«Կոորդինատային համակարգ»–ի խմբագրումների տարբերություն
Տող 74. | Տող 74. | ||
* '''[[Պարաբոլական կոորդինատներ]]'''՝ երկչափ օրթոգոնալ կոորդինատային համակարգ է, որում կոորդինատային գծեր հանդիսանում է համաֆոկուս [[Պարաբոլ|պարաբոլների]] ամբողջությունը: Պարաբոլական կոորդինատների եռաչափ մոդիֆիկացիան ստացվում է այդ պարաբոլների [[Համաչափության առանցք|համաչափության առանցքի]] շուրջ երկչափ համակարգի պտույտի ճանապարհով: Պարաբոլական կոորդինատներում նույնպես կա պոտենցիալ պրակտիկ կիրառման որոշակի սպեկտոր՝ մասնավորապես, նրանք կարող են օգտագործվել [[Շտարկի երևույթ|Շտարկի էֆեկտի]] կիրառման մեջ: Պարաբոլական կոորդինատները որոշակի հարաբերությամբ կապված են ուղղանկյուն դեկարտյանների հետ<ref>[http://mathworld.wolfram.com/ParabolicCoordinates.html MathWorld description of parabolic coordinates]</ref>: |
* '''[[Պարաբոլական կոորդինատներ]]'''՝ երկչափ օրթոգոնալ կոորդինատային համակարգ է, որում կոորդինատային գծեր հանդիսանում է համաֆոկուս [[Պարաբոլ|պարաբոլների]] ամբողջությունը: Պարաբոլական կոորդինատների եռաչափ մոդիֆիկացիան ստացվում է այդ պարաբոլների [[Համաչափության առանցք|համաչափության առանցքի]] շուրջ երկչափ համակարգի պտույտի ճանապարհով: Պարաբոլական կոորդինատներում նույնպես կա պոտենցիալ պրակտիկ կիրառման որոշակի սպեկտոր՝ մասնավորապես, նրանք կարող են օգտագործվել [[Շտարկի երևույթ|Շտարկի էֆեկտի]] կիրառման մեջ: Պարաբոլական կոորդինատները որոշակի հարաբերությամբ կապված են ուղղանկյուն դեկարտյանների հետ<ref>[http://mathworld.wolfram.com/ParabolicCoordinates.html MathWorld description of parabolic coordinates]</ref>: |
||
* '''[[Պրոյեկտիվ կոորդինատներ]]'''՝ անվան համաձայն գոյություն ունեն {{math|П''<sub>n</sub>''}} ({{math|''К''}}) [[Պրոյեկտիվ տարածություն|պրոյեկտիվ տարածության]] մեջ, իրենցից ներկայացնում են փոխադարձ միարժեք համապատասխանություն իր տարրերի և էկվիվալենտության և կարգավորվածության հատկություններով օժտված {{math|''К''}} մարմնի տարրերի վերջավոր նազմության դասերի միջև: Պրոյեկտիվ ենթատարածությունների պրոյեկտիվ կոորդինատների որոշման համար բավարար է որոշել պրոյեկտիվ տարածության կետերի համապատասխան կոորդինատները: Ընդհանուր դեպքում ինչ-որ բազիսի նկատմամբ պրոյեկտիվ կոորդինատները ներմուծվում են հենց պրոյեկտիվ միջոցներով<ref>{{книга|автор=Войцеховский М. И.|заглавие=Проективные координаты|издание=Математическая энциклопедия|место=М|издательство=Советская энциклопедия|год=1977—1985}}</ref>: |
* '''[[Պրոյեկտիվ կոորդինատներ]]'''՝ անվան համաձայն գոյություն ունեն {{math|П''<sub>n</sub>''}} ({{math|''К''}}) [[Պրոյեկտիվ տարածություն|պրոյեկտիվ տարածության]] մեջ, իրենցից ներկայացնում են փոխադարձ միարժեք համապատասխանություն իր տարրերի և էկվիվալենտության և կարգավորվածության հատկություններով օժտված {{math|''К''}} մարմնի տարրերի վերջավոր նազմության դասերի միջև: Պրոյեկտիվ ենթատարածությունների պրոյեկտիվ կոորդինատների որոշման համար բավարար է որոշել պրոյեկտիվ տարածության կետերի համապատասխան կոորդինատները: Ընդհանուր դեպքում ինչ-որ բազիսի նկատմամբ պրոյեկտիվ կոորդինատները ներմուծվում են հենց պրոյեկտիվ միջոցներով<ref>{{книга|автор=Войцеховский М. И.|заглавие=Проективные координаты|издание=Математическая энциклопедия|место=М|издательство=Советская энциклопедия|год=1977—1985}}</ref>: |
