Օկտաէդր

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Կանոնավոր օկտաէդր
Octahedron.svg
Համաչափության խումբ
Տիպ կանոնավոր բազմանիստ
Նշանակում * O
  • aT
Շլեֆլիի սիմվոլ *
  • или
Վիտխոֆֆի սիմվոլ 2 3

Օկտաէդր (հուն․՝ οκτάεδρον, οκτώ «ութ» + έδρα «հիմք»), ութ նիստերից կազմված բազմանիստ:

Կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է հինգ ուռուցիկ կանոնավոր բազմանիստերից (այսպես կոչված պլատոնյան մարմիններ) մեկը, նրա նիստերը ութ հավասարակողմ եռանկյուններ են: Կանոնավոր օկտաէդրը.

Օկտաէդրը հիպերօկտաէդրի առավել ընդհանուր տարբերակն է եռաչափ տարածությունում:

Կանոնավոր օկտաէդր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 8 եռանկյուն նիստ, 12 կող, 6 գագաթ, յուրաքանչյուր գագթից դուրս է գալիս 4 նիստ:

Չափեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե օկտաէդրի կողի երկարությունը հավասար է а, ապա օկտաէդրին արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է.

,

Օկտաէդրին ներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հաշվում են հետևյալ բանաձևով.

Երկնիստ անկյունը. , որտեղ :

Բոլոր կողերը շոշափող կիսաներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է

:

Օրթոգոնալ պրոյեկցիաները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Օկտաէդրն ունի չորս հատուկ օրթոգոնալ պրոյեկցիաներ՝ կենտրոնադրած կողով, գագաթով, նիստով և նիստի նորմալով: Երկրորդ և երրորդ դեպքը համապատասխանում են Կոքսետերի B2 և A2 հարթություններին:

Օրթոգոնալ պրոյեկցիաներ
Կենտրոնադրում Կողով Նիստի նորմալով Գագաթով Նիստով
Պատկեր Cube t2 e.png Cube t2 fb.png 3-cube t2 B2.svg 3-cube t2.svg
Պրոյեկտիվ համաչափություն [2] [2] [4] [6]

Գնդային խճանկար[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Օկտաէդրը կարելի է ներկայացնել որպես գնդային խճանկար և հարթության վրա պրոյեկտել տարածագրական պրոյեկցիայի օգնությամբ: Այդ պրոյեկցիան կոնֆորմ է, պահպանում է անկյունները, բայց ոչ երկարություններն ու մակերեսը: Գնդի վրայի հատվածները հարթության վրա արտապատկերվում են շրջանագծի աղեղների:

Uniform tiling 432-t2.png Octahedron stereographic projection.png
Եռանկյունա-կենտրոնադրած
Օրթոգոնալ պրոյեկցիա Տարածագրական պրոյեկցիա

Դեկարտյան կոորդինատներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

երկարությամբ կողով օկտաէդրը կոորդինատների սկզբնակետից կարող է տեղադրվել այնպես, որ նրա բարձրություններն ընկած լինեն կոորդինատային առանցքների վրա: Այդ դեպքում գագաթների դեկարտյան կոորդինատները կլինեն.

(±1, 0, 0);
(0, ±1, 0);
(0, 0, ±1):

x-y-z ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում օկտաէդրը դա (a, b, c) կետով կենտրոնով և r շառավղով բոլոր (x, y, z) կետերի բազմությունն է, այնպես, որ

Մակերես և ծավալ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

a երկարությամբ կողով կանոնավոր օկտաէդրի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է

:

Օկտաէդրի ծավալը (V) հաշվարկվում է

բանաձևով:

Այսպիսով, նույն երկարությամբ կողով օկտաէդրի ծավալը չորս անգամ մեծ է տետրաէդրի ծավալից, իսկ մակերևույթի մակերեսը մեծ է երկու անգամ (քանի որ մակերևույթը կազմված է 8 եռանկյուններից, իսկ տետրաէդրը՝ 4):

Եթե օկտաէդրը ձգենք, որպեսզի տեղի ունենա հետևյալ հավասարությունը.

