Օկտաէդր
Կանոնավոր օկտաէդր | |
---|---|
![]() | |
Համաչափության խումբ | |
Տիպ | կանոնավոր բազմանիստ |
Նշանակում | * O
|
Շլեֆլիի սիմվոլ | *
|
Վիտխոֆֆի սիմվոլ | 2 3 |

Օկտաէդր (հուն․՝ οκτάεδρον, οκτώ «ութ» + έδρα «հիմք»), ութ նիստերից կազմված բազմանիստ:
Կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է հինգ ուռուցիկ կանոնավոր բազմանիստերից (այսպես կոչված պլատոնյան մարմիններ) մեկը, նրա նիստերը ութ հավասարակողմ եռանկյուններ են: Կանոնավոր օկտաէդրը.
- երկակի է խորանարդին,
- տետրաէդրի ամբողջական հատույթ է,
- քառակուսային երկբուրգ է ցանկացած երեք օրթոգոնալ ուղղություններով,
- եռանկյունային անտիպրիզմա է ցանկացած չորս ուղղություններով:
Օկտաէդրը հիպերօկտաէդրի առավել ընդհանուր տարբերակն է եռաչափ տարածությունում:
Կանոնավոր օկտաէդր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 8 եռանկյուն նիստ, 12 կող, 6 գագաթ, յուրաքանչյուր գագթից դուրս է գալիս 4 նիստ:
Չափեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Եթե օկտաէդրի կողի երկարությունը հավասար է а, ապա օկտաէդրին արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է.
Օկտաէդրին ներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հաշվում են հետևյալ բանաձևով.
Երկնիստ անկյունը. , որտեղ :
Բոլոր կողերը շոշափող կիսաներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է
- :
Օրթոգոնալ պրոյեկցիաները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Օկտաէդրն ունի չորս հատուկ օրթոգոնալ պրոյեկցիաներ՝ կենտրոնադրած կողով, գագաթով, նիստով և նիստի նորմալով: Երկրորդ և երրորդ դեպքը համապատասխանում են Կոքսետերի B2 և A2 հարթություններին:
Կենտրոնադրում | Կողով | Նիստի նորմալով | Գագաթով | Նիստով |
---|---|---|---|---|
Պատկեր | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Պրոյեկտիվ համաչափություն | [2] | [2] | [4] | [6] |
Գնդային խճանկար[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Օկտաէդրը կարելի է ներկայացնել որպես գնդային խճանկար և հարթության վրա պրոյեկտել տարածագրական պրոյեկցիայի օգնությամբ: Այդ պրոյեկցիան կոնֆորմ է, պահպանում է անկյունները, բայց ոչ երկարություններն ու մակերեսը: Գնդի վրայի հատվածները հարթության վրա արտապատկերվում են շրջանագծի աղեղների:
![]() |
![]() Եռանկյունա-կենտրոնադրած |
Օրթոգոնալ պրոյեկցիա | Տարածագրական պրոյեկցիա |
---|
Դեկարտյան կոորդինատներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
երկարությամբ կողով օկտաէդրը կոորդինատների սկզբնակետից կարող է տեղադրվել այնպես, որ նրա բարձրություններն ընկած լինեն կոորդինատային առանցքների վրա: Այդ դեպքում գագաթների դեկարտյան կոորդինատները կլինեն.
- (±1, 0, 0);
- (0, ±1, 0);
- (0, 0, ±1):
x-y-z ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում օկտաէդրը դա (a, b, c) կետով կենտրոնով և r շառավղով բոլոր (x, y, z) կետերի բազմությունն է, այնպես, որ
Մակերես և ծավալ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
a երկարությամբ կողով կանոնավոր օկտաէդրի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է
- :
Օկտաէդրի ծավալը (V) հաշվարկվում է
- բանաձևով:
Այսպիսով, նույն երկարությամբ կողով օկտաէդրի ծավալը չորս անգամ մեծ է տետրաէդրի ծավալից, իսկ մակերևույթի մակերեսը մեծ է երկու անգամ (քանի որ մակերևույթը կազմված է 8 եռանկյուններից, իսկ տետրաէդրը՝ 4):
Եթե օկտաէդրը ձգենք, որպեսզի տեղի ունենա հետևյալ հավասարությունը.
