Բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցում

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Շղթայական կանոն (բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցման կանոնը) հնարավորություն է տալիս հաշվել մեկ կամ մի քանի ֆունկցիաների կոմպոզիցիայի ածանցյալը։ Եթե ֆունկցիան կետում ածանցելի է, իսկ ֆունկցիան կետում ունի ածանցյալ, ապա ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ կետում։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Շղթայական կանոնը առաջին անգամ օգտագործվել է Լայբնիցի կողմից։ Նա այն օգտագործել է ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվելու համար՝ որպես քառակուսի արմատային ֆունկցիայի և ֆունկցիայի համադրույթ(կոմպազիցիա)։ Առաջին անգամ նշել է 1676 թվականին իր հուշագրություններում[1]։ Շղթայական կանոնը չի երևում Լեոնարդ Էյլերի և ոչ մի գրքում, չնայած դրանք գրվել են Լայբնիցի հայտնագործությունից հարյուր տարի անց։

Միակողմանի դեպք[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք տրված են թվային ուղղի վրա որոշված ֆունկցիաները, որտեղ և ։ Դիցուք այդ ֆունկցիաները նաև դիֆերենցելի են․ ։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես կլինի դիֆերենցելի․ և նրա ածանցյալը կունենա հետևյալ տեսքը․

։

Դիտողություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Լեյբնիցի նշանակումներում շղթայական կանոնը ֆունկցիայի ածանցյալի համար, որտեղ ընդունում է հետևյալ տեսքը

Առաջին կարգի դիֆերենցիալի ինվարիանտությունը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

կետում դիֆերենցելի ֆունկցիան ունի

տեսքը, որտեղ
 —ը  ֆունկցիայի դիֆերենցիալ արտապատկերումն է
։

Դիցուք այժմ ։ Ապա և համաձայն շղթայական կանոնի

։

Այսինքն առաջին կարգի դիֆերենցիալի բանաձևը մնում է նույնը։

Օրինակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք ։ Ապա ֆունկցիան կարելի է գրել կոմպոզիցիայի տեսքով, որտեղ

Առանձին դիֆերենցելով այդ ֆունկցիան՝

կստանանք

։

Բազմաստիճան դեպք[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիզուք տրված են և ֆունկցիաները, որտեղ ։ Ենթադրենք նաև, որ այդ ֆունկցիաները դիֆերենցելի են․ և ։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես դիֆերենցելի է և այդ դիֆերենցիալը ունի

տեսքը[2]։

Մասնավոր դեպքում, Յակոբիի մատրից ֆունկցիան հանդիսանում է և ֆունկցիաների Յակոբիի մատրիցների արտադրյալը։

Հետևանքներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Երկու ֆունկցիաների Յակոբյան կոմպոզիցիան դա անհատական ֆունկցիաների յակոբյանների արտադրայալն է․

Բարդ ֆունկցիայի մասնավոր ածանցյալի համար ճշմարիտ է․

  • ։

Օրինակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք տրված է երեք փոփոխականներով ֆունկցիան և պահանջվում է գտնել նրա մասնական ածանցյալը ըստ փոփոխականի։ ֆունկցիան կարող է գրվել որպես , որտեղ

Ապա ֆունկցիայի մասնական ածանցյալը ըստ փոփոխականի կունենա հետևյալ տեսքը․

Հաշվենք ածանցյալները․

Տեղադրելով գտնված ածանցյալները․

Արդյունքում

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Rodríguez Omar Hernández, López Fernández Jorge M. (2010)։ «A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule»։ The Mathematics Enthusiast 7 (2): 321–332։ Վերցված է 2019-08-04 
  2. Spivak Michael (1965)։ Calculus on Manifolds։ Boston: Addison-Wesley։ էջեր 19–20։ ISBN 0-8053-9021-9