Հիլբերտի խնդիրներ

Հիլբերտի խնդիրներ, մաթեմատիկայի 23 արմատական խնդիրների ցանկ, որոնք առաջադրել է Դավիթ Հիլբերտը՝ 1900 թվականին Փարիզում տեղի ունեցած 2-րդ մաթեմատիկական կոնգրեսում։ Այն ժամանակ դրանք լուծված չէին և ընդգրկում էին մաթեմատիկայի մեծ բաժիններ (հիմունքները, հանրահաշիվը, թվերի տեսությունը, երկրաչափություն, տոպոլոգիան, հանրահաշվական երկրաչափությունը, Լիի խմբերը, իրական և կոմպլեքս վերլուծություն, դիֆերենցիալ հավասարումներ, մաթեմատիկական ֆիզիկա, հավանականությունների տեսություն և այլն)։

Այժմ 23 խնդիրներից (պրոբլեմներից) լուծված են միայն 16-ը։ Եվս 2-ը համարվում են ոչ կոռեկտ մաթեմատիկական խնդիրներ՝ ձևակերպված են շատ անորոշ, և հնարավոր չէ հասկանալ լուծվա՞ծ է այն, թե՞ ոչ։ Մնացած հինգից երկուսը ոչ մի ձևով լուծված չեն, իսկ մնացած երեքը լուծված են մասնավոր դեպքերի համար։ Հիլբերտի խնդիրների ցուցակի հայտնի դառնալուց ուղիղ 100 տարի հետո ամերիկացի մաթեմատիկոս Սթիվեն Սմեյլը առաջարկեց ժամանակակից չլուծված խնդիրների նոր ցանկ։

№	Կարգավիճակ	Կարճ ձևակերպում	Արդյունք	Լուծման տարին
1	Լուծված է^[1]	Կոնտինումի հզորությոան մասին Կանտորի խնդիրը	Ապացուցված է, որ խնդիրը լուծելի չէ ՑՖՀ-ում։ Չկա մինշանակ կարծիք, որ դա խնդրի լուծում է հանդիսանում։	1940, 1963
2	Չկա փոխհամաձայնություն^[2]	Թվաբանության աքսիոմի ոչ հակասականություն	Պահանջում է ձևակերպման ճշգրտում
3	Լուծված է	Հավասարամեծ բամանկյունների հավասարակազմությունը	Հերքված է	1900
4	Շատ է անորոշ	Թվարկել չափագրումները,որտեղ ուղիղները երկրաբանական են հանդիսանում	Պահանջում է ձևակերպման ճշգրտում^[3]
5	Լուծված է	Բոլոր անընդհատ խմբերը արդյոք Լիի խմբեր են հանդիսանում	Այո	1953
6	Մասամբ լուծված է^[4]	Ֆիզիկայի աքսիոմի մաթեմատիկական հետազոտություն	Կախված է խնդրի դրվածքի նախնական ներկայացումից^[5]
7	Լուծված է	Հանդիսանում է արդյոք $2^{\sqrt {2}}$ թիվը տրանցենդենտ (գոնե իռացիոնալ)^[6]	Այո	1934
8	Մասամբ լուծված է^[7]	Պարզ թվերի խնդիրը Ռիմանի վարկածը և Գոլդբախի խնդիրը	Ապացուցված է Գելտբախի վարկածը^[8]^[9]^[10]^[11].
9	Մասամբ լուծված է^[12]	Ցանկացած թվային տարածության մեջ փոխադարձության ամենաընդհանուր օրենքի ապացույց	Ապացուցված է աբալևյան դեպքի համար
10	Լուծված է^[13]	Կա արդյոք դիոֆանտյան հավասարման լուծման ունիվերսալ ալգորիթմ	Ոչ	1970
11	Մասամբ լուծված է	Ազատ հանրահաշվական թվային գործակցով քառակուսային տեսքի հետազոտում
12	Լուծված չէ	Կրոնեկերի թեորեմի տարածումը ցանկացած ռացիոնալ հանրահաշվական ոլորտում
13	Լուծված է	Հնարավոր է արդյոք լուծել յոթերորդ աստիճանի հավասարումը, միայն երկու փոփոխականից կախված ֆունկցիայով։	Այո	1957
14	Լուծված է	Վերջնական հանրահաշվային ձևափոխման գծային խմբի հանրահաշվական ապացույց^[14]	Հերքված է	1959
15	Մասամբ լուծված է	Շուբերտի չափողական երկրաչափության խիստ հիմնավորումը
16	Մասամբ լուծված է^[15]	Հանրահաշվական կորերի և մակերևույթների տոպոլոգիա^[16]
17	Լուծված է	Հնարավոր է արդյոք որոշակի ձևերի ներկայացումը քառակուսիների գումարի տեսքով	Այո	1927
18	Լուծված է^[17]^[18]	վերջավոր է արդյոք բյուրեղաչափական խմբերի քանակը (a) Գոյություն ունի արդյոք ոչ պարբերական տարածության զբաղեցում կոնգրուենտ բազմանկյուններով (a)	Այո Այո	1928 (a) 1998 (b)
19	Լուծված է	Լագրանժի խնդրի լուծման վարիացիաները միշտ են արդյոք վերլուծական	Այո	1957
20	Լուծված է^[19]^[20]^[21]	Արդյոք բոլոր սահմանափակ պայմաններով խնդիրները լուծում ունեն, եթե անհրաժեշտության դեպքում, լուծման հասկացությանը տրվի ընդլայնված բացատրություն	Այո	1937 - 1962
21	Լուծված է	Տրված մոնոդրոմ խմբով դիֆերենցիալ հավասարումների գոյության ապացույց	Գոյություն ունի թե ոչ, կախված է խնդրիավելի ճշգրիտ ձևակերպումից	1992
22	Մասամբ լուծված է	Ավտոֆորմ ֆունկցիաների օգնությամբ անալիտիկ կախվախությունների ձևափոխություն
23	Շատ աղոտ է	Վարիցիոն հաշվարկների մեթոդների զարգացում	Պահանջում է ձևակերպման ճշգրտում

