Մասնակից:Flora Karapetyan/Ավազարկղ4

Եգիպտական կոտորակ, մաթեմատիկայում ${\frac {1}{n}}$ տեսքի մի քանի զույգ տարբեր կոտորակների գումար՝ (այսպես կոչված կոտորակների բաժիններ): Այլ կերպ ասած, գումարի յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչը հավասար է մեկ, իսկ հայտարարը իրենից ներկայացնում է որևէ բնական թիվ:

Օրինակ՝ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}$։

Եգիպտական ​​կոտորակը իրենից ներկայացնում է a/b տեսքի դրական ռացիոնալ թիվ. Օրինակ՝ վերը նշված եգիպտական ​​կոտորակը կարելի է գրել 43/48 կոտորակի տեսքով: Կարելի է ցույց տալ, որ յուրաքանչյուր դրական ռացիոնալ թիվ կարող է ներկայացվել որպես եգիպտական ​​կոտորակ (ընդհանուր առմամբ, անվերջ թվով՝ եղանակով): Գումարի այս տեսակը մաթեմատիկոսներն կամայական կոտորակներ գրելու համար օգտագործել են հին Եգիպտոսի ժամանակներից մինչև միջնադար: Ժամանակակից մաթեմատիկայում եգիպտական ​​կոտորակների փոխարեն օգտագործվում են պարզ և տասնորդական կոտորակները, բայց եգիպտական ​​կոտորակները շարունակում են ուսումնասիրվել թվերի տեսության և մաթեմատիկայի պատմության մեջ:

Պատմություն

Հին Եգիպտոս

Այս թեմայի վերաբերյալ լրացուցիչ տեղեկություններ ստանալու համար տե՛ս Եգիպտական թվային համակարգ, մաթեմատիկան Հին Եգիպտոսում:

Եգիպտական ​​կոտորակները ստեղծվել և օգտագործվել են Հին Եգիպտոսում: Եգիպտական ​​կոտորակների մասին ամենավաղ հայտնի հղումներից մեկը Ռինդայի մաթեմատիկական պապիրուսն է: Երեք հին տեքստեր, որոնցում նշվում է եգիպտական ​​կոտորակները,դրանք են՝ Եգիպտական ​​մաթեմատիկական կաշվե գլանաձև ձեռագիրը, Մոսկովյան մաթեմատիկական պապիրուսը և Ահմիմի փայտե ցուցանակը: Ռինդա պապիրուսը գրվել է դպիր Ահմեսի կողմից Երկրորդ Անցումային շրջանում. այն ներառում է եգիպտական ​​կոտորակների աղյուսակ՝ 2/n տեսքի ռացիոնալ թվերի համար, ինչպես նաև մաթեմատիկական 84 խնդիրներ՝ դրանց լուծումներն ու պատասխանները, որոնք գրված են եգիպտական ​​կոտորակների տեսքով:

Եգիպտացիները հիերոգլիֆ են դնում

(էռ, «[մեկ]» կամ ռէ, ռոտ) թվի վրա՝ սովորական նշագրման մեջ մեկ կոտորակ նշանակելու համար: Հանգունորեն հիերատիկական գրերով նրանք գծեր են գծել թիվը ներկայացնող տառի վրա: Օրինակ․

$={\frac {1}{3}}$

$={\frac {1}{10}}$

Նրանք ունեին նաև հատուկ նշաններ 1/2, 2/3 և 3/4 կոտորակների համար (վերջին երկու նշանները եգիպտացիների կողմից օգտագործված միակ ոչ-մեծ բաժիններն են), որոնք կարող են օգտագործվել նաև այլ կոտորակներ գրելու համար (ավելի մեծ, քան 1/2):

$={\frac {1}{2}}$

$={\frac {2}{3}}$

$={\frac {3}{4}}$

Եգիպտացիները նաև օգտագործել են Հորուսի աչքի բնույթի հիման վրա գրառման այլ ձևեր` 1/2<sup>k</sup> ձևի կոտորակների հատուկ հավաքածու ներկայացնելու համար (k = 1, 2,…, 6-ի համար), այսինքն` երկու տարրով ռացիոնալ թվեր: Այս կոտորակները օգտագործվել են եգիպտական ​​կոտորակների նշագրման այլ ձևերի հետ միասին` հեկատը (7 4.785 լիտր) բաժանելու համար, որը Հին Եգիպտոսում ծավալի հիմնականչափման միավորն է: Այս համակցված ռեկորդը օգտագործվել է նաև հացահատիկի, հացի և գարեջրի ծավալը չափելու համար: Եթե ​​գումարը Հորուսի աչքի մի մասի տեսքով գրանցելուց հետո մնացորդ մնաց՝ այն սովորական տեսքով գրանցվեց որպես ro- ի բազմապատիկ, ապա չափման միավորը` հավասար է 1/320 հեկատին:

օրինակ,այսպես՝

$={\frac {1}{331}}$

Այս դեպքում «ռոտ»՝ մեկ, դրվեց բոլոր հիերոգլիֆներից առաջ:

Նախնադար և միջնադար

Եգիպտական ​​կոտորակները շարունակում էին օգտագործվել Հին Հունաստանում և հետագայում ամբողջ աշխարհի մաթեմատիկոսների կողմից մինչև միջնադար, չնայած հին մաթեմատիկոսների կողմից իրենց արված դիտողություններին (օրինակ՝ Կլավդիոս Պտղոմեոսը խոսեց եգիպտական ​​կոտորակների օգտագործման անհարմարության մասին՝ համեմատած Բաբելոնյան համակարգի հետ): XIII դարի մաթեմատիկոս Ֆիբոնաչին իր «Liber Abaci» աշխատությունում կարևոր աշխատանք է իրականացրել եգիպտական ​​կոտորակների ուսումնասիրության վերաբերյալ:

«Liber Abaci»-ի հիմնական թեման տասնորդական և սովորական կոտորակների օգտագործմամբ հաշվարկներն են, որոնք ժամանակի ընթացքում փոխարինվել են եգիպտական ​​կոտորակների: Կոտորակների համար Ֆիբոնաչին օգտագործում էր բարդ գրելաձևերը, որը ներառում էր խառը արմատով թվերի նշում, և նշում որպես կոտորակների գումարներ. Եգիպտական ​​կոտորակները նույնպես հաճախ էին օգտագործվում: Գրքում տրված էին նաև սովորական կոտորակներից եգիպտականների վերածելու ալգորիթմներ:

Ֆիբոնաչիի ալգորիթմ

Եգիպտական ​​բաղադրիչների մեջ կամայական կոտորակը բաժանելու առաջին ընդհանուր մեթոդը, որը հասել է մեզ, նկարագրվել է Ֆիբոնաչիի կողմից XIII դարում: Ժամանակակից իմաստով, դրա ալգորիթմը կարելի է ամփոփել հետևյալ կերպ.

1. ${\frac {m}{n}}$ կոտորակը ներկայացվում է երկու կոտորակների տեսքով՝

${\frac {m}{n}}={\frac {1}{\lceil n/m\rceil }}+{\frac {(-n)\,{\bmod {\,}}m}{n\lceil n/m\rceil }}:$

Այստեղ $\lceil n/m\rceil$ n-ի գործակիցը բաժանվում է m-ի, կլորացված մինչև մոտակա ամբողջ թիվը, իսկ $(-n)\,{\bmod {\,}}m$ –ը n-ի (դրական) մնացորդը բաժանված է m-ի։

2. Աջ կողմի առաջին տերմինն արդեն ունի եգիպտական ​​կոտորակի ձև: Բանաձևից երևում է, որ երկրորդ տերմինի համարիչը ավելի փոքր է, քան սկզբնական կոտորակը: Նմանապես, օգտագործելով նույն բանաձևը, մենք ընդլայնում ենք երկրորդ գումարելին և շարունակում այս գործընթացը այնքան, քանի դեռ չենք ստանում գումարելի 1 համարիչով:

Ֆիբոնաչիի մեթոդը միշտ միանում է վերջավոր թվով քայլերից հետո և տալիս անհրաժեշտ բաժանումը: Օրինակ՝

${\frac {7}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{120}}$

Այնուամենայնիվ, այս մեթոդով ստացված բաժանումը չի կարող ամենակարճը լինել: Դրա անհաջող օգտագործման օրինակ է.

${\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763309}}+{\frac {1}{873960180913}}+{\frac {1}{1527612795642093418846225}},$

մինչդեռ ավելի լավ ալգորիթմները հանգեցնում են բաժանման:

${\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}:$

Ժամանակակից թվերի տեսություն

Ժամանակակից մաթեմատիկոսները շարունակում են ուսումնասիրել եգիպտական ​​կոտորակների հետ կապված մի շարք խնդիրներ:

• Անցյալ դարի վերջին հաշվարկներ տրվեցին եգիպտական կոտորակի առավելագույն հայտարարի և կամայական կոտորակի մեծագույն հայտարարի մասին: x/y կոտորակն ունի եգիպտական ​​կոտորակի ներկայացում առավելագույն հայտարարով` ոչ ավել քան

$O\left({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}}\right)$

(Tenenbaum & Yokota 1990) առավելագույնը գումարելիների քանակով

$O\left({\sqrt {\log y}}\right)$

(Vose 1985)

