Նշան (մաթեմատիկա)

Պլյուսի և մինուսի պայմանանշանները ցույց են տալիս թվի նշանը

Իրական թվի նշանը թվաբանությունում թույլ է տալիս տարբերել բացասական թվերը դրականներից։ Սովորաբար նշանը դրվում է թվից առաջ՝ պլյուսի (դրական թվեր) կամ մինուսի (բացասական թվեր) պայմանանշանով։ Եթե ոչ պլյուսը, ոչ մինուսը նշված չեն, թիվը համարվում է դրական։ Զրոն՝ որպես հատուկ թիվ, նշան չունի։

Թվերի գրառման օրինակներ՝ $+36{,}6;\ {-}273;\ 142:$ Վերջին թիվը նշան չունի և այդ պատճառով դրական է։

Պլյուսը կամ մինուսը ցույց են տալիս նշանը միայն թվերի համար, բայց ոչ տառային փոփոխականների կամ հանրահաշվական արտահայտությունների համար։ Օրինակ, $-t;\ a+b;\ -(a^{2}+b^{2})$ բանաձևերում պլյուսի և մինուսի պայմանանշանները ցույց են տալիս ոչ թե արտահայտության նշանը, որից առաջ նրանք դրված են, այլ թվաբանական գործողության նշանը, այնպես որ արդյունքի նշանը կարող է լինել ցանկացած, այն որոշվում է միայն արտահայտության արժեքը հաշվելուց հետո։

Բացի թվաբանությունից, նշանի հասկացությունն օգտագործվում է մաթեմատիկայի այլ բաժիններում, այդ թվում՝ ոչ թվային մաթեմատիկական օբյեկտների համար։ Նշանի հասկացությունը կարևոր է նաև ֆիզիկայի այն բաժիններում, որտեղ ֆիզիկական մեծությունները տրոհվում են երկու դասի՝ պայմանականորեն դրական և բացասական կոչվածներ, օրինակ, էլեկտրական լիցքերը, ջերմաստիճանը, դրական և բացասական հետադարձ կապը, բարձրությունը ծովի մակարդակից, ձգողականության և վանողության տարատեսակ ուժերը։

Թվի նշան

Դրական և բացասական թվեր

Բացասական և դրական թվերը թվային ուղղի վրա

Իրական թիվը կոչվում է դրական, եթե այն մեծ է զրոյից, և բացասական, եթե փոքր է։ Դրական թվերը գրի են առնվում պլյուս նշանով կամ ընդհանրապես առանց նշանի, իսկ բացասականները՝ մինուս նշանով։

Զրոյին ոչ մի նշան չի վերագրվում, այսինքն՝ թվաբանությունում $+0$ և $-0$ միևնույն թիվն է։ Մաթեմատիկական անալիզում $+0$ և $-0$ պայմանշանների իմաստը կարող է տարբեր լինել, ինֆորմատիկայում երկու զրոների (ամբողջ տեսակի) համակարգչային կոդավորումը կարող է տարբերվել։

Վերը նշվածի հետ կապված ներմուծվում են ևս մի քանի օգտակար տերմիններ.

• Թիվը ոչ բացասական է, եթե այն մեծ կամ հավասար է զրոյի։
• Թիվը ոչ դրական է, եթե այն փոքր կամ հավասար է զրոյի։
• Դրական թվերն առանց զրոյի և բացասական թվերն առանց զրոյի երբեմն (ընդգծելու համար, որ դրանք ոչ զրոյական են) կոչում են, համապատասխանաբար, «խիստ դրական» և «խիստ բացասական»։

Նույն տերմինաբանությունը երբեմն օգտագործվում է իրական ֆունկցիաների համար։ Օրինակ, ֆունկցիան կոչվում է դրական, եթե նրա բոլոր արժեքները դրական են, ոչ բացասական, եթե նրա բոլոր արժեքները ոչ բացասական են և այլն։ Ասում են նաև, որ ֆունկցիան դրական/բացասական է իր որոշման տվյալ միջակայքում։

կոմպլեքս թվերի համար նշանի հասկացություն գոյություն չունի, քանի որ նրանց համար սահմանված չէ՝ ինչպես համեմատել թվերը մեծ է/փոքր է իմաստով։

Նշանակումներ

• Դրական իրական թվերի բազմությունը նշանակվում է $\mathbb {R} _{>0}$:
• Ոչ բացասական իրական թվերի բազմությունը նշանակվում է $\mathbb {R} _{\geqslant 0}$:
• Բացասական իրական թվերի բազմությունը նշանակվում է $\mathbb {R} _{<0}$:
• Ոչ դրական իրական թվերի բազմությունը նշանակվում է $\mathbb {R} _{\leqslant 0}$:

Նշանի sgn(x) ֆունկցիա

$y=\operatorname {sgn}(x)$ ֆունկցիայի գրաֆիկ

$y=\operatorname {sgn}(x)$ նշանի ֆունկցիան (արտասանվում է՝ սիգնում x-ից) հաճախ օգտակար է որպես թվի նշանի ցուցիչ։ Այդ ֆունկցիան սահմանվում է հետևյալ կերպ.