մակերեսի և ծավալի բանաձևերը վերածվում են՝
Բացի այդ, ձգված օկտաէդրի իներցիայի մոմենտների տենզորը հավասար կլինի.
Այն բերվում է կանոնավոր օկտաէդրի հավասարման, երբ. :
Երկրաչափական կապեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Երկու երկակի տետրաէդրերի ներքին (ընդհանուր) փոխդասավորվածության մաս է կազմում օկտաէդրը, իսկ հենց այդ փոխդասավորությունը կոչվում է աստղաձև օկտաէդր (լատ. stella octangula): Փոխդասավորվածությունը հանդիսանում է օկտաէդրի աստղաձև միակ ձևը: Հետևաբար, կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է կանոնավոր տետրաէդրից կողի կեսի երկայնքով չորս կանոնավոր տետրաէդրերով հատույթ: Օկտաէդրի գագաթները ընկած են տետրաէդրի կողերի մեջտեղում և օկտաէդրը տետրաէդրի հետ կապված է նույն ձևով, ինչպես խորանարդաօկտաէդրը և իկոսոդոեկտաէդրը կապված են պլատոնյան մնացած մարմինների հետ:
Օկտաէդրը պլատոնյան մարմինների շրջանակում յուրահատուկ է նրանով, որ միայն նա յուրաքանչյուր գագաթին կից ունի զույգ թվով նիստեր:
Օկտաէդրը համարվում է 4-կապանի: Դա նշանակում է, որ պետք է հեռացնել չորս գագաթները, որպեսզի մնացածները հեռացնեն: Դա 4-կապանի 4 սիմպլիցիալ լավ ծածկույթով բազմանիստերից մեկն է, որը նշանակում է, որ գագաթների ամենաշատ անկախ բազմությունները ունեն նույն չափը: Այդ հատկություններով մնացած երեք բազմանիստերն են հնգանկյուն երկբուրգը, սիամական դոդեկաէդրը և 12 գագաթներով և 20 եռանկյուն նիստերով անկանոն բազմանիստը[1]:
- Օկտաէդրը կարելի է ներգծել տետրաէդրին, ընդ որում օկտաէդրի 8 նիստերից 4-ը կլինեն համադրված տետրաէդրի չորս նիստերի հետ, օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները կլինեն համադրված տետրաէդրի վեց կողերի միջնակետերի հետ:
- Օկտաէդրը կարելի է ներգծել խորանարդին, ընդ որում օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները համադրված կլինեն խորանարդի վեց նիստերի կենտրոնների հետ:
- Օկտաէդրին կարելի է ներգծել խորանարդ, ընդ որում խորանարդի բոլոր ութ գագաթները տեղակայված կլինեն օկտաէդրի ութ նիստերի կենտրոններում:
Համասեռ գունավորում և սիմետրիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Գոյություն ունի համասեռ գունավորմամբ 5 օկտաէդրեր, անվանված են ըստ իրենց նիստերի գույների. 1212, 1112, 1111:
Օկտաէդրի համաչափության խումբ է հանդիսանում 48 կարգի Oh հիպերօկտաէդրալ եռաչափ խումբը: Այդ խմբի ենթախմբերի կազմի մեջ է մտնում D3d (12 կարգի)՝ եռանկյուն անտիպրիզմայի համաչափության խումբը, D4h (16 կարգի)՝ քառակուսային երկբուրգի համաչափության խումբը և Td (24 կարգի)՝ ամբողջությամբ հատած տետրաէդրի համաչափության խումբ: Այդ համաչափությունները կարելի է ընդգծել նիստերի տարատեսակ գունավորման ճանապարհով:
Անվանում | Օկտաէդր | Ամբողջությամբ
