Մասնակից:Anahit1966/Ավազարկղ

Լոբաչևսկու երկրաչափություն կամ հիպերբոլային երկրաչափություն, ոչ Էվկլիդեսյան երկրաչափություններից մեկը, երկրաչափական տեսություն, որը հիմնված է այն նույն հիմական աքսիոմների վրա, ինչ որ սովորական էվկլիդեսյան երկրաչափությունը, բացառությամբ զուգահեռ ուղիղների աքսիոմի, որը փոխարինվում է իր ժխտմամբ։ Զուգահեռների մասին էվկլիդեսյան աքսիոմը (ավելի ճիշտ, դրան համարժեք պնդումներից մեկը՝ այլ աքսիոմների առկայության դեպքում) կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ.

Հարթության վրա ուղղին չպատկանող կետով կարելի է տանել տրվածին զուգահեռ միայն մեկ ուղիղ ։

Լոբաչևսկու երկրաչափության մեջ դրա փոխարեն ընդունված է հետևյալ աքսիոմը.

Տրված գծի վրա չգտնվող կետով անցնում են առնվազն երկու ուղիղ, որոնք ընկած են տվյալ ուղիղի հետ նույն հարթության վրա և չեն հատում այն։

Լոբաչևսկու աքսիոմը հանդիսանում է Էվկլիդեսի աքսիոմի բացարձակ ժխտումը (մյուս բոլոր աքսիիոմների գործածության ժամանակ), քանի որ այն դեպքում, երբ տրված ուղղի վրա չգտնվող կետով չի անցնում նույն հարթության մեջ ոչ մի այդ ուղղին չհատող ուղիղ, բացառվում է մնացած աքսիոմների (բացարձակ երկրաչափության աքսիոմներ) ուժով։ Ինչպես օրինակ, ոլորտային երկրաչափություն և Ռիմանի երկրաչափությունը, որտեղ ցանկացած երկու ուղիղներ հատվում են, և հետևաբար, ո՛չ Էվկլիդեսի զուգահեռների աքսիոմը, ո՛չ Լոբաչևսկու աքսիոմը չեն կատարվում, դրանք համատեղելի չեն բացարձակ երկրաչափության հետ։

Լոբաչևսկու երկրաչափությունը նկարագրում է Լոբաչևսկու տարածությունը։

Լոբաչևսկու երկրաչափությունն ունի լայն կիրառություն ինչպես մաթեմատիկայում, այնպես էլ ֆիզիկայում։ Նրա փիլիսոփայական և պատմական նշանակությունը կայանում է նրանում, որ իր կառուցմամբ Լոբաչևսկին ցույց տվեց երկրաչափության հնարավորությունները՝ էվկլիդեսյանից տարբերվող, որը նշանավորեց նոր դարաշրջան երկրաչափության, մաթեմատիկայի և ընդհանրապես՝ գիտության զարգացման մեջ։

Պատմություն

Հինգերորդ պոստուլատի ապացուցման փորձեր

Լոբաչևսկու երկրաչափության ելակետը Էվկլիդեսի V պոստուլատն էր,աքսիոմ՝ համարժեք զուգահեռ ուղիղների աքսիոմին։ Այն մտել է Էվկլիդեսի «Սկզբունքներ»-ի պոստուլատների ցուցակի մեջ։ Նրա ձևակերպման հարաբերական բարդությունն ու ոչ ինտուիտիվությունը առաջացրել են դրա երկրորդական բնույթի զգացում, և այն որպես թեորեմ Էվկլիդեսի մնացած պոստուլատներից դուրս բերելու փորձեր :

Հինգերորդ պոստուլատը ապացուցել փորձող շատերի մեջ, մասնավորապես, հետևյալ խոշորագույն գիտնականներն էին․

