Հիպոթեզ (մաթեմատիկա)

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Ռիմանի զետա ֆունկցիայի իրական (կարմիր) և կեղծ (կապույտ) մասերը կրիտիկական գծի վրա։ Առաջին ոչ տրիվիալ զրոները գտնվում են կրիտիկական գծում: Ռիմանի հիպոթեզը պնդում է, որ զետա ֆունկցիայի բոլոր ոչ տրիվիալ զրոները գտնվում են կրիտիկական գծի վրա։ Այս փաստը մեզ թույլ է տալիս որոշ եզրակացություններ անել իրական առանցքի վրա պարզ թվերի տեղակայման վերաբերյալ:

Հիպոթեզ, մաթեմատիկական պնդում, որը հաշվի առնելով մատչելի տեղեկությունները ենթադրվում է, որ ճիշտ է, սակայն դրա մաթեմատիկական ապացույցը տրված չէ[1][2]: Մաթեմատիկական հիպոթեզը բաց մաթեմատիկական խնդիր է, և յուրաքանչյուր չլուծված մաթեմատիկական խնդիր, որը լուծելիության պրոբլեմ է, կարելի է ձևակերպել հիպոթեզի տեսքով: Այնուամենայնիվ, յուրաքանչյուր մաթեմատիկական խնդիր չի կարող ձևակերպվել որպես հիպոթեզ: Օրինակ, հավասարումների որոշակի համակարգի կամ 2208 անհայտ անձանց համար օպտիմիզացման խնդիրների որոշակի լուծում գտնել անհնար է, բայց այդպիսի լուծումը կարող է լինել ոչ միայն գործնական, այլև մաթեմատիկական արդյունք:

Ռիմանի հիպոթեզը, Ֆերմայի մեծ թեորեմը, Վարինգի հիպոթեզը և մի շարք այլ մաթեմատիկական հիպոթեզներ նշանակալի դեր են խաղացել մաթեմատիկայում, քանի որ դրանք ապացուցելու փորձերը հանգեցրել են նոր բնագավառների և հետազոտությունների մեթոդների ստեղծմանը:

Մաթեմատիկական և բնական վարկած[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ի հակադրություն բնագիտական հիպոթեզի՝ մաթեմատիկական հիպոթեզը կարող է տրամաբանորեն ապացուցվել աքսիոմաների որոշակի համակարգում, որից հետո այն դառնում է այդ սահմանափակումների մեջ ճշմարիտ թեորեմ «բոլոր ժամանակների համար»: Տիպիկ օրինակ է Նյուտոնի գիտական ​​ժառանգությունը, որը հայտարարել է, որ ինքը «չի ենթադրում հիպթեզներ» և ֆիզիկայում ձգտում է դուրս չգալ մաթեմատիկական մոդելի շրջանակներից: Նյուտոնի մաթեմատիկական թեորեմները, ինչպես հնագույն Պյութագորասի թեորեմը, մինչ օրս մնում է ճշմարիտ, սակայն նրա դասական մեխանիկան և ձգողականության տեսությունը հարաբերականության հատուկ և ընդհանուր տեսությունների հայտնվելուց հետո հերքվել են ֆիզիկական հիպոթեզներով: Եթե ​​լուծվող մաթեմատիկական հիպոթեզը կարող է կամ ապացուցել, կամ էլ հերքվել, ապա բնագիտական հիպոթեզների համար, բնական գիտության գիտելիքների հարաբերականության պատճառով, ստուգելիության և հերքելիության հատկությունները միմյանց չեն բացառում[3]։ Նյուտոնյան մեխանիզմը կիրառելի չէ լույսի արագությանը մոտ արագությունների համար, բայց շատ մեծ ճշգրտությամբ նկարագրում է Արևային համակարգի մարմինների մեծ մասի շարժումը: Հետևաբար ֆիզիկայում սովորաբար խոսվում է ոչ թե հիպոթեզների հերքման, այլ տեսության կիրառելիության շրջանակը սահմանափակելու մասին:

Մաթեմատիկական հիպոթեզների լուծում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ապացույց[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մաթեմատիկան հիմնված է ֆորմալ ապացույցների վրա: Անկախ նրանից, թե որքան համոզիչ կարող է թվալ հիպոթեզը, և քանի օրինակ է բերվել այն հաստատելու համար, հիպոթեզը կարող է հերքվել մեկ հակաօրինակով: Ժամանակակից մաթեմատիկական ամսագրերը երբեմն հրապարակում են հետազոտության արդյունքներ այն շրջանակի վրա, որի սահմաններում ստուգվել է հիպոթեզի վավերականությունը: Օրինակ՝ Կոլատցի հիպոթեզն ստուգվել է բոլոր ամբողջ թվերի համար մինչև 1,2 × 1012, այնուամենայնիվ, միայն այս փաստն ինքնին ոչինչ չի տալիս հիպոթեզի ապացուցման համար:

Հիպոթեզի ապացուցման համար պետք է ներկայացվի մաթեմատիկական ապացույց, որը տրամաբանորեն անթերի հիմնավորմամբ, հիմք ընդունելով աքսիոմաների որոշակի համակարգ, ցույց է տալիս հիպոթեզի միակ հնարավոր հաստատումը կամ տրամաբանորեն անհնար ժխտող պնդումը:

Երբ հիպոթեզն ապացուցվում է վարկածը, ապա մաթեմատիկայում այն ​​դառնում է թեորեմ: Թեորեմ կարող է դառնալ նաև իրական կամ ոչ իրական հիպոթեզի ժխտումը: Մաթեմատիկայի պատմության մեջ որոշ հիպոթեզներ երկար ժամանակ գոյություն են ունեցել ենթադրյալ ձևով, և շրջանի քառակուսին կամ ռադիկալներով հինգերորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարման լուծում գտնելու բազմաթիվ փորձեր բխել են հետագայում մերժված հիպոթեզներից, թե դա հնարավոր է:

Հերքում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հիպոթեզի հերքումն իրականացվում է նաև ապացույցի օգնությամբ, բայց հաշվի առնելով հիպոթեզների բնորոշ ձևակերպումները` հերքումն առավել հաճախ ապացույցի ամենապարզ տեսակն է` հակաօրինակը: Նման ապացույցը տրամաբանական տեսանկյունից ամենապարզն է, այնուամենայնիվ, գրաֆների տեսության մեջ օրինակի կառուցումը կամ թվերի տեսության մեջ օրինակ գտնելը (Էյլերի հիպոթեզ) կարող է լինել շատ դժվար: Հերքումից հետո հիպոթեզը կարող է դառնալ փաստ մաթեմատիկայի պատմության մեջ կամ ​​կարող է վերափոխվել նոր մաթեմատիկական հիպոթեզի: Օրինակ՝ հերքումից հետո Էյլերի հիպոթեզը վերափոխվել է Լանդեր-Պարկին-Սելֆրիջի հիպոթեզի: Այս դեպքում գործընթացը նման է բնագիտական հիպոթեզների էվոլյուցիային:

Անլուծելի հիպոթեզներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ոչ բոլոր հիպոթեզների համար է հնարավոր ապացուցել դրա ճշմարտությունը կամ կեղծ լինելը աքսիոմների տվյալ համակարգում: Անավարտության մասին Գյոդելի թեորեմի համաձայն՝ ցանկացած բավականաչափ բարդ աքսիոմատիկ տեսության մեջ, օրինակ, թվաբանության մեջ, կան դրույթներ, որոնք չեն կարող ոչ հերքվել, ոչ էլ ապացուցվել տվյալ տեսության շրջանակներում: Հետևաբար, ցանկացած մաթեմատիկական տեսություն, որը պարունակում է թվաբանություն, պարունակում է հիպոթեզներ, որոնք իր շրջանակներում հերքելի և ապացուցելի չեն:

Օրինակ, ապացուցվել է, որ Կանտորի կոնտինուումի վարկածը բազմությունների տեսության մեջ կախված չէ ընդհանուր ընդունված Զերմելո-Ֆրենկելի աքսիոմների համակարգից: Հետևաբար, կարելի է ընդունել այս դրույթը կամ դրա հերքումը որպես աքսիոմ, առանց որևէ հակասության այլ աքսիոմների հետ և առանց որևէ հետևանքների ավելի վաղ ապացուցված թեորեմների համար: Երկրաչափության մեջ հինավուրց ժամանակներից ի վեր մաթեմատիկոսների կասկածները հանգեցրել են Էվկլիդեսի զուգահեռության աքսիոմին: Ներկայում հայտնի է, որ եթե ընդունենք հակառակ աքսիոմը, ապա կարելի է կառուցել ոչ հակասական Լոբաչևսկու երկրաչափությունը, ներառյալ բացարձակ երկրաչափությունը, այսինքն՝ մնացած բոլոր աքսիոմների պահպանմամբ:

Պայմանական ապացույցներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Որոշ չհաստատված հիպոթեզների վավերականությանից բխում են կարևոր հետևանքներ: Եթե ​​կա լայնորեն տարածված կարծիք, որ հիպոթեզը ճշմարիտ է, ապա մաթեմատիկոսները երբեմն ապացուցում են այն թեորեմները, որոնք ճշմարիտ են միայն այդ հիպոթեզի վավերականության դեպքում՝ հույս ունենալով, որ հիպոթեզը կապացուցվի: Նման ապացույցները տարածված են, օրինակ՝ Ռիմանի հիպոթեզի հետ կապված:

Որոշ հայտնի օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այստեղ թվարկված են հայտարարություններ, որոնք մեծ ազդեցություն են ունեցել մաթեմատիկայի վրա՝ լինելով հիպոթեզի կարգավիճակում: Դրանցից մի մասը մինչ օրս մնում է հիպոթեզ, մյուսներն ապացուցվել կամ մերժվել են:

Ֆերմայի մեծ թեորեմ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թվերի տեսության համաձայն՝ Ֆերմայի մեծ թեորեմը պնդում է, որ ոչ մի երեք բնական թվերի համար հավասարությունը ճիշտ չէ, եթե ամբողջ թիվը մեծ է 2-ից:

Պիեռ դը Ֆերմաը Պիեռ Ֆերման գրել է այս ենթադրությունը 1637 թվականին Դիոֆանտի «Թվաբանություն» լուսանցքներում այն պնդման հետ, որ ունի ապացույց, բայց դա շատ մեծ է, որպեսզի տեղավորվի այդտեղ[4]: Առաջին հաջող ապացույցն ստացել է Ջոն Ուայլսը 1994 թվականին և հրապարակվել 1995 թվականին՝ բազմաթիվ մաթեմատիկոսների 358 տարվա ջանքերից հետո: 19-րդ դարում այս խնդրի լուծման փորձերը հանգեցրել են թվերի հանրահաշվական տեսության զարգացմանը և 20-րդ դարում մոդուլյարության տեսության ապացուցմանը:

Պուանկարեի հիպոթեզ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պուանկարեի հիպոթեզը պնդում է, որ ցանկացած միակապ կոմպակտ եռաչափ բազմաձևություն առանց սահմանի հոմեոմորֆ է եռաչափ ոլորտի: Այս վարկածը Անրի Պուանկարեն ձևակերպել է 1904 թվականին: Մաթեմատիկոսների գրեթե մեկդարյա ջանքերից հետո Գրիգորի Պերելմանն ապացուցել է այս հիպոթեզը երեք հոդվածներում, որ 2002 թվականին և 2003 թվականին հրապարակվել են arXiv կայքում: Ապացույցը հաջորդել է Ռիչարդ Հեմիլթոնի՝ առաջարկին` օգտագործելու Ռիչիի հոսքը[5]: Մաթեմատիկոսների մի քանի խմբեր ստուգել են Պերելմանի ապացույցները և հաստատել, որ այն ճիշտ է: Հետաքրքիրն այն է, որ ավելի բարձր ծավալային տարածքների համար ապացույցներ ավելի վաղ էին ձեռք բերվել:

Ռիմանի հիպոթեզ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ռիմանի հիպոթեզը, որն առաջարկվել է 1859 թվականին, նշում է, որ Ռիմանի զետա ֆունկցիայի բոլոր ոչ տրիվիալ արմատներն ունեն իրական մաս, որը հավասար է 1/2-ի: Ռիմանի հիպոթեզի վավերականությունից հետևում են մի շարք արդյունքներ՝ պարզ թվերի բաշխման վերաբերյալ: Որոշ մաթեմատիկոսներ այս հիպոթեզը համարում են «մաքուր մաթեմատիկայի» չլուծված ամենակարևոր խնդիրը: Ռիմանի հիպոթեզը ներառված է Հիլբերտի խնդիրների և հազարամյակի խնդիրների ցանկերում։

