Օկտաէդր

Կանոնավոր օկտաէդր
Համաչափության խումբ	$O_{h}$
Տիպ	կանոնավոր բազմանիստ
Նշանակում	* O aT
Շլեֆլիի սիմվոլ	* $\{3,4\}$ $r\{3,3\}$ или ${\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$
Վիտխոֆֆի սիմվոլ	2 3

Օկտաէդրին արտագծած գնդային մակերևույթ

Օկտաէդր (հուն․՝ οκτάεδρον, οκτώ «ութ» + έδρα «հիմք»), ութ նիստերից կազմված բազմանիստ:

Կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է հինգ ուռուցիկ կանոնավոր բազմանիստերից (այսպես կոչված պլատոնյան մարմիններ) մեկը, նրա նիստերը ութ հավասարակողմ եռանկյուններ են: Կանոնավոր օկտաէդրը.

• երկակի է խորանարդին,
• տետրաէդրի ամբողջական հատույթ է,
• քառակուսային երկբուրգ է ցանկացած երեք օրթոգոնալ ուղղություններով,
• եռանկյունային անտիպրիզմա է ցանկացած չորս ուղղություններով:

Օկտաէդրը հիպերօկտաէդրի առավել ընդհանուր տարբերակն է եռաչափ տարածությունում:

Կանոնավոր օկտաէդր

Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 8 եռանկյուն նիստ, 12 կող, 6 գագաթ, յուրաքանչյուր գագթից դուրս է գալիս 4 նիստ:

Չափեր

Եթե օկտաէդրի կողի երկարությունը հավասար է а, ապա օկտաէդրին արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է.

$r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.7071067\cdot a$,

Օկտաէդրին ներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հաշվում են հետևյալ բանաձևով.

$r_{i}={\frac {a}{6}}{\sqrt {6}}\approx 0.4082482\cdot a:$

Երկնիստ անկյունը. $\alpha =2\phi \approx 109,47^{\circ }$, որտեղ $\phi =arccos({\frac {\sqrt {3}}{3}})$:

Բոլոր կողերը շոշափող կիսաներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է

$r_{m}={\frac {a}{2}}=0.5\cdot a$:

Օրթոգոնալ պրոյեկցիաները

Օկտաէդրն ունի չորս հատուկ օրթոգոնալ պրոյեկցիաներ՝ կենտրոնադրած կողով, գագաթով, նիստով և նիստի նորմալով: Երկրորդ և երրորդ դեպքը համապատասխանում են Կոքսետերի B₂ և A₂ հարթություններին:

Օրթոգոնալ պրոյեկցիաներ

Կենտրոնադրում	Կողով	Նիստի նորմալով	Գագաթով	Նիստով
Պատկեր
Պրոյեկտիվ համաչափություն	[2]	[2]	[4]	[6]

Գնդային խճանկար

Օկտաէդրը կարելի է ներկայացնել որպես գնդային խճանկար և հարթության վրա պրոյեկտել տարածագրական պրոյեկցիայի օգնությամբ: Այդ պրոյեկցիան կոնֆորմ է, պահպանում է անկյունները, բայց ոչ երկարություններն ու մակերեսը: Գնդի վրայի հատվածները հարթության վրա արտապատկերվում են շրջանագծի աղեղների:

	Եռանկյունա-կենտրոնադրած
Օրթոգոնալ պրոյեկցիա	Տարածագրական պրոյեկցիա

Դեկարտյան կոորդինատներ

${\sqrt {2}}$ երկարությամբ կողով օկտաէդրը կոորդինատների սկզբնակետից կարող է տեղադրվել այնպես, որ նրա բարձրություններն ընկած լինեն կոորդինատային առանցքների վրա: Այդ դեպքում գագաթների դեկարտյան կոորդինատները կլինեն.

(±1, 0, 0);

(0, ±1, 0);

(0, 0, ±1):

x-y-z ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում օկտաէդրը դա (a, b, c) կետով կենտրոնով և r շառավղով բոլոր (x, y, z) կետերի բազմությունն է, այնպես, որ

$\left|x-a\right|+\left|y-b\right|+\left|z-c\right|=r:$

Մակերես և ծավալ

a երկարությամբ կողով կանոնավոր օկտաէդրի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է

$S=2a^{2}{\sqrt {3}}\approx 3.46410162a^{2}$:

Օկտաէդրի ծավալը (V) հաշվարկվում է

$V={\begin{matrix}{1 \over 3}\end{matrix}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 0.471404521a^{3}$

բանաձևով:

Այսպիսով, նույն երկարությամբ կողով օկտաէդրի ծավալը չորս անգամ մեծ է տետրաէդրի ծավալից, իսկ մակերևույթի մակերեսը մեծ է երկու անգամ (քանի որ մակերևույթը կազմված է 8 եռանկյուններից, իսկ տետրաէդրը՝ 4):

Եթե օկտաէդրը ձգենք, որպեսզի տեղի ունենա հետևյալ հավասարությունը.