• Հին հունական մաթեմատիկոսներ Պտղոմեոսը(IIդար) և Պրոկլը(Vդար), (հիմնվելով այն ենթադրության վրա, որ երկու զուգահեռների միջև հեռավորությունը վերջավոր է)։
• Իբն ալ Հայսամը Իրանից(X-րդ դարի վերջ— XI -րդ դարի սկիզբ) (հիմնվելով այն ենթադրության վրա, որ ուղղին շարժվող ուղղահայացի վերջը նկարագրում է ուղիղ գիծ):
• Իրանցի մաթեմատիկոսներ Օմար Խայամը(XI դարի 2-րդ կես—XII դարի սկիզբ) և Նասր ալ-Դին Թուսի (XIII դար) (հիմնվելով այն ենթադրության վրա, որ երկու համընկնող ուղիղներ շարունակելիս շեղվել առանց հատվելու):
• Էվկլիդեսի զուգահեռության աքսիոմի ապացուցման մեզ հայտնի առաջին փորձը առաջարկել է Պրովանսի (Ֆրանսիա) բնակիչ Գերսոնիդը (Լեվի Բեն Գերշոմ, XIV դար)։ Նրա ապացույցը հիմնված էր ուղղանկյան գոյության հայտարարությանը։
• Գերմանացի մաթեմատիկոս Կլավիուսը(1574)
• Իտալացի մաթեմատիկոսներ
  • Կատալդի Катальди (1603 թվականին առաջին անգամ տպագրեց ամբողջությամբ զուգահեռների հարցին նվիրված աշխատանք)։
  • Բորելլի (1658)։
• Անգլիացի մաթեմատիկոս Վալլիսը (1663, տպագրվել է 1693) (հիմնվել է այն ենթադրության վրա, որ յուրաքանչյուր պատկերի համար գոյություն ունի նրան նման, բայց ոչ հավասար պատկեր)։
• Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Լեժանդրը (1800) (հիմնվելով այն ենթադրության վրա, որ սուր անկյան ներքին տիրույթի յուրաքանչյուր կետով կարելի է տանել ուղիղ, որը կհատի անկյան երկու կողմերը։ Նա նաև ապացուցելու այլ փորձեր է ունեցել)։

Հինգերորդ պոստուլատը ապացուցելու փորձերի ժամանակ մաթեմատիկոսները (բացահայտորեն կամ անուղղակիորեն) ներկայացրեցին որոշակիորեն նոր հայտարարություն, որն ավելի ակնհայտ էր թվում նրանց: Փորձեր են արվել օգտագործել հակասական ապացույցները․

• իտալացի մաթեմատիկոս Սաչերի (1733) (ձևակերպելով պոստուլատին հակասող հայտարարություն, նա արեց մի շարք հետևանքներ և, սխալմամբ, դրանցից մի քանիսը հակասական ճանաչելով, պոստուլատը համարեց ապացուցված),
• գերմանացի մաթեմատիկոս Լամբերտը (մոտ 1766, հրատարակվել է 1786 թվականին) (հետազոտություններ կատարելուց հետո նա խոստովանեց, որ չի կարող հակասություններ հայտնաբերել իր կառուցած համակարգում)։ Վերջապես, առաջացավ հասկացություն, որ հնարավոր է կառուցել տեսություն՝ հիմնված հակառակ պոստուլատի վրա

Ի վերջո, հասկանալի դարձավ, որ հնարավոր է կառուցել տեսություն՝ հիմնված հակառակ պոստուլատի վրա.

• գերմանացի մաթեմատիկոսներ Շվեյկարտ (1818) և Տավրինուս (1825)։
• գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուս։

Ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափության ստեղծում

Լոբաչևսկին իր «Երկրաչափության սկզբունքների մասին» աշխատությունում (1829), ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափության մասին իր առաջին հրապարակած աշխատությունը, հստակ նշել է, որ հինգերորդ պոստուլատը հնարավոր չէ ապացուցել էվկլիդեսյան երկրաչափության այլ նախադրյալների հիման վրա, և որ Էվկլիդեսի պոստուլատին հակառակ պոստուլատը հնարավորություն է տալիս երկրաչափություն կառուցել այնքան իմաստալից և հակասություններից զերծ, որքան Էվկլիդեսը:

Ավելի ուշ և ինքնուրույն, Յանոս Բոլայը հանգեց նույն եզրակացություններին. նա հրատարակել է իր հետազոտությունը՝ որպես հոր գրքի հավելված։ Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսը նման եզրահանգումների է եկել ավելի վաղ (տե՛ս նրա նամակը Տավրինոսին, 1824 թ.)։ Այնուամենայնիվ, Գաուսը ձեռնպահ մնաց հրապարակումներից, և նրա տեսակետները կարելի է դատել միայն մի քանի նամակներից և օրագրային գրառումներից։ Գաուսի լռությունը հաճախ բացատրվում է նրանով, որ նա վախենում էր չհասկացվելուց։ Իրոք, մի նամակում, որտեղ բարձրացվում է հինգերորդ պոստուլատի և ոչ էվկլիդյան երկրաչափության հարցը, Գաուսը գրում է.«Վախեցե՛ք Բեոտիացիների ճիչից»։ Մեկ այլ բացատրություն այն է, որ նա այն քչերից էր, ով հասկացավ, որ, անկախ նրանից, թե որքան հետաքրքիր թեորեմներ են ստացվել ոչ Էվկլիդեսյան երկրաչափության մասին, դա ոչինչ չի ապացուցում։ Թերևս Գաուսը հասկանում էր (կամ զգում էր), որ այդ ժամանակ (19-րդ դարի առաջին կեսը) դեռ չէին գտնվել մաթեմատիկական հասկացություններ, որոնք թույլ կտան նրան ճշգրիտ դնել և լուծել այս հարցը։ Մեկ այլ բացատրություն. թեև Գաուսն ավելի լավ էր հասկանում Լոբաչևսկու երկրաչափությունը, քան մյուսները, նա դա չէր համարում իր միտքը, քանի որ դրա մասին իմացել էր Շվեյքարտի, Տավրոսի և այլոց նամակներից: 1846 թվականին աստղագետ Գ.Հ. Շումախերին ուղղված նամակում Գաուսը խոսում է Լոբաչևսկու աշխատանքի մասին հետևյալ կերպ.

Այս աշխատությունը իր մեջ պարունակում է այն երկրաչափության հիմքերը, որոնք պետք է տեղ ունենար, և ի դեպ, կկազմեր խիստ հետևողական ամբողջություն, եթե Էվկլիդեսյան երկրաչափությունը ճշմարիտ չլիներ... Լոբաչևսկին այն անվանում է «երևակայական երկրաչափություն». Դուք գիտեք, որ 54 տարի (1792 թվականից) ես որոշ զարգացումներով կիսում եմ նույն տեսակետները, որի մասին չեմ ուզում նշել. Այսպիսով, իրականում Լոբաչևսկու ստեղծագործության մեջ ինձ համար նոր բան չգտա։ Բայց թեմայի զարգացման մեջ հեղինակը գնացել է ոչ այն ճանապարհով, որով ես ինքս գնացի. այն վարպետորեն արվել է Լոբաչևսկու կողմից՝ իսկական երկրաչափական ոգով: Ես ինձ պարտավոր եմ համարում ձեր ուշադրությունը հրավիրել այս աշխատանքի վրա, որը հավանաբար ձեզ բացարձակապես բացառիկ հաճույք կպատճառի։

Արդյունքում Լոբաչևսկին հանդես եկավ որպես նոր երկրաչափության առաջին ամենափայլուն և հետևողական քարոզիչ։ Թեև Լոբաչևսկու երկրաչափությունը զարգացավ որպես սպեկուլյատիվ տեսություն, և ինքը Լոբաչևսկին այն անվանեց «երևակայական երկրաչափություն», այնուամենայնիվ, նա առաջին անգամ բացահայտ առաջարկեց այն ոչ թե որպես մտքի խաղ, այլ որպես տարածական հարաբերությունների հնարավոր և օգտակար տեսություն:

Լոբաչևսկու երկրաչափության հայտարարություն

Լոբաչևսկին մահացել է 1856 թ. Մի քանի տարի անց հրապարակվեց Գաուսի նամակագրությունը, ներառյալ Լոբաչևսկու երկրաչափության մի քանի խանդավառ ակնարկներ, և դա ուշադրություն դարձրեց Լոբաչևսկու աշխատանքին։ Հայտնվում են դրանց թարգմանությունները ֆրանսերեն և իտալերեն, ինչպես նաև հայտնի երկրաչափերի մեկնաբանություններ։ Բոլյայի ստեղծագործությունը նույնպես վերահրատարակվում է։