հատած տետրաէդր |
Եռանկյունային անտիպրիզմա | Քառակուսային երկբուրգ | Շեղանկյունային երկբուրգ |
---|---|---|---|---|---|
Պատկեր (Նիստերի գունավորում) |
![]() (1111) |
![]() (1212) |
![]() (1112) |
![]() (1111) |
![]() (1111) |
Շլեֆլիի սիմվոլ | {3,4} | r{3,3} | s{2,6} sr{2,3} |
ft{2,4} { } + {4} |
ftr{2,2} { } + { } + { } |
Վիտխոֆֆի սիմվոլ | 4 | 3 2 | 2 | 4 3 | 2 | 6 2 | 2 3 2 |
||
Համաչափություն | Oh, [4,3], (*432) | Td, [3,3], (*332) | D3d, [2+,6], (2*3) D3, [2,3]+, (322) |
D4h, [2,4], (*422) | D2h, [2,2], (*222) |
Կարգ | 48 | 24 | 12 6 |
16 | 8 |
Փռվածքներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Գոյություն ունի օկտաէդրի 12 փռվածք[2]:
Երկակիություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Օկտաէդրը երկակի է խորանարդին:
Հատույթ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Համասեռ տետրահեմիհեկսաէդրը համարվում է կանոնավոր օկտաէդրի տետրաէդրալ համաչափության հետ հատույթ, որը պահպանում է կողերի և գագաթների դասավորությունը: Հատույթն ունի չորս եռանկյուն նիստեր և 3 կենտրոնական քառակուսի:
![]() Օկտաէդր |
![]() Տետրահեմիհեկսաէդր |
Ոչ կանոնավոր օկտաէդրեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Հաջորդ բազմանիստերը կոմբինատոր համարժեք են կանոնավոր օկտաէդրին: Նրանք բոլորն ունեն վեց գագաթ, ութ եռանկյուն նիստեր և տասներկու կողեր, ինչը համապատասխանում է կանոնավոր օկտաէդրի պարամետրերին:
- Եռանկյուն անտիպրիզմաներ՝ երկու նիստերն իրենցից ներկայացնում են զուգահեռ հարթություններում ընկած և համաչափության ընդհանուր առանք ունեցող հավասարակողմ եռանկյուններ: Մյուս վեց եռանկյունները հավասարակողմ են:
- Քառանկյուն երկբուրգեր, որի մեջ ամենաքիչը մեկ էկվատորիալ քառանկյունը ընկած է հարթության մեջ: Կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է հատուկ դեպք, երբ բոլոր երեք քառանկյունները համդիսանում են հարթ քառակուսիներ:
- Շոնխարդտի բազմանիստ, ոչ ուռուցիկ բազմանիստ, որն առանց նոր գագաթներ ներմուծելու հնարավոր չէ տրոհել տետրաէդրերի:
Այլ ուռուցիկ ութանիստեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Ընդհանուր առմամբ, օկտաէդր կարող է անվանվել ութ նիստ ունեցող բազմանիստը: Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 6 գագաթ և 12 կող՝ մինիմալ թիվ օկտաէդրի համար: Ոչ կանոնավոր ութանիստերը կարող են ունենալ մինչև 12 գագաթ և 18 կող[2][3]:
Գոյություն ունի 257 տոպոլոգիապես տարբեր ուռուցիկ ութանիստեր, հայելային արտապատկերումները բացառած[2]: Մասնավորապես, գոյություն ունի 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 ութանիստեր համապատասխանաբար 6-ից մինչև 12 գագաթների թվով[4][5]:
Որոշ ոչ կանոնավոր ութանիստեր.
