ամենահարմար մեծությունը մոլն է. մեկ մոլ ֆոտոնների էներգիան կարելի է հաշվել` բազմապատկելով ֆոտոնի էներգիան Ավոգադրոյի հաստատունով` N_A ≈6.022×10²³ մոլ⁻¹: Պլանկի հաստատունը առնչվում է լույսի և մատերիայի քվանտացմանը, ուստի դասվում է ատոմական սանդղակի հաստատունների շարքին: Ատոմական սանդղակին հարմարեցված միավորների համակարգում, որտեղ էներգիայի չափման ընդունված միավոր է էլեկտրոն-վոլտը, իսկ հաճախությունը չափվում է պետահերցերով (10¹⁵), Պլանկի հաստատունը կնկարագրվի 1-ի կարգի թվով:

Անորոշությունների սկզբունքը

Պլանկի հաստատունը կարևոր դեր ունի նաև Վերներ Հայզենբերգի անորոշությունների սկզբունքում, ըստ որի` մասնիկի կոօրդինատի և իմպուլսի Δx և Δp անորոշությունները կապված են

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

առնչությամբ, որտեղ անորոշությունը նշանակում է չափվող արժեքների ստանդարտ շեղումը սպասվող արժեքներից: Այս առնչությանը բավարարում են նաև չափման ենթակա ֆիզիկական մեծությունների այլ զույգեր: Այստեղ անորոշությունը բխում է ոչ թե չափող սարքերի անճշտությունից, այլ` քվանտային չափումների և քվանտային մասնիկների բնույթից:

Կապը այլ ֆիզիկական հաստատունների հետ

Էլեկտրոնի հանգստի զանգված

Ռիդբերգի հաստատունը` R<sub>∞</sub>-ը որոշվում է էլեկտրոնի m<sub>e</sub> զանգվածով և այլ ֆիզիկական մեծություններով`

$R_\infty = \frac{m_{\rm e} e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c_0} = \frac{m_{\rm e} c_0 \alpha^2}{2 h}$:

Ռիդբերգի հաստատունը մեծ ճշտությամբ կարելի է որոշել նաև ջրածնի ատոմական սպեկտրից, մինչդեռ գոյություն չունի էլեկտրոնի հանգստի զանգվածը չափելու ուղղակի եղանակ: Ուստի m_e-ն հաշվելու համարժեք տարբերակ է

$m_{\rm e} = \frac{2 R_{\infty} h}{c_0 \alpha^2}$-ը,

որտեղ c₀-ն լույսի արագությունն է, α-ն` նուրբ կառուցվածքի հաստատունը: Լույսի արագությունը ՄՄ (SI) համակարգում ունի ճշգրտորեն որոշված արժեք, իսկ նուրբ կառուցվածքի հաստատունը կարելի է որոշել ավել մեծ ճշտությամբ, քան Պլանկի հաստատունը. Էլեկտրոնի հանգստի զանգվածի արժեքի անճշտությունը պայմանավորված է Պլանկի հաստատունի արժեքի անճշտությամբ (r² > 0.999):

Ավոգադրոյի հաստատուն

N_A Ավոգադրոյի հաստատունը որոշվում է որպես մեկ մոլ էլեկտրոնի զանգվածի հարաբերությունը մեկ էլեկտրոնի զանգվածին: Մեկ մոլ էլեկտրոնի զանգվածը էլեկտրոնի A_r(e) հարաբերական ատոմային զանգվածն է (որը կարելի է չափել «Փեննինգի թակարդի» (u_r = 4.2×10⁻¹⁰) միջոցով)` բազմապատկած M<sub>u</sub> մոլային զանգվածի հաստատունով(M<sub>u</sub> =  0.001 kg/mol)`

$N_{\rm A} = \frac{M_{\rm u} A_{\rm r}({\rm e})}{m_{\rm e}} = \frac{M_{\rm u} A_{\rm r}({\rm e}) c_0 \alpha^2}{2 R_{\infty} h}$:

Ավոգադրոյի հաստատունի կախումը Պլանկի հաստատունից (r² > 0.999) ներառում է նաև հարակից ֆիզիկական հաստատունները, ինչպես օրինակ ատոմական զանգվածի հաստատունը: Պլանկի հաստատունի արժեքի անճշտությունը սահմանափակում է մեր իմացությունը ատոմների և ենթաատոմական մասնիկների զանգվածների մասին, երբ արտահայտվում է ՄՄՀ միավորներով: Այդ մասնիկների զանզվածները հնարավոր է չափել ավելի ճշգրիտ զանգվածի ատոմական միավորներով, սակայն հնարավոր չէ ճշգրտորեն արտահայտել կիլոգրամներով:

Տարրական լիցք

Սկզբնապես Զոմերֆելդը α նուրբ կառուցվածքի հաստատունը սահմանել էր որպես

$\alpha\ =\ \frac{e^2}{\hbar c_0 \ 4 \pi \epsilon_0}\ =\ \frac{e^2 c_0 \mu_0}{2 h}$,

որտեղ e-ն տարրական լիցքն է, ε₀ -ն` դիէլեկտրական հաստատունը (վակուումի դիէլեկտրական թափանցելիությունը), μ<sub>0</sub>-ն`մագնիսական հաստատունը (վակուումի էլեկտրամագնիսական թափանցելիությունը): Վերջին երկուսը ՄՄ համակարգում ունեն ֆիքսված արժեքներ: α-ն հնարավոր է նաև չափել փորձնականորեն` չափելով էլեկտրոնի սպինի g գործոնը և համեմատելով ստացված արդյունքը քվանտային էլեկտրադինամիկայով կանխատեսված արժեքի հետ: Ներկայումս տարրական լիցքի առավել ճշգրիտ արժեքն ստանալու համար այն սահմանում են α և h մեծությունների օգնությամբ.