||
* '''[[Տորոիդալ կոորդինատային համակարգ]]'''՝ կոորդինատների եռաչափ օրթոգոնալ համակարգ, ստացվում է իր երկու ֆոկուսը բաժանող առանցքի շուրջը երկչափ երկբևեռ կոորդինատային համակարգի պտտումից: Երկբևեռ համակարգի ֆոկուսները համապատասխանաբար վերածվում են |
* '''[[Տորոիդալ կոորդինատային համակարգ]]'''՝ կոորդինատների եռաչափ օրթոգոնալ համակարգ, ստացվում է իր երկու ֆոկուսը բաժանող առանցքի շուրջը երկչափ երկբևեռ կոորդինատային համակարգի պտտումից: Երկբևեռ համակարգի ֆոկուսները համապատասխանաբար վերածվում են տորոիդալ կոորդինատային համակարգի {{math|''xy''}} հարթության {{math|''а''}} շառավղով օղակի, այն ժամանակ, երբ {{math|''z''}} առանցքը դառնում է համակարգի պտտման առանցքը: Կիզակետային օղակը նույնպես երբեմն անվանում են բազային շրջակայք<ref>[http://mathworld.wolfram.com/ToroidalCoordinates.html MathWorld description of toroidal coordinates]</ref>: |
||
* '''[[Եռագիծ կոորդինատներ]]'''՝ հանդիսանում են միասեռ կոորդինատների օրինակիներից մեկը և ունեն իրենց հիմնական տրված եռանկյունը, այնպես որ որոշակի կետի դիրք որոշվում է այդ եռանկյան կողմերի նկատմամբ՝ նրանց հեռավորության աստճանի գլխավոր ձևով, չնայած հնարավոր են նաև ուրիշ դեպքեր: Եռագիծ կոորդինատները կարող են լինել համեմատաբար պարզ վերափոխված բարիցենտրիկի՝ բացի այդ, նրանք փոխակերպելի են երկչափ ուղղանկյուն կոորդինատների ևս, որի համար կիրառվում են համապատասխան բանաձևեր<ref>{{MathWorld|title=Trilinear Coordinates|urlname=TrilinearCoordinates}}</ref>: |
|||
* '''[[Գլանային պարաբոլային կոորդինատներ]]'''՝ կոորդինատների եռաչափ օրթոգոնալ համակարգ, որը ստացվում է կոորդինատների երկչափ պարաբոլային համակարգում տարածության վերափոխման հետևանքով: Մակերևույթի կոորդինատներ ծառայում են համապատասխանաբար համաֆոկուս պարաբոլային գլանները: Գլանային պարաբոլային կոորդինատները որոշակի հարաբերությամբ կապված են դեկարտյանների հետ, կարոց են կիրառվել մի շարք գիտական հետազոտությունների բնագավառներում<ref>[http://mathworld.wolfram.com/ParabolicCylindricalCoordinates.html MathWorld description of parabolic cylindrical coordinates]</ref>: |
|||
* '''[[Էլիպսոիդային կոորդինատներ]]'''՝ [[էլիպտական կոորդինատներ]] տարածության մեջ: Տվյալ տեպքում մակերևույթի կոորդինատներ հանդիսանում են [[Էլիպսոիդ|էլիպսոիդները]], միախոռոչ [[Հիպերբոլոիդ|հիպերբոլոիդները]], ինչպես նաև երկխոռոչ հիպերբոլոիդները, որոնց կենտրոնները տեղակայված են կոորդինատների սկզբնակետում: Համակարգը օրթոգոնալ է: Էլիպսոիդալ հանդիսացող կետերի յուրաքանչյուր եռյակի համապատասխանում է ութ կետ, որոնք ''O<sub>xyz</sub>'' համակարգի հարթության նկատմամբ սիմետրիկ են միմյանց<ref>{{книга|автор=Соколов Д. Д.|заглавие=Эллипсоидальные координаты|издание=Математическая энциклопедия|место=М|издательство=Советская энциклопедия|год=1977—1985}}</ref>: |