1868 թվականին լույս է տեսել Բելտրամիի հոդվածը Լոբաչևսկու երկրաչափության մեկնաբանությունների մասին։ Բելտրամին որոշեց Լոբաչևսկու ինքնաթիռի մետրիկը և ապացուցեց, որ այն ամենուր մշտական ​​բացասական կորություն ունի։ Այդպիսի մակերեսն արդեն հայտնի էր այդ ժամանակ՝ սա Մայնինգ պսևդոսֆերան է։ Բելտրամին եզրակացրեց, որ տեղական Լոբաչևսկու հարթությունը իզոմետրիկ է պսևդոսֆերայի մի մասի նկատմամբ (տես ստորև): Նույն հոդվածում Բելտրամին տալիս է նաև երկու մոդել, որոնք այժմ կոչվում են Klein մոդել և Պուանկարե մոդել:

Այս աշխատանքներում Բելտրամին տվել է նոր երկրաչափության հետևողականության թափանցիկ երկրաչափական ապացույց, ավելի ճիշտ՝ Լոբաչևսկու երկրաչափությունը անհամապատասխան է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե Էվկլիդեսի երկրաչափությունը անհամապատասխան է։ Լոբաչևսկին նույնպես ուներ նման ապացույց, բայց դա ավելի բարդ էր, մի ուղղությամբ Լոբաչևսկու երկրաչափության էվկլիդյան հարթության մոդելը, այն կառուցված էր Բելտրամիի նման մոդելով, մյուս ուղղությամբ՝ վերլուծական:

Վայերշտրասը Բեռլինի համալսարանում հատուկ սեմինար է նվիրել Լոբաչևսկու երկրաչափությանը (1870 թ.)։ Կազանի ֆիզիկամաթեմատիկական ընկերությունը կազմակերպում է Լոբաչևսկու ամբողջական աշխատությունների հրատարակումը, իսկ 1893 թվականին միջազգային մասշտաբով նշվում է ռուս մաթեմատիկոսի հարյուրամյակը։

Lոբաչևսկու երկրաչափության մոդելները վկայում էին դրա հետևողականության մասին, ավելի ճիշտ՝ նրանք ցույց տվեցին, որ Լոբաչևսկու երկրաչափությունը նույնքան հետևողական է, որքան Էվկլիդեսի երկրաչափությունը։ Լոբաչևսկին ինքն է տվել իր վերլուծական երկրաչափության հիմքերը, և այդպիսով նա իրականում արդեն ուրվագծել է նման մոդելը։ Նա նաև նկատեց, որ Լոբաչևսկու տարածության հորոսֆերան իզոմետրիկ է Էվկլիդյան հարթության նկատմամբ, դրանով իսկ իրականում առաջարկելով հակադարձ մոդելը: Այնուամենայնիվ, մոդելի գաղափարն ավելի պարզ դարձավ Բելտրամիի և այլոց աշխատանքում:

Պսևդոլորտ

Իտալացի մաթեմատիկոս Եվգենիո Բելտրամին 1868 թվականին նկատել է, որ Լոբաչևսկու հարթության մի հատվածի երկրաչափությունը համընկնում է մշտական ​​բացասական կորության մակերևույթների երկրաչափության հետ, որի ամենապարզ օրինակը պսևդոսֆերան է։ Եթե ​​Լոբաչևսկու հարթության վերջավոր հատվածի կետերն ու ուղիղները համեմատենք կեղծագնդի վրա կետերով և ամենակարճ գծերով (գեոդեզիկա) և Լոբաչևսկու հարթությունում շարժումը պսևդոսֆերայի վրա պատկերի շարժման հետ, այսինքն՝ դեֆորմացիա, որը պահպանում է երկարությունները, ապա Լոբաչևսկու երկրաչափության ցանկացած թեորեմ կհամապատասխանի մի փաստի, որը տեղի է ունենում պսևդոսֆերայի վրա։ Այս դեպքում երկարությունները, անկյունները, մակերեսները հասկացվում են պսևդոսֆերայի վրա դրանց բնական չափման իմաստով։

