Էլիպս

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Disambig.svg Անվան այլ կիրառումների համար տես՝ Էլիպս (այլ կիրառումներ)
Ellipse Properties.svg

Էլիպս երկրաչափական պատկեր է։ Էլիպս է կոչվում հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների գումարը տրված երկու
և կետերից հաստատուն է և մեծ է հատվածի երկարությունից։ Այդ հաստատունը կնշանակենք 2a-ով։ -ը և -ը կոչվում են էլիպսի ֆոկուսներ, իսկ հատվածի երկարությունը կնշանակենք 2c-ով, և կանվանենք ֆոկուսային հեռավորություն։

Էլիպսի հավասարումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգն ընտրենք այնպես, որ Ox առանցքն անցնի և կետերով, իսկ Oy առանցքը` հատվածի միջնակետով ։ Այս դեպքում, ըստ սահմանման, էլիպսի ցանկացած P(x, y) կետի համար`

P + P = 2a

Հաշվի առնելով, որ կետի կոորդինատներն են (-c;0) , իսկ կետինը (c;0), երկու կետի հեռավորության բանաձևից ստանում ենք`

Սա էլ հենց հանդիսանում է էլիպսի հավասարումը ընտրված կոորդինատային համակարգում։ Փորձենք այն գրել կոմպակտ տեսքով։ Դրա համար երկրորդ գումարելին տեղափոխենք հավասարման աջ մաս և երկու կողմերը բարձրացնենք քառակուսի`

Պարզեցումներից հետո ստանում ենք`

Քանի որ , ապա > 0 ։ Նշանակենք , ուստի հետևաբար հավասարումը կընդունի հետևյալ տեսքը`

կամ

որը կոչվում է էլիպսի կանոնական հավասարում ։ Այստեղ 2a-ն և 2b-ն կոչում են էլիպսի համապատասխանաբար մեծ և փոքր առանցքների երկարություններ, իսկ կոորդինատների սկզբնակետը` քլիպսի կենտրոն ։ թիվը կոչվում է էլիպսի էքսցենտրիսիտետ ։ Կոորդինատային առանցքների հետ հատման կետերը կոչվում են էլիպսի գագաթներ ։

Դիտողություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նշենք, որ իրականում մենք ցույց տվեցինք, որ(1) հավասարմանը բավարարող ցանկացած M(x;y) բավարարում է նաև (2) հավասարմանը։ Կարելի է ցույց տալ, որ ճիշտ է նաև հակառակը, այսինքն (2)-ին բավարարող ցանկացած M(x;y) կետ բավարարում է նաև (1)-ին։ Օրինակ։ Գտնել հետևյալ հավասարումով տրված էլիպսի ֆոկուսների հեռավորությունը և էքսցենտրիսիտետը։

Լուծում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

հավասարման երկու մասը բաժանելով 5-ի` ստանում ենք

ուստի ; , = 001