Բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցում

Շղթայական կանոն (բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցման կանոնը) հնարավորություն է տալիս հաշվել մեկ կամ մի քանի ֆունկցիաների կոմպոզիցիայի ածանցյալը։ Եթե $f$ ֆունկցիան $x_{0}$ կետում ածանցելի է, իսկ $g$ ֆունկցիան $y_{0}=f(x_{0})$ կետում ունի ածանցյալ, ապա $h(x)=g(f(x))$ ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ $x_{0}$ կետում։

Պատմություն

Շղթայական կանոնը առաջին անգամ օգտագործվել է Լայբնիցի կողմից։ Նա այն օգտագործել է ${\sqrt {a+bz+cz^{2}}}$ ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվելու համար՝ որպես քառակուսի արմատային ֆունկցիայի և $a+bz+cz^{2}\!$ ֆունկցիայի համադրույթ(կոմպազիցիա)։ Առաջին անգամ նշել է 1676 թվականին իր հուշագրություններում։ Շղթայական կանոնը չի երևում Լեոնարդ Էյլերի և ոչ մի գրքում, չնայած դրանք գրվել են Լայբնիցի հայտնագործությունից հարյուր տարի անց։

Միակողմանի դեպք

Դիցուք տրված են թվային ուղղի վրա որոշված $f:U(x_{0})\to V(y_{0})$ ֆունկցիաները, որտեղ $y_{0}=f(x_{0}),$ և $g:V(y_{0})\to \mathbb {R}$։ Դիցուք այդ ֆունկցիաները նաև դիֆերենցելի են․ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0})$։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես կլինի դիֆերենցելի․ $h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),$ և նրա ածանցյալը կունենա հետևյալ տեսքը․

$h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})$։

Դիտողություն

Լեյբնիցի նշանակումներում շղթայական կանոնը $y=y(x)$ ֆունկցիայի ածանցյալի համար, որտեղ $x=x(t)$ ընդունում է հետևյալ տեսքը

$h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).$

Առաջին կարգի դիֆերենցիալի ինվարիանտությունը

$y_{0}$ կետում դիֆերենցելի $z=g(y)$ ֆունկցիան ունի

$dz=g'(y_{0})\,dy$ տեսքը, որտեղ

$dy$ —ը $y\to y_{0}$ ֆունկցիայի դիֆերենցիալ արտապատկերումն է

$dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R}$։

Դիցուք այժմ $y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$։ Ապա $dy=f'(x_{0})\,dx$ և համաձայն շղթայական կանոնի

$dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy$։

Այսինքն առաջին կարգի դիֆերենցիալի բանաձևը մնում է նույնը։

Օրինակ

Դիցուք $h(x)=(3x^{2}-5x)^{7}$ ։ Ապա $h$ ֆունկցիան կարելի է գրել $h=g\circ f,$ կոմպոզիցիայի տեսքով, որտեղ

$f(x)=3x^{2}-5x,\;$

$g(y)=y^{7}.\;$

Առանձին դիֆերենցելով այդ ֆունկցիան՝

$f'(x)=6x-5,\;$

$g'(y)=7y^{6},\;$

կստանանք

$h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5)$։

Բազմաստիճան դեպք

Դիզուք տրված են $f:U(x_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\to V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},$ և $g:V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}$ ֆունկցիաները, որտեղ $y_{0}=f(x_{0})$։ Ենթադրենք նաև, որ այդ ֆունկցիաները դիֆերենցելի են․ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ և $g\in {\mathcal {D}}(y_{0})$։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես դիֆերենցելի է և այդ դիֆերենցիալը ունի

$dh(x_{0})=dg(y_{0})\circ df(x_{0})$ տեսքը։

Մասնավոր դեպքում, Յակոբիի մատրից $h$ ֆունկցիան հանդիսանում է $g$ և $f$ ֆունկցիաների Յակոբիի մատրիցների արտադրյալը։

${\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}.$

Հետևանքներ

• Երկու ֆունկցիաների Յակոբյան կոմպոզիցիան դա անհատական ֆունկցիաների յակոբյանների արտադրայալն է․

  $\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\right\vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert .$

Բարդ ֆունկցիայի մասնավոր ածանցյալի համար ճշմարիտ է․

• ${\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_{0})}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots m$։

Օրինակ

Դիցուք տրված է երեք փոփոխականներով $h(x,y,z)=\sin x+\cos ^{2}(x+y+z)-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}\;$ ֆունկցիան և պահանջվում է գտնել նրա մասնական ածանցյալը ըստ $x$ փոփոխականի։ $h\;$ ֆունկցիան կարող է գրվել որպես $h(x,y,z)=f(u,v,w)$, որտեղ

$f(u,v,w)=u+v^{2}+w,\;$

$u(x,y,z)=\sin x,\;$

$v(x,y,z)=\cos(x+y+z),\;$

$w(x,y,z)=-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}.\;$

Ապա $h$ ֆունկցիայի մասնական ածանցյալը ըստ $x$ փոփոխականի կունենա հետևյալ տեսքը․

${\frac {\partial h}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial w}}{\frac {\partial w}{\partial x}}$

Հաշվենք ածանցյալները․

${\frac {\partial f}{\partial u}}=1,\;{\frac {\partial f}{\partial v}}=2v,\;{\frac {\partial f}{\partial w}}=1,\;{\frac {\partial u}{\partial x}}=\cos x,\;{\frac {\partial v}{\partial x}}=-\sin(x+y+z),\;{\frac {\partial w}{\partial x}}=-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.\;$

Տեղադրելով գտնված ածանցյալները․

${\frac {\partial h}{\partial x}}=1\cdot \cos x\quad +\quad 2\cdot {\Bigl (}\cos(x+y+z){\Bigl )}\cdot {\Bigl (}-\sin(x+y+z){\Bigl )}\quad +\quad 1\cdot \left(-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}\right)$

Արդյունքում

${\frac {\partial h}{\partial x}}=\cos x-\sin(2x+2y+2z)-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.$

Գրականություն

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Գ․Մ․Ֆիխտենգոլց; Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվ,6-րդ հրատ․, — Մ.: Նաուկա, 1966. — էջ 680։