Տես նաև

Ծանոթագրություններ

↑ Результаты Гёделя и Коэна (Cohen) показывают, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречат системе аксиом Цермело — Френкеля (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).
↑ Курт Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики. В 1936 году Герхард Генцен доказал непротиворечивость арифметики, используя примитивно рекурсивную арифметику с дополнительной аксиомой для трансфинитной индукции до ординала ε₀.
↑ Согласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.
↑ L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.
↑ Более того, решение проблемы о получении динамики континуума из атомистического описания может быть отрицательным: Marshall Slemrod, Hilbert’s sixth problem and the failure of the Boltzmann to Euler limit, Phil. Trans. R. Soc. A 2018 376 (2118), 2018, 20170222, doi:10.1098/rsta.2017.0222
↑ Решена Зигелем и Гельфондом (и независимо Шнайдером) в более общем виде: если a ≠ 0, 1 — алгебраическое число, и b — алгебраическое иррациональное, то a^b — трансцендентное число
↑ Проблема № 8 содержит две известные проблемы, первая из которых не решена, а вторая решена частично. Первая из них, гипотеза Римана, является одной из семи Проблем тысячелетия, которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.
↑ Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…
↑ Major arcs for Goldbach’s theorem, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897
↑ Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013
↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
↑ Проблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.
↑ Юрий Матиясевич в 1970 году доказал алгоритмическую неразрешимость вопроса о том, имеет ли произвольное диофантово уравнение хотя бы одно решение. Изначально проблема была сформулирована Гильбертом не в качестве дилеммы, а в качестве поиска алгоритма: в то время, видимо, даже не задумывались о том, что может существовать отрицательное решение подобных проблем.
↑ Утверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для произвольных действий редуктивных групп на аффинных алгебраических многообразиях. Нагата в 1958 году построил пример линейного действия унипотентной группы на 32-мерном векторном пространстве, для которого алгебра инвариантов не является конечно порождённой. В. Л. Попов доказал, что если алгебра инвариантов любого действия алгебраической группы G на аффинном алгебраическом многообразии конечно порождена, то группа G редуктивна.
↑ Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно M=(n-1)(n-2)/2+1, и что такие кривые существуют — их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача сделана до степени n=6 включительно, а для степени n=8 довольно много известно (хотя её ещё не добили). Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены — см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для n=6 есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей — неизвестно даже, сколько их может быть, и что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля имеется конечное число предельных циклов) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем, для чего каждому из них пришлось написать по книге.
↑ Приведён перевод исходного названия проблемы, данного Гильбертом: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen» Արխիվացված 2012-02-05 Wayback Machine(գերմ.). Однако, более точно её содержание (как оно рассматривается сегодня) можно было бы передать следующим названием: «Число и расположение овалов вещественной алгебраической кривой данной степени на плоскости; число и расположение предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени на плоскости». Вероятно (как можно увидеть из английского перевода текста анонса(անգլ.)), Гильберт считал, что дифференциальная часть (в реальности оказавшаяся значительно труднее алгебраической) будет поддаваться решению теми же методами, что и алгебраическая, и потому не включил её в название.
↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.
↑ Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х.
↑ Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. - М., Мир, 1974
↑ MacShane Generalized curves. Duke math. J., 6 (1940), 513-536
↑ Гамкрелидзе Р. В. О скользящих оптимальных режимах // ДАН СССР, 143 (1962), 1243 - 1245