մակերեսի և ծավալի բանաձևերը վերածվում են՝

Բացի այդ, ձգված օկտաէդրի իներցիայի մոմենտների տենզորը հավասար կլինի.

Այն բերվում է կանոնավոր օկտաէդրի հավասարման, երբ. :

Երկրաչափական կապեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Օկտաէդրն իրենից ներկայացնում է երկու տետրաէդրերի հատում

Երկու երկակի տետրաէդրերի ներքին (ընդհանուր) փոխդասավորվածության մաս է կազմում օկտաէդրը, իսկ հենց այդ փոխդասավորությունը կոչվում է աստղաձև օկտաէդր (լատ. stella octangula): Փոխդասավորվածությունը հանդիսանում է օկտաէդրի աստղաձև միակ ձևը: Հետևաբար, կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է կանոնավոր տետրաէդրից կողի կեսի երկայնքով չորս կանոնավոր տետրաէդրերով հատույթ: Օկտաէդրի գագաթները ընկած են տետրաէդրի կողերի մեջտեղում և օկտաէդրը տետրաէդրի հետ կապված է նույն ձևով, ինչպես խորանարդաօկտաէդրը և իկոսոդոեկտաէդրը կապված են պլատոնյան մնացած մարմինների հետ:

Օկտաէդրը պլատոնյան մարմինների շրջանակում յուրահատուկ է նրանով, որ միայն նա յուրաքանչյուր գագաթին կից ունի զույգ թվով նիստեր:

Օկտաէդրը համարվում է 4-կապանի: Դա նշանակում է, որ պետք է հեռացնել չորս գագաթները, որպեսզի մնացածները հեռացնեն: Դա 4-կապանի 4 սիմպլիցիալ լավ ծածկույթով բազմանիստերից մեկն է, որը նշանակում է, որ գագաթների ամենաշատ անկախ բազմությունները ունեն նույն չափը: Այդ հատկություններով մնացած երեք բազմանիստերն են հնգանկյուն երկբուրգը, սիամական դոդեկաէդրը և 12 գագաթներով և 20 եռանկյուն նիստերով անկանոն բազմանիստը[1]:

  • Օկտաէդրը կարելի է ներգծել տետրաէդրին, ընդ որում օկտաէդրի 8 նիստերից 4-ը կլինեն համադրված տետրաէդրի չորս նիստերի հետ, օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները կլինեն համադրված տետրաէդրի վեց կողերի միջնակետերի հետ:
  • Օկտաէդրը կարելի է ներգծել խորանարդին, ընդ որում օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները համադրված կլինեն խորանարդի վեց նիստերի կենտրոնների հետ:
  • Օկտաէդրին կարելի է ներգծել խորանարդ, ընդ որում խորանարդի բոլոր ութ գագաթները տեղակայված կլինեն օկտաէդրի ութ նիստերի կենտրոններում:

Համասեռ գունավորում և սիմետրիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գոյություն ունի համասեռ գունավորմամբ 5 օկտաէդրեր, անվանված են ըստ իրենց նիստերի գույների. 1212, 1112, 1111:

Օկտաէդրի համաչափության խումբ է հանդիսանում 48 կարգի Oh հիպերօկտաէդրալ եռաչափ խումբը: Այդ խմբի ենթախմբերի կազմի մեջ է մտնում D3d (12 կարգի)՝ եռանկյուն անտիպրիզմայի համաչափության խումբը, D4h (16 կարգի)՝ քառակուսային երկբուրգի համաչափության խումբը և Td (24 կարգի)՝ ամբողջությամբ հատած տետրաէդրի համաչափության խումբ: Այդ համաչափությունները կարելի է ընդգծել նիստերի տարատեսակ գունավորման ճանապարհով:

Անվանում Օկտաէդր Ամբողջությամբ

հատած

տետրաէդր
(Տետրատետրաէդր)

