Պատկերի մակերես

Հարթ պատկերի մակերես, ամբողջությամբ մեկ հարթությանը պատկանող պատկերի ադիտիվ թվային բնութագրիչ։ Պարզագույն դեպքում, երբ պատկերը հնարավոր է բաժանել սահմանափակ թվով միավոր քառակուսիների, ապա մակերեսը հավասար է այդ քառակուսիների քանակին։

Սահմանման մասին

Մակերեսի ու ծավալի հասկացույթունների մասին ֆորմալ պատկերացումներ կարելի գտնել Ժորդանի հոդվածում, այստեղ կքննարկենք միայն սահմանումները մեկնաբանություններով։

Մակերեսը իարկան գնահատման ֆունկցիա է, որը որոշվում է Էվկլիդեսյան հարթության որոշ պատկերների համար ու բավարարում է հետևյալ չորս պայմաններին.

Դրականություն, մակերեսը ոչ բացասական է;
Կանոնավորում, միավոր կողմով քառակուսու մակերեսը 1 է;
Նույնատիպություն, նույնատիպ, հավասար պատկերների մակերեսները հավասար են,
Ադիտիվություն, երկու մարմինների առանց ընդհանուր ներքին կետերի միավորումից առաջացած պատկերի մակերեսը հավասար է այդ պատկերների առանձին մակերեսների գումարին։

Առնչվող սահմանումներ

Երկու պատկերներ կոչվում են հավասարամեծ, եթե նրանց մակերեսները հավասար են։

Մեկնաբանություններ

Գոյություն ունեն մաթեմատիկորեն խիստ, բայց ոչ բոլոր պատկերների համար հնարավոր մակերեսի հաշվման ձևեր։ Տարբեր պատկերների համար գոյություն ունեն տարբեր մակերեսային ֆունկցիաներ, որոնք բավարարում են աքսիոմաներին։

Որոշ պատկերների մակերեսներ

Տարբեր պատկերների մակերեսների որոշման բանաձևեր

Պատկեր	Բանաձև	Բացատրություն
Կանոնավոր եռանկյուն	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!$	$a$ ՝ եռանկյան կողմի երկարություն
Եռանկյուն	${\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\,\!$	Հերոնի բանաձև։ $p$ ՝ կիսապարագիծ, $a$ , $b$ և $c$ ՝ եռանկյան կողմերի երկարություններ
Եռանկյուն	${\tfrac {1}{2}}ab\sin(\alpha )\,\!$	$a$ և $b$ ՝ եռանկյան երկու կողմեր, իսկ $\alpha$ ՝ նրանց կազմած անկյունը
Եռանկյուն	${\tfrac {1}{2}}bh\,\!$	$b$ և $h$ ՝ եռանկյան կողմն ու այդ կողմին տարված բարձրությունը
Քառակուսի	$a^{2}\,\!$	$a$ ՝ քառակուսու կողմի երկարություն
Ուղղանկյուն	$ab\,\!$	$a$ և $b$ ՝ ուղղանկյան կողմերի երկարություններ
Շեղանկյուն	$a^{2}\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc$	$a$ ՝ շեղանկյան կողմ, $\alpha$ ՝ ներքին անկյուն, $b,c$ ՝ անկյունագծեր
Զուգահեռագիծ	$bh\,\!$	$b$ ՝ զուգահեռագծի կողմերից մեկի երկարություն, $h$ ՝ այդ կողմին տարված բարձրություն
Սեղան	${\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!$	$a$ և $b$ ՝ զուգահեռ կողմերի՝ հիմքերի երկարություններ, $h$ ՝ նրանց միջև գեռավորությունը (բարձրություն)։
Կանոնավոր վեցանկյուն	${\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!$	$a$ ՝ վեցանկյան կողմի երկարություն
Կանոնավոր ութանկյուն	$2\left(1+{\sqrt {2}}\right)a^{2}\,\!$	$a$ ՝ ութանկյան կողմի երկարություն
Կանոնավոր բազմանկյուն	${\frac {na^{2}}{4\cdot \tan(\pi /n)}}\,\!$	$a$ ՝ բազմանկյան կողմի երկարություն, $n$ ՝ բազմանկյան կողմերի քանակ
Կանոնավոր բազմանկյուն	${\tfrac {1}{2}}ap\,\!$	$a$ է բազմանկյանը ներգծված շրջանագծի շառավիղ, $p$ ՝ բազմանկյան պարագիծ
Շրջան	$\pi r^{2}$ կամ ${\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!$	$r$ ՝ շրջանագծի շառավիղ, а $d$ ՝ տրամագիծ
Շրջանային սեկտոր	${\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta \,\!$	$r$ և $\theta$ ՝ համապատասխանաբար շրջանագծի շառավիղն ու սեկտորի անկյունը ռադիաններով
Էլիպս	$\pi ab\,\!$	$a$ և $b$ ՝ էլիպսի մեծ ու փոքր կիսաառանցքներ
Գլանի մակերևույթ	$2\pi r(r+h)\,\!$	$r$ և $h$ ՝ համապատասխանաբար գլանի շառավիղն ու բարձրությունը
Գլանի կողմնային մակերևույթ	$2\pi rh\,\!$	$r$ և $h$ ՝ համապատասխանաբար գլանի շառավիղն ու բարձրությունը
Կոնի մակերևույթ	$\pi r(r+l)\,\!$	$r$ և $l$ ՝ համապատասխանաբար շառավիղն ու ծնորդը
Կոնի կողմնային մակերևույթ	$\pi rl\,\!$	$r$ և $l$ ՝ համապատասխանաբար շառավիղն ու ծնորդ
Գնդի մակերևույթ	$4\pi r^{2}\ {\text{,}}\ \pi d^{2}\,\!$	$r$ և $d$ ՝ համապատասխանաբար շառավիղն ու տրամագիծը
Էլիպսոիդի մակերևույթ		Տե՛ս հեդվածը

Եռանկյան մակերեսը հավասար է եռանկյան կողմի ու այդ կողմին տարված բարձրության արտադրյալի կեսին.
։ $S={\frac {1}{2}}ah$
Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է կից կողմերի արտադրյալին.
։ $S=ab$
Կամայական ABCD քառանկյան մակերեսը հավասար է անկյունագծերի ու նրանց կազմած անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին՝
։ $S_{ABCD}={\frac {1}{2}}AC\cdot BD\cdot \sin \beta$ ,

որտեղ

\beta

՝ անկյունագշերի կազմած անկյուն

ABCD շեղանկյան մակերեսը հավասար է անկյունագծերի արտադրյալի կեսին.
։ $S_{ABCD}={\frac {1}{2}}AC\cdot BD$
Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է կողմի ու այդ կողմին տարված բարձրության արտադրյալին.
։ $S=ah$
Սեղանի մակերեսը հավասար է հիմքերի կիսագումարի ու բարձրության արտադրյալին.
։ $S={\frac {a+b}{2}}\cdot h$