Պրոյեկտիվ մոդել

Լոբաչևսկու ինքնաթիռի մոդելը առաջին անգամ առաջարկել է Բելտրամին։ Հարթությունը շրջանագծի ներսն է, ուղիղ գիծը շրջանագծի առանց ծայրերի լարն է, իսկ կետը շրջանագծի ներսում գտնվող կետն է։ «Շարժում» կանվանենք շրջանագծի ցանկացած փոխակերպում իր մեջ, որը լարերը վերածում է լարերի։ Համապատասխանաբար, շրջանագծի ներսում գտնվող թվերը, որոնք նման ձևով փոխակերպվում են միմյանց, կոչվում են հավասար: Հետո պարզվում է, որ նման լեզվով նկարագրված ցանկացած երկրաչափական փաստ ներկայացնում է Լոբաչևսկու երկրաչափության թեորեմը կամ աքսիոմը։ Այլ կերպ ասած, Լոբաչևսկու երկրաչափության յուրաքանչյուր դրույթ հարթության վրա ոչ այլ ինչ է, քան Էվկլիդեսյան երկրաչափության հայտարարություն, որը վերաբերում է շրջանակի ներսում գտնվող պատկերներին, միայն նշված տերմիններով վերապատմված: Զուգահեռների մասին էվկլիդեսյան աքսիոմն այստեղ ակնհայտորեն չի բավարարվում, քանի որ տրված լարի վրա չգտնվող կետով անցնում է ցանկացած թվով լարեր(«ուղիղ գծեր»), որոնք չեն հատում այն։ Այս մոդելում 𝐴 և 𝐵 կետերի միջև հեռավորությունը 𝑁𝑀 լարի վրա սահմանվում է կրկնակի հարաբերության միջոցով։

$\ln \left({\frac {AN}{AM}}{\frac {BM}{BN}}\right)$

Արտաքին բացարձակում իրականացվում է հակադե Սիթթեր տարածության երկրաչափությունը։

Во внешней абсолюта, реализуется геометрия пространства анти-де Ситтера.

Կոնֆորմալ Էվկլիդեսյան մոդել, Պուանկարեի մոդել

Բելտրամիի առաջարկած Լոբաչևսկու ինքնաթիռի մեկ այլ մոդել. Շրջանակի ինտերիերը ընդունվում է որպես Լոբաչևսկու հարթություն, տրված շրջանագծի շրջագծին և դրա տրամագծերին ուղղահայաց շրջանային աղեղները համարվում են ուղիղ, իսկ շարժումները փոխակերպումներ են, որոնք ստացվում են շրջանագծերի նկատմամբ շրջադարձերի համակցություններով, որոնց աղեղները ծառայում են որպես ուղիղ գծեր: Պուանկարեի մոդելը ուշագրավ է նրանով, որ այն պատկերում է անկյունները որպես սովորական անկյուններ:

Մոդել հիպերբոլոիդի վրա Մինկովսկու տարածության մեջ

Ստորագրության տարածության մեջ ( + , + , − ) կուսումնասիրենք հիպերբոլոիդ

.$x^{2}+y^{2}-t^{2}=-1$Կընտրենք վերին 𝑡 > 0 բաղադրիչը։ Նշենք, որ այս բաղադրիչը տիեզերական է: Մասնավորապես,$x^{2}+y^{2}-t^{2}=-1$ քառակուսի ձևը սահմանում է չափիչ դրա վրա։ Այս չափման դեպքում վերին բաղադրիչը Լոբաչևսկու հարթության մոդելն է: Ուղիղ գծերը (այլ կերպ ասած՝ գեոդեզիկան) այս մոդելում հիպերբոլոիդի հատվածներ են կոորդինատների սկզբնակետով անցնող ինքնաթիռներով։ Հորիզոնական հարթության վրա, որը կենտրոնացած է սկզբնակետում, հեռանկարային պրոյեկցիան այս մոդելը վերածում է պրոյեկտիվ մոդելի:

Մշտական ​​բացասական կորության մակերես

Լոբաչևսկու երկրաչափության մեկ այլ վերլուծական սահմանումն այն է, որ Լոբաչևսկու երկրաչափությունը սահմանվում է որպես մշտական ​​բացասական կորություն ունեցող Ռիմանյան տարածության երկրաչափություն։ Այս սահմանումը իրականում տրվել է դեռևս 1854 թվականին Ռիմանի կողմից և ներառել է Լոբաչևսկու երկրաչափության մոդելը որպես երկրաչափություն մշտական ​​կորության մակերեսների վրա։ Այնուամենայնիվ, Ռիմանը ուղղակիորեն չի կապում իր կառուցումները Լոբաչևսկու երկրաչափության հետ, և նրա զեկույցը, որտեղ նա հաղորդում էր դրանք, չի հասկացվել և հրապարակվել է միայն նրա մահից հետո (1868 թ.):