- Ութանկյուն պրիզմա. Երկու նիստերը հանդիսանում են զուգահեռ կանոնավոր վեցանկյուններ, վեց քառակուսիներ զույգ առ զույգ միացնում են վեցանկյունների համապատասխան կողմերը:
- Յոթանկյուն բուրգ. Մեկ նիստը հանդիսանում է յոթանկյուն (հիմնականում կանոնավոր), իսկ մնացած յոթ նիստերը հանդիսանում են եռանկյուններ (հիմնականում հավասարասրուն): Հնարավոր չէ, որպեսզի բոլոր եռանկյուն նիստերը լինեն հավասարակողմ:
- Հատած տետրաէդր. Տետրաէդրի չորս նիստերը հատվում են մինչև կանոնավոր վեցանկյուններ և հատած գագաթների տեղում ձևավորվում են երեք հավելյալ հավասարակողմ եռանկյուն նիստեր :
- Քառանկյուն տրապեցոէդր. Ութ նիստերը կոնգրուենտ են դելտոիդներին:
Օկտաէդրերը ֆիզիկական աշխարհում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Օկտաէդրերը բնության մեջ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

- Բնական մի շարք խորանարդային բյուրեղներ ունեն օկտաէդրի տեսք: Դրանք են. ալմաստը, ալյումինակալիումի սուլֆատը, նատրիումի քլորիդը, պերովսկիտը, օլիվինը, ֆլյուորիտը, շպինելը:
- Օկտաէդրի ձև ունեն մաքուր մետաղների (նիկել, պղինձ, մագնեզիում, տիտան, լանթան և շատ ուրիշներ) պլատոնափաթեթային կառուցվածքների մեջ միջատոմային դատարկությունները (անցքեր):
- Կամասիտի համաձուլվածքների թիթեղը օկտաէդրիտային երկնաքարերում տեղավորված են ութանիստ օկտաէդրի ութ նիստերին զուգահետ:
Օկտաէդրն արվեստի և մշակույթի մեջ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

- Խաղերի մեջ օկտաէդրի տեսքի զառը կոչվում է «d8»:
- Եթե օկտաէդրի յուրաքանչյուր կող փոխարինենք միաօհմ ռեզիստրով, հանդիպակաց գագաթների միջև դիմադրությունը կկազմի 1/2 Օհմ, իսկ կից գագաթների միջև՝ 5/12 Օհմ[6].
- Երաժշտական յոթ նոտաներ օկտաէդրի գագաթների վրա կարելի է դասավորել այնպես, որ յուրաքանչյուր կող ներկայացնի ներդաշնակ զույգ, իսկ յուրաքանչյուր նիստ՝ ներդաշնակ եռյակ:
- Հակատանկային ոզնին ունի երեք շեղակի օկտաէդրի ձև:
Տետրաէդալ կապ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Կրկնվող տետրաէդրերից և օկտաէդրերից կազմված կմախքը 1950-ական թվականներին հայտնաբերել է Ֆուլլերը և այն հայտնի է որպես տարածական շրջանակ և համարվում է ամուր կառույց:
Կապված բազմանիստեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Կանոնավոր օկտաէդր կարելի է ստանալ իրար հաջորդող նիստերի վրա ավելացնելով չորս տետրաէդրեր: Բոլոր ութ նիստերին տետրադրեր ավելացնելը ձևավորում է աստղաձև օկտաէդր:
![]() |
![]() |
Տետրաէդր | Աստղաձև օկտաէդր |
---|
Տետրատետրաէդր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Կանոնավոր օկտաէդրը կարելի է դիտարկել որպես ամբողջական հատած տետրաէդր և կարող է անվանվել տետրատետրաէդր: Դա կարելի է ցույց տալ երկու գույնով ներկված մոդելով: Այդ գունավորմամբ օկտաէդրն ունենում է տետրաէդրալ համաչափություն:
Համաչափություն: [3,3], (*332) | [3,3]+, (332) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
{3,3} | t{3,3} | r{3,3} | t{3,3} | {3,3} | rr{3,3} | tr{3,3} | sr{3,3} |
Երկակի բազմանիստեր | |||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- ↑ Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer, 2010, էջ 894–912
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Կաղապար:MathWorld3
- ↑ Steven Dutch։ «Enumeration of Polyhedra»։ Արխիվացված է օրիգինալից 2011-10-10-ին։ Վերցված է 2015-11-08
- ↑ Counting polyhedra
- ↑ «Архивированная копия»։ Արխիվացված է օրիգինալից 2014-11-17-ին։ Վերցված է 2016-08-14
- ↑ Klein, 2002, էջ 633–649
Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- Большая советская энциклопедия
- Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer On well-covered triangulations. III // Discrete Applied Mathematics. — 2010. — В. 8. — Т. 158. —
- Douglas J. Klein Resistance-Distance Sum Rules // Croatica Chemica Acta. — 2002. — В. 2. — Т. 75. Архивировано из первоисточника 10 Հունիսի 2007.
- R. Williams Chapter 5 The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979.
Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- Կաղապար:Mathworld
- Klitzing Polytopes, 3D convex uniform polyhedra
- Editable printable net of an octahedron with interactive 3D view
- Paper model of the octahedron
- K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra
- The Uniform Polyhedra
- Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
- Conway Notation for Polyhedra Try: dP4