$e = \sqrt{\frac{2\alpha h}{\mu_0 c_0}}$:

Բորի մագնետոն: Միջուկային մագնետոն

Բորի մագնետոնը և միջուկային մագնետոնը մեծություններ են, որոնք կիրառվում են համապատասխանաբար էլեկտրոնի և ատոմի միջուկի մագնիսական հատկությունները նկարագրելու համար: Բորի մագնետոնը այն մագնիսական մոմենտն է, որը ստացվում է դասական էլեկտրադինամիկայի տեսանկյունից էլեկտրոնը որպես պտտվող լիցք դիտարկելիս: Այն որոշվում է Պլանկի կրճատված հաստատունի, տարրական լիցքի և էլեկտրոնի զանգվածի օգնությամբ, որոնք բոլորն էլ կախված են Պլանկի հաստատունից.

$\mu_{\rm B} = \frac{e \hbar}{2 m_{\rm e}} = \sqrt{\frac{c_0 \alpha^5 h}{32 \pi^2 \mu_0 R_{\infty}^2}}$:

Միջուկային մագնետոնը որոշվում է համանման ձևով, հաշվի առնելով սակայն, որ պրոտոնը էլեկտրոնից շատ ավելի զանգվածեղ է: Էլեկտրոնի հարաբերական ատոմային զանգվածի հարաբերությունը պրոտոնի հարաբերական ատոմային զանգվածին փորձնականորեն կարելի է որոշել մեծ ճշգրտությամբ:

Չափման եղանակները

Ֆոտոէֆեկտի օրենքի կիրառումը

Պլանկի հաստատունի չափման այս եղանակի դեպքում օգտագործվում է Այնշտայնի բանաձևը ֆոտոէֆեկտի համար`

$~K_{max}=h\nu-A,$

Որտեղ $~K_{max}$-ն կատոդից թռչող էլեկտրոնների առավելագույն կինետիկ էներգիան է, $~\nu$-ն` ընկնող լույսի հաճախությունը, $~A$-ն` էլեկտրոնի ելքի աշխատանքը: Չափումն իրականացվում է հետևյալ կերպ. Սկզբում ֆոտոէլեմենտի կատոդը առաքում է $~\nu_1$ հաճախությամբ մոնոքրոմատիկ լույս, ընդ որում ֆոտոէլեմենտին տալիս են փակող լարում, այնպես, որ ֆոտոէլեմենտի միջով այլևս հոսանք չանցնի: Ընդ որում տեղի ունի հետևյալ առնչությունը, որն անմիջականորեն բխում է Այնշտայնի օրենքից.

$~h\nu_1=A+eU_1,$

որտեղ $~e$-ն` էլեկտրոնի լիցքն է:

Այնուհետև միևնույն ֆոտոէլեմենտը լուսավորում են $~\nu_2$ հաճախությամբ մոնոքրոմատիկ լույսով և նույնպես փակում $~U_2$ լարման օգնությամբ.

$~h\nu_2=A+eU_2:$

Անդամ առ անդամ առաջին արտահայտությունից հանելով երկրորդը, կստանանք`

$~h(\nu_1-\nu_2)=e(U_1-U_2),$

որտեղից հետևում է`

$~h=\frac {e(U_1-U_2)}{(\nu_1-\nu_2)}:$

Արգելակային ռենտգենյան ճառագայթման սպեկտրի վերլուծությունը

Այս եղանակը համարվում է ամենաճշգրիտը: Օգտագործվում է այն փաստը, որ արգելակային ռենտգենյան ճառագայթման հաճախային սպեկտրն ունի ճշգրիտ վերին սահման, որը կոչվում է մանուշակագույն սահման: Դրա գոյությունը բխում է էլեկտրամագնիսական ճառագայթման քվանտային հատկություններից և էներգիայի պահպանման օրենքից: Իրոք.

$~h\frac{c}{\lambda}=eU,$

որտեղ $~c$-ն լույսի արագությունն է,

$~\lambda$-ն` ռենտգենյան ճառագայթման ալիքի երկարությունը,

$~e$-ը` էլեկտրոնի լիցքը,

$~U$-ը` ռենտգենյան խողովակի էլեկտրոդների արագացնող լարումը:

Այդ դեպքում Պլանկի հաստատունը հավասար կլինի

$~h=\frac{{\lambda}{Ue}}{c}:$