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1\quad (x<0),\\~~\,0\quad (x=0),\\~~\,1\quad (x>0):\end{cases}}$

Այլ կերպ ասած, ֆունկցիան հավասար է $1$-ի դրական արգումենտի համար, $-1$-ի՝ բացասականի և զրոյի՝ զրոյական արգումենտի համար։ Ֆունկցիան կիրառվում է նաև մի շարք ծրագրավորման լեզուներում։

Թվի մոդուլ (բացարձակ արժեք)

Հիմնական հոդված՝ Բացարձակ արժեք

Եթե բաց թողնենք $x$ թվի նշանը, ստացված արժեքը կոչվում է $x$ թվի մոդուլ կամ բացարձակ արժեք, այն նշանակվում է $|x|:$ Օրինակ՝ $|3|=3;\ |{-3}|=3:$

Ցանկացած $a,b$ իրական թվերի համար տեղի ունեն հետևյալ հատկությունները.

• Թվի՝ ըստ նշանի և մոդուլի վերլուծման բանաձև. $a=\operatorname {sgn}(a)\cdot |a|$:
• Ցանկացած թվի մոդուլը միշտ ոչ բացասական է, ընդ որում՝ $|a|=0$ միայն այն դեպքում, երբ $a=0:$
• Հակադիր թվերի մոդուլները համըկնում են. $|{-a}|=|a|:$
• $-|a|\leqslant a\leqslant |a|:$
• $|a+b|\leqslant |a|+|b|$ (եռանկյան անհավասարություն)։

Ոչ թվային օբյեկտների նշան

Անկյան նշան

Դրական և բացասական անկյուններ

Հարթության վրա անկյան մեծությունը համարվում է դրական, եթե այն չափվում է ժամսլաքին հակառակ ուղղությամբ, հակառակ դեպքում՝ այն համարվում է բացասական։ Համանմանորեն դասակարգվում են պտտման երկու դեպքեր.

• հարթության վրա պտույտը, օրինակ, (–90°), ով պտույտը կատարվում է ժամսլաքի ուղղությամբ,
• տարածության մեջ կողմնորոշված առանցքի շուրջ պտույտը, որպես կանոն, համարվում է դրական, եթե տեղի ունի «աջ ձեռքի կանոնը», հակառակ դեպքում՝ այն համարվում է բացասական։

Ուղղության նշան

Անալիտիկ երկրաչափության մեջ և ֆիզիկայում հաճախ տրված ուղղի կամ կորի երկայնքով շարժումները պայմանականորեն բաժանվում են դրականների և բացասականների։ Այդպիսի բաժանումը կարող է կախված լինել խնդրի առաջադրումից կամ ընտրված կոորդինատային համակարգից։ Օրինակ, կորի աղեղի երկարությունը հաշվելիս հաճախ հարմար է հնարավոր երկու ուղղություններից մեկի վրա այդ երկարությանը մինուս նշան կցագրել։

Նշանը հաշվողական տեխնիկայում

ավագ բիթ
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Ամբողջ թվի նշանը ներկայացնելիս համակարգիչների մեծ մասըն օգտագործում է լրացուցիչ կոդ։

Ամբողջ թիվը, որը պահվում է համակարգչի հիշողությունում, կարող է լինել նշանային կամ առանց նշանի (վերջին դեպքում այն դիտարկվում է որպես դրական)։ Նշանային թվերն օգտագործում են բիթերից մեկը՝ որպես նշանի կոդ (սովորաբար 0 կոդավորում է դրական թիվ, 1՝ բացասական), նշան չունեցող թվերի բոլոր բիթերը հավասարարժեք են։ Նշանի և ամբողջ թվերի արժեքի ներկայացման համար համակարգիչների մեծ մասն օգտագործում է լրացուցիչ կոդ, թեև հանդիպում է նաև ուղիղ կոդ։

Իրական թվերը պահվում և մշակվում են որպես սահող ստորակետով թվեր, այսինքն՝ պարունակում են թվի կարգ և մանտիս, ընդ որում՝ այդ մասերից յուրաքանչյուրը ապահովված է իր նշանի բիտով։

Դիսկրետ մաթեմատիկա

Կոմբինատորիկայում սահմանվում է տեղափոխությունների նշան՝ դրական, եթե տեղափոխությունները զույգ են, և բացասական, եթե տեղափոխությունները կենտ են։

Գրաֆների տեսությունում դիտարկվում են կողմնորոշված և նշանային գրաֆներ, որոնցում յուրաքանչյուր կողի համապատասխանում է ուղղություն կամ նշան (դրական կամ բացասական)։

Նշանի այլ կիրառություններ

Էլեկտրական լիցքը կարող է լինել դրական կամ բացասական

Գոյություն ունի նշանակարգային հաշվարկման համակարգ, նրանում թվի յուրաքանչյուր թվանշան կարող է ունենալ դրական կամ բացասական նշան։

Չափման տեսությունում սահմանվում է նշանով ընդհանրացված չափման հասկացությունը («լիցքի»), որը կարող է ունենալ դրական կամ բացասական արժեքներ։

Նշանը կարող է տրվել ընդլայնված թվային առանցքի անվերջ հեռացված կետին։

Ֆիզիկայում ցանկացած էլեկտրական լիցք ունի նշան՝ դրական կամ բացասական։ Պայմանականորեն, դրական է համարվում այն լիցքը, որն ունի նույն նշանը, ինչ պրոտոնը, իսկ բացասական՝ այն լիցքը, որն ունի նույն նշանը, ինչ էլեկտրոնը։ Նշան ունեն նաև այնպիսի ֆիզիկական մեծություններ, ինչպիսիք են ջերմաստիճանը, բարձրությունը ծովի մակերևույթից և մի շարք այլ մեծություններ։

Գրականություն

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.