Էլիպսոիդ

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$
հավասարումով էլիպսոիդի օրինակներ, գնդային մակերևույթ (վերևից, a=b=c=4),
պտտման էլիպսոիդ (ներքևից ձախ, a=b=5, c=3),
եռանցքային էլիպսոիդ (ներքևից աջ, a=4.5, b=6, c=3)

Պտտման էլիպսոիդ

Էլիպսոիդ, եռաչափ տարածության մեջ մակերևույթ, որը ստացվում է երեք փոխուղղահայաց առանցքների երկայնքով գնդի դեֆորմացիայով։ Էլիպսոիդի կանոնական հավասարումը դեկարտյան կոորդինատներով, որոնք համապատասխանում են էլիպսոիդի դեֆորմացիայի առանցքներին.

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,$ որտեղ $a,b,c$-ն՝ կամայական դրական թվեր են։

A, b, c-ի մեծությունները կոչվում են էլիպսոիդի կիսաառանցքներ։ Էլիպսոիդն իրենից ներկայացնում է երկրորդ կարգի մակերեսների հնարավոր ձևերից մեկը։

Այն դեպքում, երբ կիսաառանցքների զույգն ունի նույն երկարությունը, էլիպսոիդը կարող է ստացվել էլիպսի իր առանցքներից մեկի շուրջ պտույտից։ Նման էլիպսոիդը անվանում են պտտման էլիպսոիդ։

Էլիպսոիդն Երկիր մակերևույթի ավելի վառ օրինակ է, քան՝ գունդը։

Էլիպսոիդի պարամետրական հավասարումն է.

${\begin{aligned}x&=a\sin(\theta )\cos(\varphi ),\\y&=b\sin(\theta )\sin(\varphi ),\\z&=c\cos(\theta ),\end{aligned}}\,\!$

որտեղ

$0\leq \theta \leq \pi ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi :$

Պտտման էլիպսոիդի մակերևույթի մակերեսն է.

$S=4\pi b^{2}\left(1+{\frac {2}{3}}e^{2}+{\frac {3}{5}}e^{4}+{\frac {4}{7}}e^{6}+...+{\frac {k+1}{2k+1}}e^{2k}+...\right):$

Տարրական ֆունկցիաներով՝

$S_{\rm {oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\mathrm {arth} \,e\right)\quad {\mbox{,}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\quad (c<a),$

$S_{\rm {prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\sin ^{-1}e\right)\quad \qquad {\mbox{,}}\;\quad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}\quad (c>a),$

Oblate, prolate համապատասխանաբար սեղմում և ձգում։

Էլիպսոիդ է կոչվում նաև էլիպսոիդի մակերևույթով սահմանափակված մարմինը։ Էլիպսոիդի ծավալն է.

$V={\frac {4}{3}}\pi abc:$

• 

  Ձգման պտտման էլիպսոիդ

• 

  Սեղման պտտման էլիպսոիդ

• 

  Սեղման պտտման էլիպսոիդն ու իր կազմիչ գիծը

• 

  Տարբեր երկարությամբ կիսառանցքներով եռառանցք էլիպսոիդի

Գրականություն

• Бобылёв Д. К., (1890–1907)։ «Эллипсоид»։ Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ)։ Սանկտ Պետերբուրգ 
• Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф., Высшая математика. Первый семестр / интерактивный компьютерный учебник.

Ծանոթագրություններ

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 36)։