P և NP դասերի հավասարություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

P և NP դասերի հավասարության հարցը ներառված է հազարամյակի խնդիրների ցանկում և ինֆորմատիկայի հիմնական խնդիրներից մեկն է: Ոչ պաշտոնապես, բայց բավական ճշգրտորեն հարցը հանգում է նրան, թե արդյոք ցանկացած խնդիր, որի ներկայացրած լուծումը կարելի է հաստատել բազմանոմինալ ժամանակահատվածում, կարող է լուծվել նաև բազմանոմինալ ժամանակում՝ օգտագործելով բազմանոմինալ հիշողություն: Ներկայում գերիշխող կարծիքն այն է, որ սա այնքան էլ այդպես չէ: Բայց եթե այս հիպոթեզի ճշմարտության ապացույցը կարող է լինել կառուցողական (անհրաժեշտ է ներկայացնել միայն մեկ ալգորիթմ, որը շատերը փորձում են անել), ապա պարզ չէ, թե ինչպես կարելի է հակառակն ապացուցել: Հավանաբար, խնդիրը առաջին անգամ հիշատակվել է 1956 թվականին Կուրտ Գյոդելի՝ Ջոն Նեյմանին ուղղված նամակում[6]: Խնդիրը ճշգրտորեն ձևակերպվել է 1971 թվականին Ստիվեն Կուկի կողմից[7], և շատերն այն համարում են ամենակարևոր բաց խնդիրը այս ոլորտում[8]:

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հին հույն մաթեմատիկոսները հաճախ որպես մաթեմատիկական ապացույցի մեթոդ օգտագործել է մտավոր փորձը, որը ներառել է հիպոթեզի առաջքաշումն ու հետևանքների դեդուկցիայի միջոցով դրանից եզրակացություններ անելը՝ նպատակ ունենալով ստուգել սկզբնական ենթադրությունների ճշմարտությունը: Այսօր այդպիսի դատողությունները կոչվում են հակառակից ապացույցի մեթոդ: Պլատոնը հիպոթեզները համարել է իր կողմից մշակված ապացույցի վերլուծական սինթետիկ մեթոդի նախադրյալ, որը ունակ է ապահովել եզրակացության բացարձակ ճշմարիտ բնույթը: Այնուամենայնիվ, հիպոթեզը՝ որպես հետազոտական ​​մեթոդ, մերժվել է Արիստոտելի կողմից, որը, որպես որպես սիլլոգիստական ապացույցի հիմք ընդունել է միայն ընդհանուր, անհրաժեշտ և բացարձակ ճշմարտությունները: Սա հանգեցրել է գիտնականների հետագա բացասական վերաբերմունքին հիպոթեզների նկատամբ՝ որպես կեղծ կամ հավանական գիտելիքների ձև[3]: Հիպոթեզների և բացարձակ ճշգրիտ գիտելիքների հակադրությունը և որպես հետևանք հիպոթեզների անտեսումը հաղթահարվել է միայն 19-րդ դարում: Մասնավորապես, Էնգելսը, հիպոթեզը դիտարկելով որպես «բնագիտության զարգացման» ձև[9], առաջ է քաշել դրույթ հիպոթեզներիև օրենքների ու տեսությունների՝ որպես հարաբերականորեն իրական գիտելիքի տարբեր ձևերի փոխադարձ կապի մասին:

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Oxford Dictionary of English. — 2010.
  2. JL Schwartz Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics. — 1995. — С. 93.
  3. 3,0 3,1 Гипотеза // Новая философская энциклопедия
  4. Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History, Dover, pp. 203–204, ISBN 978-0-486-65620-5 
  5. Hamilton, Richard S. Four-manifolds with positive isotropic curvature (und) // Communications in Analysis and Geometry. — 1997. — Т. 5. — № 1. — С. 1—92.
  6. Juris Hartmanis 1989, Godel, von Neumann, and the P = NP problem, Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, pp. 101—107
  7. Cook, Stephen The complexity of theorem proving procedures // Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing. — 1971. — С. 151—158.
  8. Lance Fortnow, The status of the P versus NP problem , Communications of the ACM 52 (2009), no. 9, pp. 78-86. doi:10.1145/1562164.1562186
  9. Маркс К. и Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 555