Եռանկյունային անտիպրիզմա Քառակուսային երկբուրգ Շեղանկյունային երկբուրգ
Պատկեր
(Նիստերի գունավորում)
Uniform polyhedron-43-t2.png
(1111)
Uniform polyhedron-33-t1.png
(1212)
Trigonal antiprism.png
(1112)
Square bipyramid.png
(1111)
Rhombic bipyramid.png
(1111)
Շլեֆլիի սիմվոլ {3,4} r{3,3} s{2,6}
sr{2,3}
ft{2,4}
{ } + {4}
ftr{2,2}
{ } + { } + { }
Վիտխոֆֆի սիմվոլ 4 | 3 2 2 | 4 3 2 | 6 2
| 2 3 2
Համաչափություն Oh, [4,3], (*432) Td, [3,3], (*332) D3d, [2+,6], (2*3)
D3, [2,3]+, (322)
D4h, [2,4], (*422) D2h, [2,2], (*222)
Կարգ 48 24 12
6
16 8

Փռվածքներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գոյություն ունի օկտաէդրի 12 փռվածք[2]:

Երկակիություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Օկտաէդրը երկակի է խորանարդին:

Dual Cube-Octahedron.svg

Հատույթ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Համասեռ տետրահեմիհեկսաէդրը համարվում է կանոնավոր օկտաէդրի տետրաէդրալ համաչափության հետ հատույթ, որը պահպանում է կողերի և գագաթների դասավորությունը: Հատույթն ունի չորս եռանկյուն նիստեր և 3 կենտրոնական քառակուսի:

Uniform polyhedron-33-t1.png
Օկտաէդր
Tetrahemihexahedron.png
Տետրահեմիհեկսաէդր

Ոչ կանոնավոր օկտաէդրեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հաջորդ բազմանիստերը կոմբինատոր համարժեք են կանոնավոր օկտաէդրին: Նրանք բոլորն ունեն վեց գագաթ, ութ եռանկյուն նիստեր և տասներկու կողեր, ինչը համապատասխանում է կանոնավոր օկտաէդրի պարամետրերին:

  • Եռանկյուն անտիպրիզմաներ՝ երկու նիստերն իրենցից ներկայացնում են զուգահեռ հարթություններում ընկած և համաչափության ընդհանուր առանք ունեցող հավասարակողմ եռանկյուններ: Մյուս վեց եռանկյունները հավասարակողմ են:
  • Քառանկյուն երկբուրգեր, որի մեջ ամենաքիչը մեկ էկվատորիալ քառանկյունը ընկած է հարթության մեջ: Կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է հատուկ դեպք, երբ բոլոր երեք քառանկյունները համդիսանում են հարթ քառակուսիներ:
  • Շոնխարդտի բազմանիստ, ոչ ուռուցիկ բազմանիստ, որն առանց նոր գագաթներ ներմուծելու հնարավոր չէ տրոհել տետրաէդրերի:

Այլ ուռուցիկ ութանիստեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ընդհանուր առմամբ, օկտաէդր կարող է անվանվել ութ նիստ ունեցող բազմանիստը: Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 6 գագաթ և 12 կող՝ մինիմալ թիվ օկտաէդրի համար: Ոչ կանոնավոր ութանիստերը կարող են ունենալ մինչև 12 գագաթ և 18 կող[2][3]:

Վեցանկյուն պրիզմա
Երեսակված տետրաէդր
Քառանկյուն տետրաէդր

Գոյություն ունի 257 տոպոլոգիապես տարբեր ուռուցիկ ութանիստեր, հայելային արտապատկերումները բացառած[2]: Մասնավորապես, գոյություն ունի 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 ութանիստեր համապատասխանաբար 6-ից մինչև 12 գագաթների թվով[4][5]:

Որոշ ոչ կանոնավոր ութանիստեր.

