Կոնտինուումի վարկած

1877 թվականին Գերոգ Կանտորը առաջ քաշեց և ավելի ուշ ապարդյուն կերպով փորձեց ապացուցել այսպես կոչված կոնտինիում-հիպոթեզը, որը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ․

Կոնտինիուում բազմության ցանկացած անվերջ ենթաբազմություն կա՛մ հաշվելի է, կա՛մ՝ կոնտինիում։

Կոնտինիում հիպոտեզը դարձավ քսաներեք մաթեմատիկական խնդիրներից առաջինը, որոնք Դավիթ Հիլբերտը ներկայացրեց Մաթեմատիկոսների 2-րդ միջազգային համագումարին Փարիզում 1900 թվականին։ Այդ պատճառով կոնտինիում-հիպոթեզը հայտնի է որպես Հիլբերտի առաջին խնդիր։ 1940 թվականին Կուրտ Գյոդելն ապացուցեց ընդլայնված տեսություն, ստանալով կապ Զերմելո-Ֆրենկելյան աքսիոմային համակարգի (ZFC) աքսիոմների կայունության հետ ZFC, որը ժխտում է կոնտիում-հիպոթեզի անապացուցելիությունը ZFC-ում, իսկ 1963 թվականին ամերիկացի մաթեմատիկոս Փոլ Կոենը ապացուցեց այն նույն տեսությունը, որ կոնտիում-հիպոթեզը անապացուցելի է ZFC-ում։ Այդպիսով կոնտիում-հիպոթեզը կախված չէ ZFC աքսիոմից։ Գյոդելի և Կոենի ընդլայնված տեսություններում կոնտիում-հիպոթեզի աքսիոմից անկախության հարցը մնացել է բաց։ Ժխտումը կամ հաստատումը կոնտինիում-հիպոթեզի հանգեցրեց այսպես ասած բազմությունների կանտորյան տեսության առաջացման՝ ըստ որի իրական թվերի բազմության հզորությունը կամ կոնտինիում $c=2^{N_{0}}$ հավասար է ${N_{1}}$ և ոչ կանտորյան բազմությունների տեսության, որում այն ճիշտ չէ։ Վերջին դեպքում կարելի է ապացուցել, որ $c$-ի և ${N_{1}}$-ի միջև գոյություն ունի անվերջ շատ կարդինալ թվեր։

Ընդհանրացում

Ընդհանրացված կոնտինիում-հիպոթեզը պնդում է, որ ցանկացած $S$ անվերջ բազմության համար գոյություն չունի այնպիսի բազմություն, որի կարդինալ թիվը մեծ է, քան $S$-ի՛, բայց փոքր է, քան նրա բոլոր $2^{S}$ ենթաբազմություններինը։ Ընդհանրացված կոնտինիում-հիպոթեզը նույնպես չի հակասում Ցերմելո-Ֆրենկելյան աքսիոմատիկային, և, ինչպես ցույց տվեցին Վացլավ Սերպինսկին 1947 թ․ և Շպեքքերը 1952 թ․, նրանից հետևում է ընտրության աքսիոմը։