Գրականություն

Болибрух А. А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя). — МЦНМО, 1999. — Т. 2. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). Արխիվացված 2018-08-23 Wayback Machine
Демидов С. С. К истории проблем Гильберта // Историко-математические исследования. — М. : Наука, 1966. — № 17. — С. 91—122.
Демидов С. С. «Математические проблемы» Гильберта и математика XX века // Историко-математические исследования. — М. : Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 84—99.
Ляшко С. И., Номировский Д. А., Петунин Ю. И., Семёнов В. В. Двадцатая проблема Гильберта : Обобщённые решения операторных уравнений. — М. : Диалектика, 2009. — 192 с. — ISBN 978-5-8459-1524-5. Արխիվացված 2016-03-05 Wayback Machine
Проблемы Гильберта : сб. / под ред. П. С. Александрова. — М. : Наука, 1969. — 240 с. Արխիվացված 2018-02-13 Wayback Machine

Արտաքին հղում

Оригинальный текст на немецком доклада Гильберта Արխիվացված 2012-02-05 Wayback Machine
Русский перевод доклада Гильберта (вводная часть и заключение)

[1] Результаты Гёделя и Коэна (Cohen) показывают, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречат системе аксиом Цермело — Френкеля (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).

[2] Курт Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики. В 1936 году Герхард Генцен доказал непротиворечивость арифметики, используя примитивно рекурсивную арифметику с дополнительной аксиомой для трансфинитной индукции до ординала ε₀.

[3] Согласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.

[4] L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.

[5] Более того, решение проблемы о получении динамики континуума из атомистического описания может быть отрицательным: Marshall Slemrod, Hilbert’s sixth problem and the failure of the Boltzmann to Euler limit, Phil. Trans. R. Soc. A 2018 376 (2118), 2018, 20170222, doi:10.1098/rsta.2017.0222

[6] Решена Зигелем и Гельфондом (и независимо Шнайдером) в более общем виде: если a ≠ 0, 1 — алгебраическое число, и b — алгебраическое иррациональное, то a^b — трансцендентное число

[7] Проблема № 8 содержит две известные проблемы, первая из которых не решена, а вторая решена частично. Первая из них, гипотеза Римана, является одной из семи Проблем тысячелетия, которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.

[8] Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…

[9] Major arcs for Goldbach’s theorem, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897

[10] Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013

[11] Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913

[12] Проблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.

[13] Юрий Матиясевич в 1970 году доказал алгоритмическую неразрешимость вопроса о том, имеет ли произвольное диофантово уравнение хотя бы одно решение. Изначально проблема была сформулирована Гильбертом не в качестве дилеммы, а в качестве поиска алгоритма: в то время, видимо, даже не задумывались о том, что может существовать отрицательное решение подобных проблем.

[14] Утверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для произвольных действий редуктивных групп на аффинных алгебраических многообразиях. Нагата в 1958 году построил пример линейного действия унипотентной группы на 32-мерном векторном пространстве, для которого алгебра инвариантов не является конечно порождённой. В. Л. Попов доказал, что если алгебра инвариантов любого действия алгебраической группы G на аффинном алгебраическом многообразии конечно порождена, то группа G редуктивна.

[15] Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно M=(n-1)(n-2)/2+1, и что такие кривые существуют — их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача сделана до степени n=6 включительно, а для степени n=8 довольно много известно (хотя её ещё не добили). Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены — см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для n=6 есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей — неизвестно даже, сколько их может быть, и что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля имеется конечное число предельных циклов) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем, для чего каждому из них пришлось написать по книге.

[16] Приведён перевод исходного названия проблемы, данного Гильбертом: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen» Արխիվացված 2012-02-05 Wayback Machine(գերմ.). Однако, более точно её содержание (как оно рассматривается сегодня) можно было бы передать следующим названием: «Число и расположение овалов вещественной алгебраической кривой данной степени на плоскости; число и расположение предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени на плоскости». Вероятно (как можно увидеть из английского перевода текста анонса(անգլ.)), Гильберт считал, что дифференциальная часть (в реальности оказавшаяся значительно труднее алгебраической) будет поддаваться решению теми же методами, что и алгебраическая, и потому не включил её в название.

[17] Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.

[18] Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х.

[19] Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. - М., Мир, 1974

[20] MacShane Generalized curves. Duke math. J., 6 (1940), 513-536

[21] Гамкрелидзе Р. В. О скользящих оптимальных режимах // ДАН СССР, 143 (1962), 1243 - 1245

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]