|||
== Կոորդինատային մի համակարգից մյուսին անցում == |
== Կոորդինատային մի համակարգից մյուսին անցում == |
09:01, 6 փետրվարի 2018-ի տարբերակ
Կոորդինատների համակարգ, կոորդինատների մեթոդ իրականացնող սահմանումների կոմպլեքս, այսինքն թվերի կամ այլ սիմվոլների օգնությամբ կետի կամ մարմնի դիրքի և տեղափոխության որոշման եղանակ: Կոնկրետ կետի դիրք որոշող թվերի ամբողջությունը կոչվում է այդ կետի կոորդինատներ:
Մաթեմատիկայում կոորդինատները որոշակի քարտեզագրքի ինչ-որ քարտեզի համադրված կետերի բազմաձևության թվերի ամբողջություն են:
Էլեմենտար երկրաչափությունում կոորդինատները հարթության վրա և տարածության մեջ կետի դիրքը որոշող մեծություններ են: Հարթության վրա կետի դիրքը ամենից հաճախ որոշվում է երկու ուղիղներից (կոորդինատային առանցքներից) հեռավորությամբ, որոնք հատվում են մի կետում (կոորդինատների սկզբնակետում) ուղիղ անկյան տակ: Կոորդինատներից մեկը կոչվում է օրդինատ, իսկ մյուսը՝ աբցիս: Տարածության մեջ Դեկարտի համակարգով կետի դիրքը որոշվում է միմյանց նկատմամբ ուղիղ անկյան տակ մի կետում հատվող երեք կոորդինատային հարթություններից հեռավորություններով, կամ գնդային կոորդինատներով, որտեղ կոորդինատների սկիզբը գտնվում է գնդի կենտրոնում:
Աշխարհագրությունում կոորդինատները ընտրվում են որպես (մոտավոր կերպով) գնդային կոորդինատային համակարգ՝ լայնություն, երկարություն և բարձրություն հայտնի ընդհանուր մակարդակի վրա (օրինակ, օվկիանոս): Տե՛ս աշխարհագրական կոորդինատներ:
Աստղագիտության մեջ երկնային կոորդինատներ, անկյունային մեծությունների կարգավորված զույգ (օրինակ, ուղիղ ծագում և թեքում), որոնց օգնությամբ որոշում են լուսատուների և օժանդակ կետերի դիրքը երկնային մակերևույթի վրա: Աստղագիտությունում օգտագործում են տարբեր երկնային կոորդինատային համակարգեր: Նրանցից յուրաքանչյուրը ըստ էության իրենից ներկայացնում է գնդային կոորդինատային համակարգ (առանց շառավղային կոորդինատների) համապատասխան ձևով ֆունդամենտալ հարթության ընտրությամբ և հաշվարկի սկզբով: Ֆունդամենտալ հարթության ընտրությունից կախված երկնային կոորդինատների համակարգը կոչվում է հորիզոնական (հորիզոնի հարթություն), հասարակածային (հասարակածի հարթություն), արևուղային (արևուղու հարթություն) կամ գալակտիկական (գալակտիկային հարթություն):
Առավել օգտագործվող կոորդինատային համակարգ՝ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ:
Հարթության և տարածության մեջ կոորդինատները կարելի է ներմուծել անսահման թվով տարբեր եղանակներով: Կոորդինատների մեթոդով լուծելով այս կամ այն մաթեմատիկական կամ ֆիզիկական խնդիր, կարելի է օգտագործել տարբեր կոորդինատային համակարգեր, դրանցից ընտրելով այն, որում խնդիրը լուծվում է հեշտությամբ կամ հարմար է տվյալ կոնկրետ դեպքի համար: կոորդինատային համակարգերի հայտնի ընդհանրացում են հանդիսանում հաշվարկի համակարգերն ու ռեֆերենցիայի համակարգերը:
Հիմնական համակարգեր
Այս բաժնում տրվում են բացատրություններ էլեմենտար մաթեմատիկայում առավել օգտագործվող կոորդինատային համակարգերին:
Դեկարտյան կոորդինատներ
P կետի դիրքը հարթության վրա որոշվում է դեկարտյան կոորդինատներով՝ թվազույգի միջոցով.
