Գծային հավասարումների համակարգ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Երեք անհայտով գծային հավասարումների համակարգը որոշում է երեք հարթությունների միացությունը։Նրանց հատման կետը համակարգի լուծումն է հանդիսանում։

Գծային հավասարումների համակարգ, հավասարումների համակարգ է, որոնցից յուրաքանչյուրը իրենից ներկայացնում է առաջին աստիճանի գծային հանրահաշվական հավասարում։

Դասական տարբերակում բոլոր գործակիցները, ազատ անդամները և անհայտները համարվում են բնական թվեր, բայց բոլոր ձևերն ու արդյունքները պահպանվում են ցանկացած դաշտերի համար օրինակ (կոմպլեքս թվերի)։

Գծային համակարգերի լուծումը գծային հանրահաշվի դասական խնդիրներից մեկն է, որը հիմնականում որոշում է նրա օբյեկտներն ու մեթոդները։ Գծային համակարգերի լուծումը կարևոր դեր է խաղում շատ թեքումային ուղղություններում, այդ թվում գծային ծրագրավորման մեջ։

Սահմանումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր տեսքը․

Որտեղ՝  — հավասարումների քանակն է,  —փոփոխականների քանակը,  — անհայտներն են, որ պիտի որոշել, գործակիցներն են, ազատ անդամները։ Գծային հավասարումների համակարգի գործակիցների () ինդեկսները կազմվում են հետևյալ պայմանով՝ առաջինը () հավասարման համարն է, երկրորդը () — փոփոխականի համարն է, որից առաջ այն գտնվում է[1].

Համակարգը կոչվում են համասեռ, եթե նրա ազատ անդամները հավասար են զրոյի (), այլապես — ոչ համասեռ։

Գծային հավասարումների համակարգը կոչվում է քառակուսային , եթե հավասարումների քանակը հավասար է անհայտների քանակին (). Համակարգը, որի անհայտների թիվը ավելին է քան հավասարումներինը, կոչվում է ուղղանկյուն համակարգ։

Համակարգի լուծումների թվերի բազմությունը, որը հանդիսանում է համակարգի լուծում,փոփոխականներում տեղադրելու դեպքում հավասարումը վերածում է նույնության։

Համակարգը կոչվում է միասնական, եթե նա ունի գոնե մեկ լուծում, և ոչ միասնական, եթե նա չունի ոչ մի լուծում։

Մատրիցային ձև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Համակարգը կարելի է ներկայացնել մատրիցի տեսքով․

կամ

.

Այստեղ  -ն համակարգի մատրիցն է,  -ը անհայտների սյունակը, իսկ -ն ազատ անդամների սյունակն է։ Եթե մատրիցին աջից ավելացնել ազատ անդամների սյունակը, ապա ստացված մատրիցը կոչվում է ընդլայնված։

Գծային հավասարումների համարժեք համակարգեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

հավասարումների համակարգերը կոչվում են համարժեք, եթե նրանց լուծումները համընկնում են։ Լուծում չունեցող համակարգերը նույնպես համարժեք են։

Համակարգին համարժեք համակարգ կարելի է ստանալ, տրված համակարգի հավասարումներից մեկը բազմապատկենք կամ բաժանենք նույն թվի վրա։

տեսքի հավասարումների համակարգը համարժեք է ։

x − 2y = −1, 3x + 5y = 8, և 4x + 3y = 7 գծային հացասարումներ են, իսկ (1,1) կետը նրանց լուծումն է։

Լուծման ձևերը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ուղղակի մեթոդները տալիս են այնպիսի ալգորիթմ, որի օգնությամբ կարելի է գտնել համակարգերի ճշգրիտ լուծումները։

Որոշ ուղղակի մեթոդներ․

Կախված մոտեցումներից, մեթոդները բաժանվում են մի քանի տեսակի․

  • Մասնատման ձևով:
  • Զանազանման ձևով:
  • Պրոյեկցիոն ձևով :

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с.
  2. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2009. — С. 80—84. — 840 с. — ISBN 9785060061239

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]