$\left|{\frac {x}{x_{m}}}\right|+\left|{\frac {y}{y_{m}}}\right|+\left|{\frac {z}{z_{m}}}\right|=1,$

մակերեսի և ծավալի բանաձևերը վերածվում են՝

$A=4\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}\times {\sqrt {{\frac {1}{x_{m}^{2}}}+{\frac {1}{y_{m}^{2}}}+{\frac {1}{z_{m}^{2}}}}}$

$V={\frac {4}{3}}\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}$

Բացի այդ, ձգված օկտաէդրի իներցիայի մոմենտների տենզորը հավասար կլինի.

$I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{10}}m(y_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}+y_{m}^{2})\end{bmatrix}}$

Այն բերվում է կանոնավոր օկտաէդրի հավասարման, երբ. $x_{m}=y_{m}=z_{m}=a\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}$:

Երկրաչափական կապեր

Օկտաէդրն իրենից ներկայացնում է երկու տետրաէդրերի հատում

Երկու երկակի տետրաէդրերի ներքին (ընդհանուր) փոխդասավորվածության մաս է կազմում օկտաէդրը, իսկ հենց այդ փոխդասավորությունը կոչվում է աստղաձև օկտաէդր (լատ. stella octangula): Փոխդասավորվածությունը հանդիսանում է օկտաէդրի աստղաձև միակ ձևը: Հետևաբար, կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է կանոնավոր տետրաէդրից կողի կեսի երկայնքով չորս կանոնավոր տետրաէդրերով հատույթ: Օկտաէդրի գագաթները ընկած են տետրաէդրի կողերի մեջտեղում և օկտաէդրը տետրաէդրի հետ կապված է նույն ձևով, ինչպես խորանարդաօկտաէդրը և իկոսոդոեկտաէդրը կապված են պլատոնյան մնացած մարմինների հետ:

Օկտաէդրը պլատոնյան մարմինների շրջանակում յուրահատուկ է նրանով, որ միայն նա յուրաքանչյուր գագաթին կից ունի զույգ թվով նիստեր:

Օկտաէդրը համարվում է 4-կապանի: Դա նշանակում է, որ պետք է հեռացնել չորս գագաթները, որպեսզի մնացածները հեռացնեն: Դա 4-կապանի 4 սիմպլիցիալ լավ ծածկույթով բազմանիստերից մեկն է, որը նշանակում է, որ գագաթների ամենաշատ անկախ բազմությունները ունեն նույն չափը: Այդ հատկություններով մնացած երեք բազմանիստերն են հնգանկյուն երկբուրգը, սիամական դոդեկաէդրը և 12 գագաթներով և 20 եռանկյուն նիստերով անկանոն բազմանիստը:

• Օկտաէդրը կարելի է ներգծել տետրաէդրին, ընդ որում օկտաէդրի 8 նիստերից 4-ը կլինեն համադրված տետրաէդրի չորս նիստերի հետ, օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները կլինեն համադրված տետրաէդրի վեց կողերի միջնակետերի հետ:
• Օկտաէդրը կարելի է ներգծել խորանարդին, ընդ որում օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները համադրված կլինեն խորանարդի վեց նիստերի կենտրոնների հետ:
• Օկտաէդրին կարելի է ներգծել խորանարդ, ընդ որում խորանարդի բոլոր ութ գագաթները տեղակայված կլինեն օկտաէդրի ութ նիստերի կենտրոններում:

Համասեռ գունավորում և սիմետրիա

Գոյություն ունի համասեռ գունավորմամբ 5 օկտաէդրեր, անվանված են ըստ իրենց նիստերի գույների. 1212, 1112, 1111:

Օկտաէդրի համաչափության խումբ է հանդիսանում 48 կարգի O_h հիպերօկտաէդրալ եռաչափ խումբը: Այդ խմբի ենթախմբերի կազմի մեջ է մտնում D_3d (12 կարգի)՝ եռանկյուն անտիպրիզմայի համաչափության խումբը, D_4h (16 կարգի)՝ քառակուսային երկբուրգի համաչափության խումբը և T_d (24 կարգի)՝ ամբողջությամբ հատած տետրաէդրի համաչափության խումբ: Այդ համաչափությունները կարելի է ընդգծել նիստերի տարատեսակ գունավորման ճանապարհով:

Անվանում	Օկտաէդր	Ամբողջությամբ հատած տետրաէդր (Տետրատետրաէդր)	Եռանկյունային անտիպրիզմա	Քառակուսային երկբուրգ	Շեղանկյունային երկբուրգ
Պատկեր (Նիստերի գունավորում)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Շլեֆլիի սիմվոլ	{3,4}	r{3,3}	s{2,6} sr{2,3}	ft{2,4} { } + {4}	ftr{2,2} { } + { } + { }
Վիտխոֆֆի սիմվոլ	4 | 3 2	2 | 4 3	2 | 6 2 | 2 3 2
Համաչափություն	Oh, [4,3], (*432)	Td, [3,3], (*332)	D3d, [2+,6], (2*3) D3, [2,3]+, (322)	D4h, [2,4], (*422)	D2h, [2,2], (*222)
Կարգ	48	24	12 6	16	8

Փռվածքներ

Գոյություն ունի օկտաէդրի 12 փռվածք:

Երկակիություն

Օկտաէդրը երկակի է խորանարդին:

Հատույթ

Համասեռ տետրահեմիհեկսաէդրը համարվում է կանոնավոր օկտաէդրի տետրաէդրալ համաչափության հետ հատույթ, որը պահպանում է կողերի և գագաթների դասավորությունը: Հատույթն ունի չորս եռանկյուն նիստեր և 3 կենտրոնական քառակուսի:

Օկտաէդր

Տետրահեմիհեկսաէդր

Ոչ կանոնավոր օկտաէդրեր

Հաջորդ բազմանիստերը կոմբինատոր համարժեք են կանոնավոր օկտաէդրին: Նրանք բոլորն ունեն վեց գագաթ, ութ եռանկյուն նիստեր և տասներկու կողեր, ինչը համապատասխանում է կանոնավոր օկտաէդրի պարամետրերին:

• Եռանկյուն անտիպրիզմաներ՝ երկու նիստերն իրենցից ներկայացնում են զուգահեռ հարթություններում ընկած և համաչափության ընդհանուր առանք ունեցող հավասարակողմ եռանկյուններ: Մյուս վեց եռանկյունները հավասարակողմ են:
• Քառանկյուն երկբուրգեր, որի մեջ ամենաքիչը մեկ էկվատորիալ քառանկյունը ընկած է հարթության մեջ: Կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է հատուկ դեպք, երբ բոլոր երեք քառանկյունները համդիսանում են հարթ քառակուսիներ:
• Շոնխարդտի բազմանիստ, ոչ ուռուցիկ բազմանիստ, որն առանց նոր գագաթներ ներմուծելու հնարավոր չէ տրոհել տետրաէդրերի:

Այլ ուռուցիկ ութանիստեր

Ընդհանուր առմամբ, օկտաէդր կարող է անվանվել ութ նիստ ունեցող բազմանիստը: Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 6 գագաթ և 12 կող՝ մինիմալ թիվ օկտաէդրի համար: Ոչ կանոնավոր ութանիստերը կարող են ունենալ մինչև 12 գագաթ և 18 կող:

Վեցանկյուն պրիզմա

Երեսակված տետրաէդր

Քառանկյուն տետրաէդր

Գոյություն ունի 257 տոպոլոգիապես տարբեր ուռուցիկ ութանիստեր, հայելային արտապատկերումները բացառած: Մասնավորապես, գոյություն ունի 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 ութանիստեր համապատասխանաբար 6-ից մինչև 12 գագաթների թվով:

Որոշ ոչ կանոնավոր ութանիստեր.