- — P կետից հեռավորությունը մինչև y առանցք, հաշվի առնելով նշանը
- — P կետից հեռավորությունը մինչև x առանցք, հաշվի առնելով նշանը:
Տարածության մեջ արդեն անհրաժեշտ են 3 կոորդինատներ՝
- — P կետից հեռավորությունը մինչև yz հարթություն
- — P կետից հեռավորությունը մինչև xz հարթություն
- — P կետից հեռավորությունը մինչև xy հարթություն:
Բևեռային կոորդինատներ
Հարթության վրա կիրառվող բևեռային կոորդինատային համակարգում P կետի դիրքը որոշվում է կոորդինատների սկզբնակետից նրա r = |OP| հեռավորությամբ և իր շառավիղ-վեկտորի Ox առանցքի նկատմամբ φ անկյունով:
Տարածության միջ կիրառվում են բևեռային կոորդինատների ընդհանրացումները՝ գլանային և գնդային կոորդինատային համակարգերը:
Գլանային կոորդինատներ
Գլանային կոորդինատներ՝ բևեռայինի եռաչափ անալոգ, որում P կետը ներկայացվում է կարգավորված եռյակով Դեկարտյան կոորդինատային համակարգի տերմիններում,
- (շառավիղ)՝ z առանցքից մինչև P կետ հեռավորությունը,
- (ազիմուտ կամ աշխարհագրական երկայնություն) ՝ x առանցքի դրական կեսի և բևեռից մինչև P կետը տարած հատվածի xy հարթության վրա պրեյեկցիայի կազմած անկյունը:
- (բարձրություն) հավասար է P կետի դեկարտյան z կոորդինատին:
- Ծանոթագրություն: գրականության մեջ առաջին (շառավղային) կոորդինատի համար երբեմն օգտագործվում է ρ նշանակումը, երկրորդի (անկյունային կամ ազիմուտային) համար՝ θ նշանակումը, երրորդ կոորդինատների համար՝ h նշանակումը:
Բևեռային կոորդինատները ունեն մեկ թերություն՝ φ նշանակումը որոշված չէ r = 0 դեպքում:
Գլանային կոորդինատները օգտակար են ինչ-որ ատանցքի նկատմամբ սիմետրիկ համակարգերի ուսումնասիրության համար: Օրինակ, R շառավղով երկար գլանը դեկարտյան կոորդինատներում (գլանի առանցքի հետ համընկնող z առանցքով) ունի հավասարումը, այդ դեպքում որպես գլանային կոորդինատներով ավելի պարզ է երևում՝ r = R:
Գնդային կոորդինատներ
Գնդային կոորդինատներ՝ բևեռայինների եռաչափ անալոգ: Գլանային կոորդինատային համակարգում P կետի դիրքը որոշվում է երեք բաղադիրչներով՝ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգի տերմիններով՝
- (շառավիղ)՝ P կետից մինչև բևեռ հեռավորությունը,
- (ազիմուտ կամ երկարություն)՝ x դրական կիսաառանցքի կազմած անկյունը xy հարթության վրա բևեռից մինչև P կետը հատվածի պրոյեկցիայի հետ,
- (լայնություն կամ բևեռային անկյուն)՝ z դրական կիսառանցքի և բևեռից մինչև P կետը տարված հատվածի միջև անկյուն:
- Ծանոթագրություն: Գրականության մեջ երբեմն ազիմուտը նշանակվում է θ, իսկ բևեռային անկյունը՝ φ: Երբեմն շառավղային կոորդինատների համար օգտագործում են r ρ-ի փոխարեն: Բացի այդ ազիմուտի համար անկյունների միջակայքը կարող է ընտրվել որպես (−180°, +180°]՝ [0°, +360°) միջակայքի փոխարեն: Վերջապես, բևեռային անկյունը կարող է հաշվվել ոչ z առանցքի դրական ուղղությունից, այլ xy հարթությունից. այդ դեպքում այն ընկած է [−90°, +90°] միջակայքում, այլ ոչ թե [0°, 180°] միջակայքում: Երբեմն կոորդինատների կարգը եռյակով ընտրվում է նկարագրվածից լավագույնը, օրինակ, բևեռային և ազիմուտային անկյունները կարող են տեղափոխվել:
Գնդային կոորդինատային համակարգը ևս ունի թերություն. φ և θ որոշված չեն, եթե ρ = 0, φ անկյունը ևս որոշված չէ նաև θ = 0 ու θ = 180° (կամ θ = ±90° համար, այդ անկյան համար համապատասխան դիապազոնի ընդունման դեպքում) սահմանային արժեքների համար:
P կետի իր գնդային կոորդինատներով կառուցման համար պետք է բևեռից z դրական կիսաառանցքի երկարությամբ առանձնացնել ρ հավասար հատված, շրջել նրան θ անկյան տակ y առանցքի շուրջ x դրական կիսառանցքի ուղղությամբ, և հետո շրջել θ անկյան տակ z առանցքի շուրջ y դրական կիսառանքի ուղղությամբ:
Գնդային կոորդինատները օգտակար են կետի նկատմամբ սիմետրիկ համակարգերի ուսումնասիրության դեպքում: Այսպիսով, R շառավղով գնդի մակերևույթի հավասարումը դեկարտյան կոորդինատներով գնդի կենտրոնով հաշվարկի սկզբով ունի տեսքը, այդ դեպքում գնդային կոորդինատներով նա դառնում է բավականին պարզ՝
Ուրիշ տարածված կոորդինատային համակարգեր
- Աֆինական (թեքանկյուն) կոորդինատային համակարգ՝ աֆինական տարածությունում ուղղագիծ կոորդինատային համակարգ: Հարթության վրա տրվում է О կոորդինատների սկիզբնակետով և երկու ոչ կոլենյար կարգավորված վեկտորներով, որոնք իրենցից ներկայացնում են աֆինական բազիս: Կոորդինատների առանցքներ տվյալ դեպքում կոչվում են կոորդինատների սկզբնակետով անցնող, բազիսային վեկտորներին զուգահեռ ուղիղները, որոնք իրենց հերթին տալիս են առանցքների դրական ուղղությունները: Եռաչափ տարածությունում, հետևաբար աֆինական կոորդինատային համակարգը տրվում է գծայնորեն անկախ վեկտորների եռյակով և կոորդինատների սկզբնակետով: Ինչ-որ М կետի կոորդինատների որոշման համար հաշվում են բազիսի վեկտորներով ОМ վեկտորի վերլուծման գործակիցները[1]:
- Բարիցենտրիկ կոորդինատներ առաջին անգամ ներմուծվել են 1827 թվականին Ա.Մյոբուսի կողմից՝ եռանկյան գագաթներում տեղակայված զանգվածների ծանրության կենտրոնի հարցը լուծելիս: Նրանք աֆինորեն ինվարիանտ են, իրենցից ներկայացնում են ընդհանուր համասեռ կոորդինատների մասնավոր դեպք: Բարիցենտրալ կոորդինատներով կետը տեղակայված է n չափանի En վեկտորական տարածությունում, իսկ այդ դեպքում հենց կոորդինատները պատկանում են կետերի ֆիքսված համակարգին, որոնք չեն պատկանում (n−1) չափանի ենթատարածությանը: Բարիցենտրալ կոորդինատները օգտագործվում են նաև հանրահաշվական տոպոլոգիայում սիմպլեքս կետերի նկատմամբ[2]:
- Բիանգուլյար կոորդինատներ՝ երկկենտրոն կոորդինատների մասնավոր դեպք, կոորդինատային համակարգ հարթության վրա, երկու С1 և С2 ֆիքսված կետերով տրված, որոնցով անցնում է ուղիղ, որը հանդես է գալիս որպես աբցիսների առանցք: Ինչ-որ P կետի դիրք, որը ընկած չի այդ ուղղի վրա, որոշվում է PC1C2 և PC2C1 անկյուններով:
- Երկբևեռ կոորդինատներ [3]՝ բնութագրվում է նրանով, որ որպես հարթության վրա կոորդինատների գիծ այդ դեպքում հանդես են գալիս երկու դրական A և B շրջակայքերի ընտանիք,ինչպես նաև իրենց օրթոգոնալ շրջակայքերի ընտանիքներ: Երկբևեռ կոորդինատների փոխակերպումը դեկարտյանի տեղի է ունենում հատուկ բանաձևերի միջոցով: Տարածության մեջ երկբևեռ կոորդինատները կոչվում են երկգնդային. այդ դեպքում մակերևույթային կոորդինատները հանդիսանում են գնդեր՝ շրջանագծի աղեղի պտույտով առաջացած մակերևույթներ, ինչպես նաև Oz առանցքով անցնող կիսահարթություններ[4]:
- Երկկենտրոն կոորդինատներ՝ կոորդինատների ցանկացած համակարգ, որը հիմնված է երկու ֆիքսված կետերի վրա և որոնցից ելնելով ինչ-որ այլ կետի դիրք որպես կանոն որոշվում է նրա ջնջման աստճանով կամ ընդհանրապես այդ երկու հիմնական կետերի դիրքերով: Նման տիպի համակրգերը կարող են օգտակար լինել գիտական հետազոտությունների կոնկրետ բնագավառներում[5][6]:
- Երկգլանային կոորդինատներ՝ կոորդինատների համակարգ, որը ձևավորվում է այն դեպքում, եթե երկբևեռ կոորդինատային համակարգը Oxy հարթության վրա զուգահեռ տեղափոխվում է Oz առանցքի երկայնքով:Այդ դեպքում որպես կոորդինատային մակերևույթներ հանդես են գալիս շրջանային գլանների զույգ ընտանիքներ, որոնց առանցքները զուգահեռ են, իրենց որթոգոնալ շրջանային գլանների ընտանիք, ինչպես նաև հարթություն: Երկգլանային կոորդինատները դեկարտյանի վերափոխելու համար եռաչափ տարածության համար նույնպես կիրառվում են հատուկ բանաձևեր[7]:
- Կոնային կոորդինատներ՝ կոորդինատների եռաչափ օրթոգոնալ համակրգ, բաղկացած համակենտրոն գնդերից, որոնք նկարագրվում են իրենց շառավղերով և x և z առանցքների երկայնքով տեղակայված երկու ուղղահայաց կոների ընտանիքներով[8]:
- Ռինդլերի կոորդինատներ՝ կիրառվում է առավելապես հարաբերականության տեսության շրջանակներում և նկարագրում են հարթ տարածաժամանակի այն մասը, որը սովորաբար կոչվում է Մինկովսկու տարածություն: Հարաբերականության հատուկ տեսությունում հավասարաչափ արագացող մասնիկը գտնվում է հիպերբոլական շարժման մեջ, և յուրաքանչյուր այդպիսի մասնիկի համար Ռիդլենի կոորդինատներով կարող է ընտրված լինել այնպիսի հաշվարկի սկզբնակետ, որի նկատմամբ նա կհանդարտվի:
- Պարաբոլական կոորդինատներ՝ երկչափ օրթոգոնալ կոորդինատային համակարգ է, որում կոորդինատային գծեր հանդիսանում է համաֆոկուս պարաբոլների ամբողջությունը: Պարաբոլական կոորդինատների եռաչափ մոդիֆիկացիան ստացվում է այդ պարաբոլների համաչափության առանցքի շուրջ երկչափ համակարգի պտույտի ճանապարհով: Պարաբոլական կոորդինատներում նույնպես կա պոտենցիալ պրակտիկ կիրառման որոշակի սպեկտոր՝ մասնավորապես, նրանք կարող են օգտագործվել Շտարկի էֆեկտի կիրառման մեջ: Պարաբոլական կոորդինատները որոշակի հարաբերությամբ կապված են ուղղանկյուն դեկարտյանների հետ[9]:
- Պրոյեկտիվ կոորդինատներ՝ անվան համաձայն գոյություն ունեն Пn (К) պրոյեկտիվ տարածության մեջ, իրենցից ներկայացնում են փոխադարձ միարժեք համապատասխանություն իր տարրերի և էկվիվալենտության և կարգավորվածության հատկություններով օժտված К մարմնի տարրերի վերջավոր նազմության դասերի միջև: Պրոյեկտիվ ենթատարածությունների պրոյեկտիվ կոորդինատների որոշման համար բավարար է որոշել պրոյեկտիվ տարածության կետերի համապատասխան կոորդինատները: Ընդհանուր դեպքում ինչ-որ բազիսի նկատմամբ պրոյեկտիվ կոորդինատները ներմուծվում են հենց պրոյեկտիվ միջոցներով[10]:
- Տորոիդալ կոորդինատային համակարգ՝ կոորդինատների եռաչափ օրթոգոնալ համակարգ, ստացվում է իր երկու ֆոկուսը բաժանող առանցքի շուրջը երկչափ երկբևեռ կոորդինատային համակարգի պտտումից: Երկբևեռ համակարգի ֆոկուսները համապատասխանաբար վերածվում են տորոիդալ կոորդինատային համակարգի xy հարթության а շառավղով օղակի, այն ժամանակ, երբ z առանցքը դառնում է համակարգի պտտման առանցքը: Կիզակետային օղակը նույնպես երբեմն անվանում են բազային շրջակայք[11]:
- Եռագիծ կոորդինատներ՝ հանդիսանում են միասեռ կոորդինատների օրինակիներից մեկը և ունեն իրենց հիմնական տրված եռանկյունը, այնպես որ որոշակի կետի դիրք որոշվում է այդ եռանկյան կողմերի նկատմամբ՝ նրանց հեռավորության աստճանի գլխավոր ձևով, չնայած հնարավոր են նաև ուրիշ դեպքեր: Եռագիծ կոորդինատները կարող են լինել համեմատաբար պարզ վերափոխված բարիցենտրիկի՝ բացի այդ, նրանք փոխակերպելի են երկչափ ուղղանկյուն կոորդինատների ևս, որի համար կիրառվում են համապատասխան բանաձևեր[12]:
- Գլանային պարաբոլային կոորդինատներ՝ կոորդինատների եռաչափ օրթոգոնալ համակարգ, որը ստացվում է կոորդինատների երկչափ պարաբոլային համակարգում տարածության վերափոխման հետևանքով: Մակերևույթի կոորդինատներ ծառայում են համապատասխանաբար համաֆոկուս պարաբոլային գլանները: Գլանային պարաբոլային կոորդինատները որոշակի հարաբերությամբ կապված են դեկարտյանների հետ, կարոց են կիրառվել մի շարք գիտական հետազոտությունների բնագավառներում[13]:
- Էլիպսոիդային կոորդինատներ՝ էլիպտական կոորդինատներ տարածության մեջ: Տվյալ տեպքում մակերևույթի կոորդինատներ հանդիսանում են էլիպսոիդները, միախոռոչ հիպերբոլոիդները, ինչպես նաև երկխոռոչ հիպերբոլոիդները, որոնց կենտրոնները տեղակայված են կոորդինատների սկզբնակետում: Համակարգը օրթոգոնալ է: Էլիպսոիդալ հանդիսացող կետերի յուրաքանչյուր եռյակի համապատասխանում է ութ կետ, որոնք Oxyz համակարգի հարթության նկատմամբ սիմետրիկ են միմյանց[14]:
Կոորդինատային մի համակարգից մյուսին անցում
Դեկարտյան և բևեռային
որտեղ u0-ն՝ -ով Հևիսայդի ֆունկցիա է, իսկ sgn՝ signum ֆունկցիա: Այստեղ u0 և sgn ֆունկցիաները օգտագործվում են որպես «տրամաբանական» փոխակերպիչներ, ծրագրավորման լեզուներում իմաստով անալոգ օպերատորներով «եթե .. ապա» (if…else): Որոշ ծրագրավորման լեզուներ ունեն հատուկ atan2 (y, x) ֆունկցիան, որը վերադարձնում է ճիշտ φ-ն անհրաշեժտ կվադրանտով, x и y կոորդինատներով որոշված:
Դեկարտյան և գլանային
Դեկարտյան և գնդային
Գլանային և գնդային
Աշխարհագրական կոորդինատային համակարգ
- ↑ Пархоменко А. С. Аффинная система координат. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
- ↑ Скляренко Е. Г. Барицентрические координаты. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
- ↑ Կաղապար:Mathworld
- ↑ Долгачев И. В., Псковских В. А. Биполярные координаты. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
- ↑ R. Price, The Periodic Standing Wave Approximation: Adapted coordinates and spectral methods.
- ↑ The periodic standing-wave approximation: nonlinear scalar fields, adapted coordinates, and the eigenspectral method.
- ↑ Соколов Д. Д. Бицилиндрические координаты. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
- ↑ MathWorld description of conical coordinates
- ↑ MathWorld description of parabolic coordinates
- ↑ Войцеховский М. И. Проективные координаты. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.
- ↑ MathWorld description of toroidal coordinates
- ↑ Weisstein, Eric W., "Trilinear Coordinates", MathWorld.
- ↑ MathWorld description of parabolic cylindrical coordinates
- ↑ Соколов Д. Д. Эллипсоидальные координаты. — Математическая энциклопедия. — М: Советская энциклопедия, 1977—1985.