• Էրդյոշայի Գրեմի ենթադրությունը պնդում է, որ 1-ից մեծ ամբողջ թվերի գունավորման համար r> 0 գույներով գոյություն ունի ամբողջական թվերի S միատեսակ ենթախումբ, որի համար

$\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1:$

Այս ենթադրությունը ապացուցեց Էռնեստ Քուլը 2003 թվականին։

Բաց խնդիրներ

Եգիպտական կոտորակները մաթեմատիկական մի շարք դժվար և դեռ չլուծված խնդիրներ են առաջացնում:

• Էրդյոշայի, Շտրաուսի ենթադրությունը ասում է, որ ցանկացած n ≥ 2 ամբողջ թվերի համար կան x, y և z դրական ամբողջ թվեր, որոնց համար

${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}:$

Համակարգչային փորձերը ցույց են տալիս, որ վարկածը ճիշտ է բոլոր n ≤ 10¹⁴-ի համար, բայց դեռ ոչ մի ապացույց չի գտնվել: Այս ենթադրության ընդհանրացումը հաստատում է, որ յուրաքանչյուր դրական k-ի համար գոյություն ունի N այնպիսի, որ բոլոր n ≥ N- ի համար գոյություն ունի հետևյալ վերլուծումը․

${\frac {k}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}:$

Այս վարկածը պատկանում է Անջեյ Շինցելին:

Գրականություն

• Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
• Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
• Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
• Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
• Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181—191.
• Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269—282.
• Beeckmans, L. The splitting algorithm for Egyptian fractions (und) // Journal of Number Theory. — 1993. — Т. 43. — С. 173—185.
• Botts, Truman A chain reaction process in number theory (und) // Mathematics Magazine. — 1967. — С. 55—65.
• Breusch, R. A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512(անգլ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1954. — Т. 61. — С. 200—201.
• Bruins, Evert M. Platon et la tabl égyptienne 2/n (und) // Janus. — 1957. — Т. 46. — С. 253—263.
• Eves, Howard An Introduction to the History of Mathematics,. — Holt, Reinhard, and Winston, 1953.
• Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Dover, 1982.
• Graham, R. L. On finite sums of reciprocals of distinct nth powers(անգլ.) // Pacific Journal of Mathematics : journal. — 1964. — Т. 14. — № 1. — С. 85—92. Архивировано из первоисточника 22 Նոյեմբերի 2009. Արխիվացված է Նոյեմբեր 22, 2009 Wayback Machine-ի միջոցով:
• Hultsch, Friedrich Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung. — Leipzig: S. Hirzel, 1895.
• Knorr, Wilbur R. Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece(անգլ.) // Historia Mathematica^[en] : journal. — 1982. — Т. 9. — С. 133—171.
• Lüneburg, Heinz Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. — Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag, 1993.
• Martin, G. Dense Egyptian fractions(անգլ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1999. — Т. 351. — С. 3641—3657.
• Menninger, Karl W. Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. — MIT Press, 1969.
• Robins, Gay; Shute, Charles The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. — Dover, 1990.
• Stewart, B. M. Sums of distinct divisors (und) // American Journal of Mathematics. — 1954. — Т. 76. — С. 779—785.
• Stewart, I. The riddle of the vanishing camel(անգլ.) // Scientific American. — Springer Nature, 1992. — № June. — С. 122—124.
• Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics. — Dover, 1967. — С. 20—25.
• Takenouchi, T. On an indeterminate equation (und) // Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser.. — 1921. — Т. 3. — С. 78—92.
• Tenenbaum, G.; Yokota, H. Length and denominators of Egyptian fractions (und) // Journal of Number Theory. — 1990. — Т. 35. — С. 150—156.
• Vose, M. Egyptian fractions (und) // London Mathematical Society. — 1985. — Т. 17. — С. 21.
• Wagon, S. Mathematica in Action. — W.H. Freeman^[en], 1991. — С. 271—277.

Արտաքին հղումներ

• Дэвид Эппштейн. «Egyptian Fractions». Արխիվացված է օրիգինալից 2012-02-19-ին.
• «Egyptian fractions». Արխիվացված է օրիգինալից 2012-02-19-ին.
• «Mathematics in Egyptian Papyri». 2000. Արխիվացված է օրիգինալից 2012-02-19-ին.
• Weisstein, Eric W., "Egyptian Fraction", MathWorld.
• Браун, Кевин. «RMP 2/nth table». Արխիվացված է օրիգինալից 2006-10-16-ին. Վերցված է 2006-12-24-ին. {{cite web}}: Unknown parameter |deadlink= ignored (|url-status= suggested) (օգնություն)