Նման մակերեսի օրինակ է երևակայական շառավղով գունդը

$({\vec {x}},{\vec {x}})=-1$,

$x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1$

Լոբաչևսկու երկրաչափության բովանդակությունը

Լոբաչևսկին կառուցեց իր երկրաչափությունը՝ սկսած հիմնական երկրաչափական հասկացություններից և իր աքսիոմից, և ապացուցեց թեորեմները՝ օգտագործելով երկրաչափական մեթոդը, ինչպես դա արվում է Էվկլիդեսի երկրաչափության մեջ։ Հիմքը զուգահեռ գծերի տեսությունն էր, քանի որ այստեղից է սկսվում Լոբաչևսկու և Էվկլիդեսի երկրաչափության տարբերությունը։ Զուգահեռ աքսիոմից անկախ բոլոր թեորեմները ընդհանուր են երկու երկրաչափությունների համար. դրանք կազմում են այսպես կոչված բացարձակ երկրաչափություն, որը ներառում է, օրինակ, եռանկյունների հավասարության նշաններ։ Հետևելով զուգահեռների տեսությանը, կառուցվեցին այլ հատվածներ, այդ թվում՝ եռանկյունաչափությունը և անալիտիկ և դիֆերենցիալ երկրաչափության սկզբունքները։

Ներկայացնենք Լոբաչևսկու երկրաչափության մի քանի փաստ, որոնք այն տարբերում են Էվկլիդեսի երկրաչափությունից և հաստատվել են հենց Լոբաչևսկու կողմից: P կետով, որը չի գտնվում տրված R ուղիղի վրա, անցնում են անսահման թվով ուղիղներ, որոնք չեն հատվում R-ին և գտնվում են նրա հետ նույն հարթության վրա. դրանց մեջ կան երկու ծայրահեղություններ x, y, որոնք կոչվում են ասիմպտոտիկ զուգահեռ (երբեմն ուղղակի զուգահեռ) R ուղղին, իսկ մնացածները կոչվում են ուլտրզուգահեռ։ Անկյուն 𝜃 P-ից դեպի R ուղղահայաց PB-ի և ասիմպտոտիկ զուգահեռներից յուրաքանչյուրի միջև (կոչվում է զուգահեռության անկյուն) նվազում է 90°-ից մինչև 0°, քանի որ P կետը հեռանում է գծից (Պուանկարեի մոդելում՝ անկյունները սովորական իմաստով. համընկնում են Լոբաչևսկու իմաստով անկյունների հետ, և, հետևաբար, դրա վրա այս փաստը կարելի է ուղղակիորեն տեսնել): Զուգահեռ x-ը մի կողմից (և y-ը հակառակ կողմից) ասիմպտոտիկորեն մոտենում է a-ին, իսկ մյուս կողմից՝ անսահմանորեն հեռանում է նրանից (մոդելներում հեռավորությունները դժվար է որոշել, հետևաբար այդ փաստն ուղղակիորեն տեսանելի չէ):

PB = a հեռավորության վրա տրված ուղիղ գծից տեղակայված կետի համար, Լոբաչևսկին տվել է P(a) զուգահեռության անկյան բանաձևը. $\theta =\Pi (a)=2\operatorname {arctg} ~e^{-{\frac {a}{q}}}$: Այստեղ q-ն ինչ-որ հաստատուն է՝ կապված Լոբաչևսկու տարածության կորության հետ։ Այն կարող է ծառայել որպես երկարության բացարձակ միավոր, ինչպես որ գնդերի շառավիղը հատուկ դիրք է գրավում գնդաձև երկրաչափության մեջ։ Եթե ​​ուղիղ գծերն ունեն ընդհանուր ուղղահայաց, ապա դրանք գերզուգահեռ են, այսինքն՝ անսահմանորեն շեղվում են նրանից երկու ուղղություններով։ Դրանցից որևէ մեկին հնարավոր է վերականգնել մյուս գծին չհասնող ուղղահայացները։ Լոբաչևսկու երկրաչափության մեջ նման, բայց անհավասար եռանկյուններ չկան. Եռանկյունները համահունչ են, եթե նրանց անկյունները հավասար են: Ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը փոքր է 𝜋 և կարող է կամայականորեն մոտ լինել զրոյին (180°-ի և ABC եռանկյան անկյունների գումարի տարբերությունը Լոբաչևսկու երկրաչափության մեջ դրական է. այն կոչվում է այս եռանկյան թերություն): Սա ուղղակիորեն տեսանելի է Պուանկարեի մոդելում: Տարբերություն 𝛿 = 𝜋 − ( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 ) , Որտեղ 𝛼 , 𝛽 , 𝛾 - եռանկյան անկյունները՝ նրա մակերեսին համաչափ. $S=q^{2}\cdot \delta$