• Ութանկյուն պրիզմա. Երկու նիստերը հանդիսանում են զուգահեռ կանոնավոր վեցանկյուններ, վեց քառակուսիներ զույգ առ զույգ միացնում են վեցանկյունների համապատասխան կողմերը:
• Յոթանկյուն բուրգ. Մեկ նիստը հանդիսանում է յոթանկյուն (հիմնականում կանոնավոր), իսկ մնացած յոթ նիստերը հանդիսանում են եռանկյուններ (հիմնականում հավասարասրուն): Հնարավոր չէ, որպեսզի բոլոր եռանկյուն նիստերը լինեն հավասարակողմ:
• Հատած տետրաէդր. Տետրաէդրի չորս նիստերը հատվում են մինչև կանոնավոր վեցանկյուններ և հատած գագաթների տեղում ձևավորվում են երեք հավելյալ հավասարակողմ եռանկյուն նիստեր :
• Քառանկյուն տրապեցոէդր. Ութ նիստերը կոնգրուենտ են դելտոիդներին:

Օկտաէդրերը ֆիզիկական աշխարհում

Օկտաէդրերը բնության մեջ

Ֆլյուրոիտե օկտաէդր

• Բնական մի շարք խորանարդային բյուրեղներ ունեն օկտաէդրի տեսք: Դրանք են. ալմաստը, ալյումինակալիումի սուլֆատը, նատրիումի քլորիդը, պերովսկիտը, օլիվինը, ֆլյուորիտը, շպինելը:
• Օկտաէդրի ձև ունեն մաքուր մետաղների (նիկել, պղինձ, մագնեզիում, տիտան, լանթան և շատ ուրիշներ) պլատոնափաթեթային կառուցվածքների մեջ միջատոմային դատարկությունները (անցքեր):
• Կամասիտի համաձուլվածքների թիթեղը օկտաէդրիտային երկնաքարերում տեղավորված են ութանիստ օկտաէդրի ութ նիստերին զուգահետ:

Օկտաէդրն արվեստի և մշակույթի մեջ

Երկու միանման դասավորած ռուբիկի օձերը կարող են մոտարկել օկտաէդր:

• Խաղերի մեջ օկտաէդրի տեսքի զառը կոչվում է «d8»:
• Եթե օկտաէդրի յուրաքանչյուր կող փոխարինենք միաօհմ ռեզիստրով, հանդիպակաց գագաթների միջև դիմադրությունը կկազմի 1/2 Օհմ, իսկ կից գագաթների միջև՝ 5/12 Օհմ.
• Երաժշտական յոթ նոտաներ օկտաէդրի գագաթների վրա կարելի է դասավորել այնպես, որ յուրաքանչյուր կող ներկայացնի ներդաշնակ զույգ, իսկ յուրաքանչյուր նիստ՝ ներդաշնակ եռյակ:
• Հակատանկային ոզնին ունի երեք շեղակի օկտաէդրի ձև:

Տետրաէդալ կապ

Կրկնվող տետրաէդրերից և օկտաէդրերից կազմված կմախքը 1950-ական թվականներին հայտնաբերել է Ֆուլլերը և այն հայտնի է որպես տարածական շրջանակ և համարվում է ամուր կառույց:

Կապված բազմանիստեր

Կանոնավոր օկտաէդր կարելի է ստանալ իրար հաջորդող նիստերի վրա ավելացնելով չորս տետրաէդրեր: Բոլոր ութ նիստերին տետրադրեր ավելացնելը ձևավորում է աստղաձև օկտաէդր:

Տետրաէդր	Աստղաձև օկտաէդր

Տետրատետրաէդր

Կանոնավոր օկտաէդրը կարելի է դիտարկել որպես ամբողջական հատած տետրաէդր և կարող է անվանվել տետրատետրաէդր: Դա կարելի է ցույց տալ երկու գույնով ներկված մոդելով: Այդ գունավորմամբ օկտաէդրն ունենում է տետրաէդրալ համաչափություն:

Համասեռ տետրաէդրալ բազմանիստերի ընտանիք

Համաչափություն: [3,3], (*332)							[3,3]+, (332)
{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
Երկակի բազմանիստեր
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Տես նաև

• Կոմպլեքս միացություններ

Գրականություն

• Большая советская энциклопедия
• Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer On well-covered triangulations. III // Discrete Applied Mathematics. — 2010. — В. 8. — Т. 158. —
• Douglas J. Klein Resistance-Distance Sum Rules // Croatica Chemica Acta. — 2002. — В. 2. — Т. 75. Архивировано из первоисточника 10 Հունիսի 2007.
• R. Williams Chapter 5 The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979.

Արտաքին հղումներ

• Կաղապար:Mathworld
• Klitzing Polytopes, 3D convex uniform polyhedra
• Editable printable net of an octahedron with interactive 3D view
• Paper model of the octahedron
• K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra
• The Uniform Polyhedra
• Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
  • Conway Notation for Polyhedra Try: dP4