  • Ութանկյուն պրիզմա. Երկու նիստերը հանդիսանում են զուգահեռ կանոնավոր վեցանկյուններ, վեց քառակուսիներ զույգ առ զույգ միացնում են վեցանկյունների համապատասխան կողմերը:
  • Յոթանկյուն բուրգ. Մեկ նիստը հանդիսանում է յոթանկյուն (հիմնականում կանոնավոր), իսկ մնացած յոթ նիստերը հանդիսանում են եռանկյուններ (հիմնականում հավասարասրուն): Հնարավոր չէ, որպեսզի բոլոր եռանկյուն նիստերը լինեն հավասարակողմ:
  • Հատած տետրաէդր. Տետրաէդրի չորս նիստերը հատվում են մինչև կանոնավոր վեցանկյուններ և հատած գագաթների տեղում ձևավորվում են երեք հավելյալ հավասարակողմ եռանկյուն նիստեր :
  • Քառանկյուն տրապեցոէդր. Ութ նիստերը կոնգրուենտ են դելտոիդներին:

Օկտաէդրերը ֆիզիկական աշխարհում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Օկտաէդրերը բնության մեջ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆլյուրոիտե օկտաէդր

Օկտաէդրն արվեստի և մշակույթի մեջ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկու միանման դասավորած ռուբիկի օձերը կարող են մոտարկել օկտաէդր:
  • Խաղերի մեջ օկտաէդրի տեսքի զառը կոչվում է «d8»:
  • Եթե օկտաէդրի յուրաքանչյուր կող փոխարինենք միաօհմ ռեզիստրով, հանդիպակաց գագաթների միջև դիմադրությունը կկազմի 1/2 Օհմ, իսկ կից գագաթների միջև՝ 5/12 Օհմ[6].
  • Երաժշտական յոթ նոտաներ օկտաէդրի գագաթների վրա կարելի է դասավորել այնպես, որ յուրաքանչյուր կող ներկայացնի ներդաշնակ զույգ, իսկ յուրաքանչյուր նիստ՝ ներդաշնակ եռյակ:
  • Հակատանկային ոզնին ունի երեք շեղակի օկտաէդրի ձև:

Տետրաէդալ կապ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կրկնվող տետրաէդրերից և օկտաէդրերից կազմված կմախքը 1950-ական թվականներին հայտնաբերել է Ֆուլլերը և այն հայտնի է որպես տարածական շրջանակ և համարվում է ամուր կառույց:

Կապված բազմանիստեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կանոնավոր օկտաէդր կարելի է ստանալ իրար հաջորդող նիստերի վրա ավելացնելով չորս տետրաէդրեր: Բոլոր ութ նիստերին տետրադրեր ավելացնելը ձևավորում է աստղաձև օկտաէդր:

Triangulated tetrahedron.png Compound of two tetrahedra.png
Տետրաէդր Աստղաձև օկտաէդր

Տետրատետրաէդր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կանոնավոր օկտաէդրը կարելի է դիտարկել որպես ամբողջական հատած տետրաէդր և կարող է անվանվել տետրատետրաէդր: Դա կարելի է ցույց տալ երկու գույնով ներկված մոդելով: Այդ գունավորմամբ օկտաէդրն ունենում է տետրաէդրալ համաչափություն:

Համասեռ տետրաէդրալ բազմանիստերի ընտանիք
Համաչափություն: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform polyhedron-33-s012.png
{3,3} t{3,3} r{3,3} t{3,3} {3,3} rr{3,3} tr{3,3} sr{3,3}
Երկակի բազմանիստեր
Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Hexahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Tetrahedron.svg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Dodecahedron.svg
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer, 2010, էջ 894–912
  2. 2,0 2,1 2,2 Կաղապար:MathWorld3
  3. Steven Dutch։ «Enumeration of Polyhedra»։ Արխիվացված է օրիգինալից 2011-10-10-ին։ Վերցված է 2015-11-08 
  4. Counting polyhedra
  5. «Архивированная копия»։ Արխիվացված է օրիգինալից 2014-11-17-ին։ Վերցված է 2016-08-14 
  6. Klein, 2002, էջ 633–649

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Большая советская энциклопедия
  • Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer On well-covered triangulations. III // Discrete Applied Mathematics. — 2010. — В. 8. — Т. 158. — doi:10.1016/j.dam.2009.08.002
  • Douglas J. Klein Resistance-Distance Sum Rules // Croatica Chemica Acta. — 2002. — В. 2. — Т. 75. Архивировано из первоисточника 10 Հունիսի 2007.
  • R. Williams Chapter 5 The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979.

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]