Բանաձևը ցույց է տալիս, որ կա եռանկյան առավելագույն տարածք, և սա վերջավոր թիվ է` $\pi q^{2}$ Ուղիղ գծից հավասար հեռավորությունների գիծը ուղիղ գիծ չէ, այլ հատուկ կոր, որը կոչվում է հավասար հեռավորություն կամ հիպերցիկլ: Անսահման աճող շառավղով շրջանակների սահմանը ոչ թե ուղիղ գիծ է, այլ հատուկ կոր, որը կոչվում է սահմանային շրջան կամ հորոցիկլ։ Անսահման աճող շառավղով գնդերի սահմանը հարթություն չէ, այլ հատուկ մակերես՝ սահմանափակող գունդ կամ հորիսֆերա; Հատկանշական է, որ դրա վրա պահպանվում է էվկլիդեսյան երկրաչափությունը։ Սա Լոբաչևսկու համար հիմք հանդիսացավ եռանկյունաչափության բանաձևեր ստանալու համար։

Հարթությունը և տարածությունը լրացնելը կանոնավոր պոլիտոպներով

Լոբաչևսկու ինքնաթիռը կարելի է սալիկապատել ոչ միայն կանոնավոր եռանկյուններով, քառակուսիներով և վեցանկյուններով, այլև ցանկացած այլ կանոնավոր բազմանկյունով: Այս դեպքում առնվազն 7 եռանկյուն, 5 քառակուսի, 4 հնգանկյուն կամ վեցանկյուն կամ 6-ից ավելի կողմ ունեցող 3 բազմանկյուն պետք է համընկնեն մանրահատակի մեկ գագաթի վրա, այսինքն՝ տարբեր շարվածքների թիվը անսահման է և օգտագործում է Շլաֆլի նշանը։ {𝑁, 𝑀}

• {3, 7}, {3, 8}, …, то есть {3, M}, где M ≥ 7
• {4, 5}, {4, 6}, …, то есть {4, M}, где M ≥ 5
• {5, 4}, {5, 5}, …, то есть {5, M}, где M ≥ 4
• {6, 4}, {6, 5}, …, то есть {6, M}, где M ≥ 4
• {N, M}, где N≥7, M≥3.

$S_{\left\{N;M\right\}}=q^{2}\pi \left(N-2-2{\frac {N}{M}}\right)$

Ի տարբերություն սովորական տարածության (եռաչափ Էվկլիդյան տարածության), որը կարող է լրացվել կանոնավոր բազմաեզրներով միայն մեկ ձևով (8 խորանարդ՝ գագաթին, կամ չորսը՝ եզրին {4,3,4}), Լոբաչևսկու եռաչափ տարածությունը կարող է լինել. սալիկապատված կանոնավոր պոլիէդրներով, ինչպես հարթության վրա, անսահման թվով ձևերով: Օգտագործելով Schläfli խորհրդանիշը {𝑁, 𝑀, 𝑃} (N-գոնների M կտորները համընկնում են մեկ գագաթի վրա, և P պոլիէդրանները միանում են յուրաքանչյուր եզրին) բոլոր սալիկները կարող են գրվել հետևյալ կերպ.

• {3,3,6}, {3,3,7}, …, то есть {3,3, P}, P ≥ 6
• {4,3,5}, {4,3,6}, …, то есть {4,3, P}, P≥ 5
• {3,4,4}, {3,4,5}, …, то есть {3,4, P}, P≥ 4
• {5,3,4}, {5,3,5}, …. То есть {5,3, P}, P≥4
• {3,5,3}, {3,5,4}, …, то есть {3,5, P}, P≥3.

