Նորմալ թիվ

Նորմալ թիվը ըստ $n$ հիմքի ( $n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2$ ) ցանկացած իրական թիվ է, որի գրառման մեջ $n$ -ական հաշվարկման համակարգում կամայական խմբի $k$ հաջորդական թիվ հանդիպում է նույն ասիմպտոտ հաճախականությամբ, որը հավասար է $n - k$ -ին յուրաքանչյուր $k$ = 1, 2, …:

Թվերը, որոնք նորմալ են ցանկացած $n$ հիմքով գրառման համար, կոչվում են նորմալ կամ բացարձակապես նորմալ։

Հիմնական հատկությունները և օրինակներ

Ցանկացած ռացիոնալ թվի գրառումը ցանկացած հիմքով նորմալ չէ։ Սա հետևում է այն փաստից, որ ռացիոնալ թվի գրառման մեջ գոյություն ունի միջակայք։ Օրինակ` 1/3 = 0,33333… չունի գրության մեջ տրված հաջորդականությունից առաջ թվեր և հետևաբար նորմալ չէ։ Այստեղից հետևում է,որ նորմալ թվեր կարող են հանդիսանալ միայն իռացիոնալ թվերը։

Քանի որ նորմալ թվերի գրության մեջ պարունակում է նախապես սահմանված թվերի հաջորդականություն, այստեղից հետևում է, որ սկսած որոշակի թվերի դիրքից ցանկացած նորմալ թվերի գրառման մեջ կոդավորված են բոլոր ստեղծված և դեռ չստեղծված գրական գործերը, նկարները, կինոնկարները և այլն:Օրինակ` տասնական $\pi$ թվերի գրառման մեջ 0123456789 հաջորդականությունը առաջին անգամ սկսվում է 17 387 594 880-րդ նշանից ստորակետից հետո:Մինչև հիմա անհայտ է (մինչև 2020 թվականը),հանդիսանում է արդյո՞ք $\pi$ թիվը նորմալ^[1].

Պատմություն

Նորմալ թվի գաղափարը ներդրվել է Էմիլ Բորելի կողմից 1909 թվականին։ Օգտագործելով Բորել-Կանտելլի լեմմը, նա ապացուցեց, որ աննորմալ թվերի Լեբեգի չափումը հավասար է 0-ի. Այսպիսով, համարյա բոլոր իրական թվերը նորմալ են։ Մյուս կողմից, թվերը, որոնց տասնական գրությունում բացակայում է 0 թիվը, աննորմալ են։ Հետևաբար, աննորմալ թվերի շարքը անհաշվելի է։

Դ. Չամպերնոունը ապացուցեց, որ թիվը, որը հանդիսանում է կապակցվածություն տասնական համակարգում հաջորդական ամբողջ թվերի` 0,1234567891011121314151617…, նորմալ է 10 հիմքով^[2]։ Միևնույն ժամանակ, հայտնի չէ, թե արդյոք նորմալ է թիվը այլ հիմքերով։ 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)… երկուական համակարգում գրված թվերը նույնպես ապացուցված է, որ նորմալ է 2-ու հիմքով^[3]։

2002 թվականին Բեխերը և Ֆիգեյրան^[4] ապացուցեցին, որ գոյություն ունի հաշվելի լիարժեք նորմալ թվեր։

Բաց առաջադրանքներ

Հանդիսանու՞մ են արդյոք $π$ և $e$ թվերը նորմալ։
Մի կողմից, հայտնի չէ ՝ ճշմարտացի է որ ցանկացած իռացիոնալ հանրահաշվական թիվ նորմալ է, մյուս կողմից, հայտնի չէ հանրահաշվական թվի և ոչ մի օրինակ, որի մասին ապացուցված է, որ այն նորմալ չէ։

Տես նաև

Արտաքին հղումներ

Weisstein, Eric W., "Normal Number", MathWorld.
Weisstein, Eric W., "Champernowne Constant", MathWorld.

Ծանոթագրություններ

↑ Նովարրո,Խոակին Պի թվի գաղտնիքները:Ինչու լուծված չէ շրջանի քառակուսու խնդիրը:— Մ.: Դե Ագոստին, 2014. — էջ 143 — (Մաթեմատիկայի աշխարհ, 45 հատորով,7-րդ հատոր). — ISBN 978-5-9774-0629-1.
↑ D. G. Champernowne, The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260
↑ Bailey, D. H.; Crandall, R. E. Random Generators and Normal Numbers // Exper. Math. — 2002. — Т. 11. — С. 527—546. Архивировано из первоисточника 14 Հուլիսի 2015.
↑ Becher, V.; Figueira, S. (2002), «An example of a computable absolutely normal number», Theoretical Computer Science, 270: 947–958, doi:10.1016/S0304-3975(01)00170-0

[1] Նովարրո,Խոակին Պի թվի գաղտնիքները:Ինչու լուծված չէ շրջանի քառակուսու խնդիրը:— Մ.: Դե Ագոստին, 2014. — էջ 143 — (Մաթեմատիկայի աշխարհ, 45 հատորով,7-րդ հատոր). — ISBN 978-5-9774-0629-1.

[champernowne33-2] D. G. Champernowne, The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260

[3] Bailey, D. H.; Crandall, R. E. Random Generators and Normal Numbers // Exper. Math. — 2002. — Т. 11. — С. 527—546. Архивировано из первоисточника 14 Հուլիսի 2015.

[4] Becher, V.; Figueira, S. (2002), «An example of a computable absolutely normal number», Theoretical Computer Science, 270: 947–958, doi:10.1016/S0304-3975(01)00170-0

[1]

[2]

[3]

[4]