Պատկերի մակերես

Հարթ պատկերի մակերես, ամբողջությամբ մեկ հարթությանը պատկանող պատկերի ադիտիվ թվային բնութագրիչ։ Պարզագույն դեպքում, երբ պատկերը հնարավոր է բաժանել սահմանափակ թվով միավոր քառակուսիների, ապա մակերեսը հավասար է այդ քառակուսիների քանակին։

Սահմանման մասին[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մակերեսի ու ծավալի հասկացույթունների մասին ֆորմալ պատկերացումներ կարելի գտնել Ժորդանի հոդվածում, այստեղ կքննարկենք միայն սահմանումները մեկնաբանություններով։

Մակերեսը իարկան գնահատման ֆունկցիա է, որը որոշվում է Էվկլիդեսյան հարթության որոշ պատկերների համար ու բավարարում է հետևյալ չորս պայմաններին.

Դրականություն, մակերեսը ոչ բացասական է;
Կանոնավորում, միավոր կողմով քառակուսու մակերեսը 1 է;
Նույնատիպություն, նույնատիպ, հավասար պատկերների մակերեսները հավասար են,
Ադիտիվություն, երկու մարմինների առանց ընդհանուր ներքին կետերի միավորումից առաջացած պատկերի մակերեսը հավասար է այդ պատկերների առանձին մակերեսների գումարին։

Առնչվող սահմանումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկու պատկերներ կոչվում են հավասարամեծ, եթե նրանց մակերեսները հավասար են։

Մեկնաբանություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գոյություն ունեն մաթեմատիկորեն խիստ, բայց ոչ բոլոր պատկերների համար հնարավոր մակերեսի հաշվման ձևեր։ Տարբեր պատկերների համար գոյություն ունեն տարբեր մակերեսային ֆունկցիաներ, որոնք բավարարում են աքսիոմաներին։

Որոշ պատկերների մակերեսներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տարբեր պատկերների մակերեսների որոշման բանաձևեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պատկեր	Բանաձև	Բացատրություն
Կանոնավոր եռանկյուն	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!$	$a$ ՝ եռանկյան կողմի երկարություն
Եռանկյուն	${\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\,\!$	Հերոնի բանաձև։ $p$ ՝ կիսապարագիծ, $a$ , $b$ և $c$ ՝ եռանկյան կողմերի երկարություններ
Եռանկյուն	${\tfrac {1}{2}}ab\sin(\alpha )\,\!$	$a$ և $b$ ՝ եռանկյան երկու կողմեր, իսկ $\alpha$ ՝ նրանց կազմած անկյունը
Եռանկյուն	${\tfrac {1}{2}}bh\,\!$	$b$ և $h$ ՝ եռանկյան կողմն ու այդ կողմին տարված բարձրությունը
Քառակուսի	$a^{2}\,\!$	$a$ ՝ քառակուսու կողմի երկարություն
Ուղղանկյուն	$ab\,\!$	$a$ և $b$ ՝ ուղղանկյան կողմերի երկարություններ
Շեղանկյուն	$a^{2}\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc$	$a$ ՝ շեղանկյան կողմ, $\alpha$ ՝ ներքին անկյուն, $b,c$ ՝ անկյունագծեր
Զուգահեռագիծ	$bh\,\!$	$b$ ՝ զուգահեռագծի կողմերից մեկի երկարություն, $h$ ՝ այդ կողմին տարված բարձրություն
Սեղան	${\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!$	$a$ և $b$ ՝ զուգահեռ կողմերի՝ հիմքերի երկարություններ, $h$ ՝ նրանց միջև գեռավորությունը (բարձրություն)։
Կանոնավոր վեցանկյուն	${\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!$	$a$ ՝ վեցանկյան կողմի երկարություն
Կանոնավոր ութանկյուն	$2\left(1+{\sqrt {2}}\right)a^{2}\,\!$	$a$ ՝ ութանկյան կողմի երկարություն
Կանոնավոր բազմանկյուն	${\frac {na^{2}}{4\cdot \tan(\pi /n)}}\,\!$	$a$ ՝ բազմանկյան կողմի երկարություն, $n$ ՝ բազմանկյան կողմերի քանակ
Կանոնավոր բազմանկյուն	${\tfrac {1}{2}}ap\,\!$	$a$ է բազմանկյանը ներգծված շրջանագծի շառավիղ, $p$ ՝ բազմանկյան պարագիծ
Շրջան	$\pi r^{2}$ կամ ${\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!$	$r$ ՝ շրջանագծի շառավիղ, а $d$ ՝ տրամագիծ
Շրջանային սեկտոր	${\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta \,\!$	$r$ և $\theta$ ՝ համապատասխանաբար շրջանագծի շառավիղն ու սեկտորի անկյունը ռադիաններով
Էլիպս	$\pi ab\,\!$	$a$ և $b$ ՝ էլիպսի մեծ ու փոքր կիսաառանցքներ
Գլանի մակերևույթ	$2\pi r(r+h)\,\!$	$r$ և $h$ ՝ համապատասխանաբար գլանի շառավիղն ու բարձրությունը
Գլանի կողմնային մակերևույթ	$2\pi rh\,\!$	$r$ և $h$ ՝ համապատասխանաբար գլանի շառավիղն ու բարձրությունը
Կոնի մակերևույթ	$\pi r(r+l)\,\!$	$r$ և $l$ ՝ համապատասխանաբար շառավիղն ու ծնորդը
Կոնի կողմնային մակերևույթ	$\pi rl\,\!$	$r$ և $l$ ՝ համապատասխանաբար շառավիղն ու ծնորդ
Գնդի մակերևույթ	$4\pi r^{2}\ {\text{,}}\ \pi d^{2}\,\!$	$r$ և $d$ ՝ համապատասխանաբար շառավիղն ու տրամագիծը
Էլիպսոիդի մակերևույթ		Տե՛ս հեդվածը

Եռանկյան մակերեսը հավասար է եռանկյան կողմի ու այդ կողմին տարված բարձրության արտադրյալի կեսին.
։ $S={\frac {1}{2}}ah$
Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է կից կողմերի արտադրյալին.
։ $S=ab$
Կամայական ABCD քառանկյան մակերեսը հավասար է անկյունագծերի ու նրանց կազմած անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին՝
։ $S_{ABCD}={\frac {1}{2}}AC\cdot BD\cdot \sin \beta$ ,

որտեղ

\beta

՝ անկյունագշերի կազմած անկյուն

ABCD շեղանկյան մակերեսը հավասար է անկյունագծերի արտադրյալի կեսին.
։ $S_{ABCD}={\frac {1}{2}}AC\cdot BD$
Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է կողմի ու այդ կողմին տարված բարձրության արտադրյալին.
։ $S=ah$
Սեղանի մակերեսը հավասար է հիմքերի կիսագումարի ու բարձրության արտադրյալին.
։ $S={\frac {a+b}{2}}\cdot h$