Բացի այդ, Լոբաչևսկու տարածությունը սովորական խճանկարային հորոսֆերաներով լցնելու 11 եղանակ կա ({3,4,4}, {3,3,6}, {4,3,6}, {5,3,6}, {4,4,3}, {6,3,3}, {6,3,4}, {6,3,5}, {6,3,6}, {4,4,4}, {3,6,3})

Առասպելներ

Կա տարածված սխալ պատկերացում (արտացոլված է, մասնավորապես, ոչ մաթեմատիկական գրականության և բանահյուսության մեջ), որ Լոբաչևսկու երկրաչափության մեջ «զուգահեռ գծերը հատվում են»։ Սա ճիշտ չէ. Լոբաչևսկու երկրաչափության մեջ ճշգրիտ հնարավոր է տրված գծի վրա չգտնվող կետով տանել անսահման թվով ուղիղներ, որոնք չեն հատվում դրա հետ։

Широко распространено заблуждение (отражённое, в частности, в нематематической литературе и фольклоре), что в геометрии Лобачевского «параллельные прямые пересекаются» . Это не соответствует действительности. В геометрии Лобачевского как раз можно провести через точку, не лежащую на данной прямой, бесконечно много прямых, не пересекающихся с ней.

Տես նաև

• Геометрия Римана
• Орисфера
• Орицикл
• Пространство Минковского
• Пятый постулат
• Сферическая геометрия

Գրականություն

Հիմնադիրների աշխատությունները

• Лобачевский Н. И. О началах геометрии // Казанский вестник. — Казань: Императорский Казанский университет, 1829—1830. — № 25—29.
• Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. М.: Гостехиздат, 1956.
• Бельтрами Э. Опыт интерпретации неевклидовой геометрии // Об основаниях геометрии : Сборник. — М.: ГИТТЛ, 1956. — С.  Կողմ.
• Бельтрами Э. Основы теории пространств постоянной кривизны // Об основаниях геометрии : Сборник. — М.: ГИТТЛ, 1956. — С. 342—365.

Ժամանակակից գրականություն

• Лобаче́вского геоме́трия / Александров А. Д. // Большая Советская Энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — Советская Энциклопедия, 1973. — Т. 14 : Куна—Ломами. — С. 586—588. — Стб. 1746—1752. — 629 000 экз.
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Москва: Наука, 1990.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — Москва: УРСС, 2007.
• Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского. — Москва: Гостехиздат, 1956.
• Иовлев Н. Н. Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. — М.-Л.: Гиз., 1930. — С. 67.
• Кадомцев С. Б. Геометрия Лобачевского и физика. — М.: Знание, 1984. — 64 с. — (Новое в жизни, науке, технике: *Математика, кибернетика. 1984, №08).
  • (переиздание) Кадомцев С. Б. Геометрия Лобачевского и физика. — Изд. 3-е. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — 72 с. — ISBN 978-5-397-00294-3
• Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Попов А. Г. Геометрия Лобачевского: открытие и путь в современность» // Природа. — 1993. — № 7. — С. 19—27.
• Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Соколов Д. Д. Некоторые вопросы геометрии Лобачевского, связанные с физикой. — Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., 13, ВИНИТИ, М., 1982, 157—188.
• Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — М.-Л.: ОНТИ, 1936. — С. 356.
• Норден А. П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. — М.: ГИТТЛ, 1953. — 248 с.
• Попов А. Г. Псевдосферические поверхности // Соросовский образовательный журнал. — ISSEP, 2004. — Т. 8. — № 2. — С. 119—127.
• Попов А. Г. Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики.
• Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. — М.: МЦНМО, 2004. — 88 с.
• Розенфельд Б. А. Интерпретации геометрии Лобачевского // Историко-математические исследования. — М.: ГИТТЛ, 1956. — № 9. — С. 169—208.
• Смогоржевский А. С. «О геометрии Лобачевского» // Популярные лекции по математике. — Гостехиздат, 1958. — Т. 23. — С. 68.
• Успенский Я. В. Введение в неевклидову геометрию Лобачевского — Болиаи. — Петроград: «Сеятель» Е. В. Высоцкого, 1922. — 180 с.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — Москва: Физматлит, 2009.

Արտաքին հղումներ

• Геометрия Лобачевского Արխիվացված է Դեկտեմբեր 7, 2021 Wayback Machine-ի միջոցով: