Վեկտոր

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
(Վերահղված է Վեկտոր (մաթեմատիկա)ից)
վեկտոր

Վեկտոր (լատ.՝ vector), պարզագույն դեպքում մաթեմատիկական օբյեկտ, որը բնութագրվում է մեծությամբ և ուղղությամբ: Օրինակ, երկրաչափությունում և բնական գիտություններում վեկտորը էվկլիդյան տարածությունում կամ հարթության վրա ուղղորդված հատված է[1]:

Օրինակներ. շառավիղ-վեկտոր, արագություն, ուժի մոմենտ: Եթե տարածությունում տրված է կոորդինատային համակարգ, ապա վեկտորը միանշանակորեն տրվում է իր կոորդինատնեով: Այդ պատճառով, մաթեմատիկայում, ինֆորմատիկայում և մյուս գիտություններում թվերի կարգավորված խումբը նույնպես հաճախ անվանում են վեկտոր: Ավելի ընդհանուր իմաստով վեկտորը մաթեմատիկայում դիտարկվում է որպես որևէ վեկտորական (գծային) տարածության տարր

Համարվում է գծային հանրահաշվի հիմնական հասկացություններից մեկը: Առավել ընդհանուր սահմանման դեպքում որպես վեկտորներ են դիտարկվում գծային հանրահաշվում ուսումնասիրվող բոլոր օբյեկտները, այդ թվում՝ մատրիցները:

Նշանակումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

տարրերի (բաղադրիչների) խմբով ներկայացված վեկտորը նշանակվում է հետևյալ եղանակներով. :

:

Որպեսզի ընդգծվի, որ տրված է վեկտոր (այլ ոչ սկալյար), օգտագործում են գծիկ վերևից, սլաք վերևից, թավ կամ գոթական տառատեսակ.

Վեկտորների գումարումը գրեթե միշտ նշանակվում է «պլյուս» նշանով.

:

Թվով բազմապատկումը գրվում է պարզապես, առանց հատուկ նշանի, օրինակ.

,

ընդ որում այդ դեպքում թիվը գրվում է ձախից.

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ինտուիտիվ կերպով, վեկտորն ըմբռնվում է ինչպես մեծություն և ուղղություն ունեցող օբյեկտ: Վեկտորական հաշվի սաղմերն ի հայտ են եկել Գաուսի կոմպլեքս թվերի երկրաչափական մոդելի հետ, 1831 թվականին: Վեկտորների հետ գործողությունները հրատարակել է Ուիլյամ Համիլտոնը, ինչպես իր քվատերնիոնյան հաշվի մաս (վեկտոր են կազմել քվատերնիոնի կեղծ բաղադրիչները): Համիլտոնն է առաջարկել վեկտոր եզրույթը (լատ.՝ vector, կրող) և նկարագրել է վեկտորական հաշվի որոշ գործողություններ: Այդ ձևականությունն օգտագործեց Ջեյմս Մաքսվելն իր աշխատություններում էլեկտրամագնիսականության վերաբերյալ, գիտնականների ուշադրությունը հրավիրելով նոր հաշվի վրա: Շուտով լույս տեսան Գիբսի «Վեկտորական հաշվի տարրեր»ը (1880-ական թվականներ), ապա՝ Հեվիսայդը (1903) վեկտորական հաշվին տվեց ժամանակակից տեսքը:

Երկրաչափությունում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկրաչափությունում երկրաչափության անվան տակ հասկանում են ուղղորդված հատվածներ: Այս մեկնաբանությունը հաճախ են օգտագործում համակարգչային գրաֆիկայում:Վեկտորների օգնությամբ կարելի է գտնել տարբեր պատկերների մակերեսներ, օրինակ, եռանկյունների, զուգահեռագծերի, ինչպես նաև մարմինների ծավալներ. քառանիստի և զուգահեռանիստի: Երբեմն վեկտորի հետ նույնացվում է ուղղությունը:

Վեկտորը երկրաչափությունում համադրվում է տեղափոխության հետ (զուգահեռ տեղափոխության), որը պարզաբանում է նրա նավանման ծագումը. (լատ.՝ vector, կրող): Իրոք, ցանկացած ուղղորդված հատված միանշանակորեն որոշում է հարթության կամ տարածության ինչ-որ զուգահեռ տեղափոխություն, և հակառակը, զուգահեռ տեղափոխությունը միանշանակորեն որոշում է միակ ուղղորդված վեկտորը միանշանակորեն՝ եթե միևնույն ուղղվածության և երկարության բոլոր ուղղորդված հատվածները համարենք հավասար, այսինքն, դրանք դիտարկենք որպես ազատ վեկտորներ:

Վեկտորի մեկնաբանությունը որպես տեղափոխություն թույլատրում է ներմուծել վեկտորների գումարման գործողությունը որպես երկու (կամ մի քանի) տեղափոխությունների կոմպոզիցիա (հաջորդական կիրառման), սա վերաբերում է նաև վեկտորի բազմապատկմանը թվով:

Գծային հանրահաշվում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գծային հանրահաշվում վեկտոր է կոչվում գծային տարածության տարրը, որը համապատասխանում է ներքևում բերված ընդհանուր սահմանմանը: Վեկտորները կարող են տարբեր բնույթ ունենալ. ուղղորդված հատվածներ, մատրիցներ, թվեր, ֆունկցիաներ և այլն, սակայն նույն չափ ունեցող բոլոր գծային տարածությունները իզոմորֆ են: Վեկտորի այս հասկացությունից աառավել հաճախ օգտվում են գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր լուծելիս, ինչպես նաև գծային օպերատորների հետ աշխատելիս:

Հաճախ այս սահմանումն ընդլայնում են, սահմանելով նորման և սկալյար արտադրյալը, որից հետո օգտագործում են նորմավորված և էվկլիդյան տարածությունների հետ, սկալյար արտադրյալի հետ են կապում վեկտորների կազմած անկյան հասկացությունը, իսկ նորմայի հետ՝ վեկտորի երկարության հասկացությունը:

Շատ մաթեմատիկական օբյեկտներ (օրինակ, մատրիցները, տենզորները և այլն), բավարարում են վեկտորական տարածության աքսիոմներին, այսինքն՝ հանրահաշվի տեսակետից հանդիսանում են վեկտորներ:

Ֆունկցիոնալ անալիզում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆունկցիոնալ անալիզում ուսումնասիրվում են ֆունկցիոնալ տարածությունները՝ անվերջ գծային տարածությունները:Դրանց տարրեր կարող են հանդիսանալ ֆունկցիաները: Այսպիսի ներկայացման հիման վրա կառուցված է Ֆուրյեի շարքերի տեսությունը: Գծային հանրահաշվին համանմանորեն ներմուծում են նորման, սկալյար արտադրյալը, կամ մետրիկան ֆունկցիաների տարածության վրա: Ֆունկցիայի՝ որպես հիլբերտյան տարածության տարրի, հասկացության վրա, հիմնվում են դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման որոշ մեթոդներ, օրինակ վերջավոր տարրերի մեթոդը:

Ընդհանուր սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վեկտորի առավել ընդհանուր սահմանումը տրվում է ընդհանուր հանրահաշվի միջոցներով:

Ենթադրենք — ը որևէ դաշտ է ադիտիվ գործողությամբ, մուլտիպլիկատիվ գործողությամբ, ադիտիվ միավորով և մուլտիպլիկատիվ միավորով: — ն որևէ աբելյան խումբ է միավորով: Եթե գոյություն ունի այնպիսի գործողություն, որ ցանկացած - ի և ցանկացած - ի համար տեղի ունեն

  1. ,
  2. ,
  3. ,

հարաբերակցությունները, այդ դեպքում - ն կոչվում է վեկտորական տարածություն դաշտի վրա (կամ գծային տարածություն), - ի տարրերը կոչվում են վեկտորներ, - ի տարրերը՝ սկալյարներ, իսկ նշված գործողությունը՝ վեկտորի բազմապատկումը սկալյարով:

Վեկտորը որպես հաջորդականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վեկտոր - համասեռ տարրերի հաջորդականություն: Սա առավել ընդհանուր սահմանումն է այն առումով, որ ընդհանրապես կարող են տրված չլինել վեկտորական գործողություններ, դրանք կարող են ավելի քիչ լինել կամ դրանք կարող են չբավարարել գծային տարածության աքսիոմներին: Հենց այդ տեսքով է վեկտորը հասկացվում ծրագրավորման մեջ, որտեղ, որպես կանոն, նշանակվում է որպես անուն-իդենտիֆիկատոր՝ քառակուսի փակագծերով (օրինակ, object[]):

Հատկությունների թվարկումը մոդելավորում է թվերի տեսությունում օբյեկտի դասակարգի և վիճակի սահմանումը: Վեկտորի տարրերի տեսակները որոշում են օբյեկտի դասակարգը, իսկ տարրերի արժեքները՝ նրա վիճակը: Ի դեպ, հավանական է, որ եզրույթի օգտագործումն արդեն դուրս է գալիս հանրահաշվում, կամ մաթեմատիկայում ընդհանրապես, ընդունվածի շրջանակներից:

Ֆիզիկական մեկնաբանություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վեկտորը, որպես միաժամանակ մեծություն (մոդուլ) և ուղղություն ունեցող կառուցվածք, ֆիզիկայում դիտարկվում է որպես արագության, ուժի և նրանց հետ կապված կինեմատիկական կամ դինամիկական մեծությունների մաթեմատիկական մոդել: Շատ ֆիզիկական դաշտերի (օրինակ, էլեկտրամագնիսական դաշտի կամ հեղուկի արագության դաշտի) մաթեմատիկական մոդելներ են համարվում վեկտորական դաշտերը:

Բազմաչափ և անվերջ աբստրակտ վեկտորական տարածությունները օգտագործվում են լագրանժյան և համիլտոնյան ֆորմալիզմում մեխանիկական և այլ դինամիկական համակարգերի նկատմամբ, ինչպես նաև քվանտային մեխանիկայում:

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах.
  • Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией

Հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Вектор // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1.