LU-մասնատում

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

LU-մասնատում (LU-դեկոմպոզիցիա, LU-ֆակտորիզացիա) - մատրիցի ներկայացումը երկու մատրիցների արտադրյալի տեսքով՝ , որտեղ -ը ներքևի եռանկյուն մատրիցն է, իսկ -ն՝ վերևի եռանկյուն մատրիցը։

LU-մասնատում օգտագործվում է գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման, մատրիցի հակադարձման և որոշիչի հաշվման համար։ LU-մասնատումը գոյություն ունի միայն այն ժամանակ, երբ մատրիցն հակադարձելի է, իսկ մատրիցի բոլոր գլխավոր անկյունագծային մինորները ոչհատուկ են]][1]։

Կիրառությունը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գծային հավասարումների համակարգի լուծում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

(համակարգի գործակիցների մատրից) մատրիցի ստացված LU-մասնատումը գծային հավասարումների համակարգի ընտանիքի լուծման համար կարող է օգտագործվել աջ մասի տարբեր վեկտորներով՝

։

Եթե հայտնի է մատրիցի LU-մասնատումը՝ , սկզբնական համակարգը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝

։

Այս համակարգը կարող է լուծվել երկու քայլով։

Առաջին քայլում լուծվում է հետևյալ համակարգը՝

։

Քանի որ -ն ներքևի եռանկյուն մատրիցն է, այս համակարգը լուծվում է անմիջականորեն ուղիղ տեղադրմամբ։

Երկրորդ քայլում լուծվում է հետևյալ համակարգը՝

։

Քանի որ -ն վերևի եռանկյուն մատրիցն է, այս համակարգը լուծվում է անմիջականորեն հակադարձ տեղադրմամբ։

Մատրիցի ձևափոխում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

մատրիցի ձևափոխումը համարժեք է հետևյալ հավասարումների համակարգի լուծմանը՝

,

որտեղ -ը անհայտ մատրից է, իսկ -ն՝ միավոր մատրից։ Այս համակարգի լուծումը հանդիսանում է հակադարձ մատրիցը։

Համակարգը կարելի է լուծել վերևում նկարագրված LU-մասնատման մեթոդով։

մատրիցի որոշիչի հաշվում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ունենալով մատրիցի LU-մասնատումը՝

,

կարելի է անմիջականորեն հաշվել նրա որոշիչը՝

,

որտեղ մատրիցի չափն է, -ն և և մատրիցների անկյունագծերի էլեմենտներն են։

Բանաձևի դուրսբերումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ելնելով կիրառման ոլորտից LU-մասնատումը կարող է կիրառվել միայն ոչհատուկ մատրիցի համար, որի համար մենք հետագայում կընդունենք, որ մատրիցն ոչհատուկ է։

Քանի որ մատրիցի և առաջին տողում, և մատրիցի առաջին սյունում բոլոր էլեմենտները, հնարավոր է բացի առաջինից, հավասար են զրոյի, ունենք՝

։

Եթե , ապա կամ ։ Առաջին դեպքում մատրիցի առաջին տողը ամբողջությամբ կազմված է զրոներից, իսկ երկրորդ դեպքում՝ մատրիցի առաջին սյունը։ Հետևաբար, և մատրիցները ոչհատուկ են, իսկ դա նշանակում է -ն նույնպես ոչհատուկ է, որը բերում է հակասության։ Այսպիսով, եթե , ապա ոչհատուկ մատրիցը չունի LU-մասնատում։

Դիցուկ , այդ դեպքում և ։ Քանի որ -ը և -ն որոշված են -ն հաստատունի վրա բազմապատկման ճշտությամբ և նույն հաստատունի վրա -ի բաժանման ճշտությամբ, մենք կարող ենք պահանջել, որ ։ Այդ դեպքում ։

Բաժանենք մատրիցը վանդակների՝

,

որտեղ ունի համապատասխանաբար , , չափեր։

Նույն ձևով բաժանենք վանդակների և մատրիցները՝

հավասարումը կընդունի այսպիսի տեսք՝

:

Լուծելով հավասարումների համակարգը , , , նկատմամբ, կստանանք՝

:

Վերջնականապես կունենանք՝

:

Այսպիսով, մենք չափի մատրիցն LU-մասնատմամբ բերեցինք > չափի մատրիցի LU-մասնատման։

արտահայտությունը կոչվում է էլեմենտի Շուրի լրացում մատրիցում[1]։

Ալգորիթմ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

LU-մասնատման հաշվարկի ալգորիթմներից մեկը բերենք ներքևում։

Կօգտագործենք հետևյալ նշանակումները մատրիցի էլեմենտների համար՝ , , , ընդ որում մատրիցների անկյունագծային էլեմենտներն են՝ : , ։ Այդ դեպքում, եթե հայտնի է LU-մասնատման մատրիցն, նրա որոշիչը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով՝

:

և մատրիցները կարելի է գտնել հետևյալ ձևով (քայլերի կատարման հերթականությունը պետք է պահպանել խստորեն, քանի որ հաջորդ էլեմենտները գտնվում են նախորդների օգտագործմամբ)՝

-ի համար՝

Արդյունքում մենք կստանանք և մատրիցները։

Տվյալ մեթոդի ծրագրային իրականացման ժամանակ (Գաուսի կոմպակտ սխեմա) և մատրիցների ներկայացման համար կարելի է բավարարվել միայն մեկ մասիվով, որում և մատրիցները համակցվում են։ Այսպես, չափի մատրիցի համար՝

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. 1,0 1,1 Ե․Ե․ Տիրտիշնիկով, մատրիցին անալիզ և գծային հանրահաշիվ, 2004-2005