Շղթայական կանոն (բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցման կանոնը) հնարավորություն է տալիս հաշվել մեկ կամ մի քանի ֆունկցիաների կոմպոզիցիայի ածանցյալը։ Եթե
ֆունկցիան
կետում ածանցելի է, իսկ
ֆունկցիան
կետում ունի ածանցյալ, ապա
ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ
կետում։
Շղթայական կանոնը առաջին անգամ օգտագործվել է Լայբնիցի կողմից։ Նա այն օգտագործել է
ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվելու համար՝ որպես քառակուսի արմատային ֆունկցիայի և
ֆունկցիայի համադրույթ(կոմպազիցիա)։ Առաջին անգամ նշել է 1676 թվականին իր հուշագրություններում[1]։ Շղթայական կանոնը չի երևում Լեոնարդ Էյլերի և ոչ մի գրքում, չնայած դրանք գրվել են Լայբնիցի հայտնագործությունից հարյուր տարի անց։
Դիցուք տրված են թվային ուղղի վրա որոշված
ֆունկցիաները, որտեղ
և
։ Դիցուք այդ ֆունկցիաները նաև դիֆերենցելի են․
։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես կլինի դիֆերենցելի․
և նրա ածանցյալը կունենա հետևյալ տեսքը․
։
Լեյբնիցի նշանակումներում շղթայական կանոնը
ֆունկցիայի ածանցյալի համար, որտեղ
ընդունում է հետևյալ տեսքը
![{\displaystyle h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058dc8f2f843e0d9a7750915f7383e439e11315e)
Առաջին կարգի դիֆերենցիալի ինվարիանտությունը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
կետում դիֆերենցելի
ֆունկցիան ունի
տեսքը, որտեղ
—ը
ֆունկցիայի դիֆերենցիալ արտապատկերումն է
։
Դիցուք այժմ
։ Ապա
և համաձայն շղթայական կանոնի
։
Այսինքն առաջին կարգի դիֆերենցիալի բանաձևը մնում է նույնը։
Դիցուք
։ Ապա
ֆունկցիան կարելի է գրել
կոմպոզիցիայի տեսքով, որտեղ
![{\displaystyle f(x)=3x^{2}-5x,\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374df0c3ad0a6d0da016b310c02bb3a6d0969557)
![{\displaystyle g(y)=y^{7}.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74c463beec2fe4839087283c96e1a0d6efcc246)
Առանձին դիֆերենցելով այդ ֆունկցիան՝
![{\displaystyle f'(x)=6x-5,\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215881d350b9cd4806b476994098b7960aaac27b)
![{\displaystyle g'(y)=7y^{6},\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7073d444c51e1bca2d44fc352507b19414606da)
կստանանք
։
Դիզուք տրված են
և
ֆունկցիաները, որտեղ
։ Ենթադրենք նաև, որ այդ ֆունկցիաները դիֆերենցելի են․
և
։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես դիֆերենցելի է և այդ դիֆերենցիալը ունի
տեսքը[2]։
Մասնավոր դեպքում, Յակոբիի մատրից
ֆունկցիան հանդիսանում է
և
ֆունկցիաների Յակոբիի մատրիցների արտադրյալը։
![{\displaystyle {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1904279bc28e52eb9d78e30b7e5d87cceb92971b)
- Երկու ֆունկցիաների Յակոբյան կոմպոզիցիան դա անհատական ֆունկցիաների յակոբյանների արտադրայալն է․
![{\displaystyle \left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\right\vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4074388b56bac9d4b98d1e243ac2a8a9552b941a)
Բարդ ֆունկցիայի մասնավոր ածանցյալի համար ճշմարիտ է․
։
Դիցուք տրված է երեք փոփոխականներով
ֆունկցիան և պահանջվում է գտնել նրա մասնական ածանցյալը ըստ
փոփոխականի։
ֆունկցիան կարող է գրվել որպես
, որտեղ
![{\displaystyle f(u,v,w)=u+v^{2}+w,\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f8486f137460f0fcf4f059fc024a3b314dbcb7)
![{\displaystyle u(x,y,z)=\sin x,\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88751c2217e27de3b24843ff7e312c3b33e96f14)
![{\displaystyle v(x,y,z)=\cos(x+y+z),\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce68a138ab8978d61834bd202b59458a765eb04e)
![{\displaystyle w(x,y,z)=-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9c772a2f98f016f4015921043aa48c348d4cc9)
Ապա
ֆունկցիայի մասնական ածանցյալը ըստ
փոփոխականի կունենա հետևյալ տեսքը․
![{\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial w}}{\frac {\partial w}{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05be832fc583295c10b9bfa431514f880532ceb3)
Հաշվենք ածանցյալները․
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial u}}=1,\;{\frac {\partial f}{\partial v}}=2v,\;{\frac {\partial f}{\partial w}}=1,\;{\frac {\partial u}{\partial x}}=\cos x,\;{\frac {\partial v}{\partial x}}=-\sin(x+y+z),\;{\frac {\partial w}{\partial x}}=-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e93bfd6419708d8bb3bc5088f43bfba8cbf4af1)
Տեղադրելով գտնված ածանցյալները․
![{\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=1\cdot \cos x\quad +\quad 2\cdot {\Bigl (}\cos(x+y+z){\Bigl )}\cdot {\Bigl (}-\sin(x+y+z){\Bigl )}\quad +\quad 1\cdot \left(-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f128dd42bae4899de9194996b78f703d5fea2c2c)
Արդյունքում
![{\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=\cos x-\sin(2x+2y+2z)-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0149af52646fb9e2aa1c204d353b294af51b87)