Կոտորակ (մաթեմատիկա)

Կոտորակ, առանձնացված է 1/4 մասը

Կոտորակը թիվ է, որով ներկայացվում է ոչ ամբողջ թիվը: Կոտորակներն արտահայտում են որևէ թվի մեկ կամ մի քանի մասը և դասվում են ռացիոնալ թվերի շարքին: Գրելաձևում օգտագործվում է կոտորակի տեսքով (բաժանման գծով) և տասնորդական ձևերը:

Կոտորակների գործածությունը հնադարում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոտորակների գործածությունը մաթեմատիկական հաշվարկներում կիրառվել է երեք հազարամյակ առաջ: Կոտորակներով առաջին գործողությունները վերագրվում են հին հույներին և եգիպտացիներին: Դեռևս այդ ժամանակ մարդիկ հասկացան, որ ամբողջ թվերն ամբողջությամբ չեն արտահայտում մաթեմատիկական գործողությունները և անհրաժեշտություն կա գտնել թվերի մասը, որոնք էլ արտահայտվում էին կոտորակի կամ տասնորդական թվի տեսքով:

Թվի մասը կոտորակով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հաճախ անհրաժեշտ է լինում մեկ խնձորը բաժանել 4 մասի: Բաժանումից հետո խնձորի ամեն կտոր կազմում է ամբողջական խնձորի մեկ քառորդ մասը և գրվում ${\tfrac {1}{4}}$ տեսքով: Նման գրելաձևով թիվն անվանում են սովորական կոտորակ: Կոտորակի գծից վերև գրված թիվն անվանում են համարիչ, իսկ գծից ներքև գրվածը՝ հայտարար:

Կոտորակի գիծն արտահայտում է հարաբերություն (բաժանում):

Գործողություններ կոտորակների հետ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոտորակները ևս թվեր և դրանք կարելի է գումարել, հանել, բաժանել և բազմապատկել միմյանց:

Կոտորակների կրճատում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե կոտորակի համարիչն ու հայտարարն ունեն ընդհանուր բաժանարար, կոտորակը առավել պարզ ներկայացնելու համար անհրաժեշտ է գտնել համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, ապա կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարին:

Օրինակ՝ ${\tfrac {22}{33}}$ կոտորակի համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 11-ն է, հետևաբար 22-ն ու 33-ը կարելի է բաժանել 11-ի և համապատասխանաբար նոր կոտորակի համարիչի և հայտարարի տեղում գրել ստացված արդյունքը:

${\tfrac {22}{33}}$ $=$ ${\tfrac {22\div 11}{33\div 11}}$ $=$ ${\tfrac {2}{3}}$

Կոտորակների գումարում և հանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե կոտորակների հայտարարները միևնույն թիվն են, ապա գումարման և հանման ժամանակ համարիչները համապատասխանաբար գումարում կամ հանում ենք, ստացված արդյունքը գրում համարիչի տեղում, իսկ հայտարարը թողնում նույնը:

Օրինակ՝

${\tfrac {1}{4}}$ + ${\tfrac {2}{4}}$ $=$ ${\tfrac {1+2}{4}}$ $=$ ${\tfrac {3}{4}}$ ,

${\tfrac {3}{4}}$ - ${\tfrac {2}{4}}$ $=$ ${\tfrac {3-2}{4}}$ $=$ ${\tfrac {1}{4}}$

Այն դեպքում, երբ կոտորակների հայտարարները տարբեր թվեր են, անհրաժեշտ է դրանք բերել ընդհանուր հայտարարի:

Կոտորակների ընդհանուր հայտարարի բերում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարման և հանման համար անհրաժեշտ է՝

գտնել այդ կոտորակների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար անհրաժեշտ է այդ թվերը ներկայացնել պարզ արտադրիչների տեսքով, ապա գտնել այդ երկու թվերի բոլոր պարզ արտադրիչների արտադրյալը՝ դրանում չներառելով այն արտադրիչները, որոնք արդեն առկա են մյուս թվի պարզ արտադրիչների շարքում: Օրինակ՝ 12 և 15 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար դիտարկենք 12-ի և 15-ի պարզ արտադրիչները: 12 $=$ 2 $\times$ 2 $\times$ 3, 15 $=$ 3 $\times$ 5 12-ի և 15 -ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կլինի՝ 2 $\times$ 2 $\times$ 3 $\times$ 5 $=$ 60
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը բաժանել այդ կոտորակների հայտարարներին, որի արդյունքում յուրաքանչյուր կոտորակի համար կստանանք լրացուցիչ արտադրիչը:
Լրացուցիչ արտադրիչի արժեքով բազմապատկում ենք և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը, որից հետո հայտարարներում պետք է ստացվի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, այսինքն՝ այդ երկու կոտորակները այս գործողություններից հետո կունենան միևնույն հայտարարը, որից հետո կարող ենք կատարել հանում կամ գումարում: Օրինակ՝ ${\tfrac {5}{12}}$ + ${\tfrac {7}{15}}$ գտնելու համար կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի: 12-ի և 15-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ինչպես վերը ներկայացվեց 60-ն է, հետևաբար 60-ը բաժանենք նախ 12, ապա 15 և գտնենք ամեն կոտորակի լրացուցիչ արտադրիչը: 60 $\div$ 12 $=$ 5, 60 $\div$ 15 $=$ 4 Առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկում ենք 5-ով, իսկ երկրորդ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը՝ 4-ով, որից հետո կատարում ենք համարիչների գումարում:

${\tfrac {5\times 5}{12\times 5}}$ + ${\tfrac {7\times 4}{15\times 4}}$ $=$ ${\tfrac {25}{60}}$ + ${\tfrac {28}{60}}$ $=$ ${\tfrac {25+28}{60}}$ $=$ ${\tfrac {53}{60}}$

Կոտորակների բազմապատկում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկու կոտորակերի բազմապատկում նշանակում է առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը համապատասխանաբար բազմապատկել մյուս կոտորակի համարիչով և հայտարարով:

Օրինակ՝

${\tfrac {3}{4}}$ $\times$ ${\tfrac {5}{6}}$ $=$ ${\tfrac {3\times 5}{4\times 6}}$ $=$ ${\tfrac {15}{24}}$

Արդյունքում կարող են համարիչն ու հայտարարը ունենալ ընդհանուր բաժանարար: Անհրաժեշտ է արդեն ստացված կոտորակի և համարչը և հայտարարը բաժանել այդ ընդհանուր բաժանարարին և այս դեպքում կստանանք՝

${\tfrac {15\div 3}{24\div 3}}$ $=$ ${\tfrac {3}{8}}$

Կոտորակների բաժանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկու կոտորակների բաժանման դեպքում առաջին կոտորակի համարչը բազմապատկում ենք և արդյունքը գրում ստացվող կոտորակի համարիչում իսկ հայտարարը բազմապատկում երկրորդ կոտորակի համարիչին և գրում ստացվող կոտորակի հայտարարում: Այլ կերպ կարելի ներկայացնել այսպես. առաջին կոտորակը գրում ենք նույնությաբ, բաժանումը փոխարինում բազմապատկմամբ, իսկ երկրորդ կոտորակի համարիչի և հայտարարի թվերի դիրքը փոխում:

Օրինակ՝

${\tfrac {3}{4}}$ $\div$ ${\tfrac {5}{6}}$ $=$ ${\tfrac {3}{4}}$ $\times$ ${\tfrac {6}{5}}$ $=$ ${\tfrac {3\times 6}{4\times 5}}$ $=$ ${\tfrac {18}{20}}$

Ընդ որում ${\tfrac {18}{20}}$ կոտորակը կարելի է կրճատել, քանի որ համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 2-ն է, ապա կարելի է գրել.

${\tfrac {18}{20}}$ $=$ ${\tfrac {9}{10}}$

Ստացվեց՝ ${\tfrac {3}{4}}$ $\div$ ${\tfrac {5}{6}}$ $=$ ${\tfrac {3}{4}}$ $\times$ ${\tfrac {6}{5}}$ $=$ ${\tfrac {3\times 6}{4\times 5}}$ $=$ ${\tfrac {18}{20}}$ $=$ ${\tfrac {9}{10}}$

Կոտորակների տեսակները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոտորակները կախված համարիչի հայտարարի նկատմամբ մեծ կամ փոքր լինելուց տարբերակվում են անկանոն և կանոնավոր կոտորակների:

Կանոնավոր կոտորակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կանոնավոր կոտորակ են անվանում այն կոտորակները, որոնց համարիչը փոքր է հայտարարից:

Օրինակ՝ ${\tfrac {1}{4}}$ , ${\tfrac {2}{5}}$ և այլն:

Անկանոն կոտորակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Անկանոն են կոչվում այն կոտորակները, որոնց համարիչը մեծ է հայտարարից կամ հավասար է նրան:

Օրինակ՝ ${\tfrac {3}{2}}$ , ${\tfrac {5}{3}}$ , ${\tfrac {7}{2}}$ , ${\tfrac {7}{7}}$ և այլն:

Անկանոն կոտորակները հաճախ ներկայացնում են խառը թվի տեսքով:

Խառը թվի ներկայացումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Խառը թիվ անվանում են կոտորակային և ամբողջ թվերից կազմված թիվը:

Անկանոն կոտորակը հաճախ ներկայացվում է խառը թվի տեսքով, օրինակ ${\tfrac {17}{4}}$ թիվը խառը թվի տեսքով կներկայացվի 4 ${\tfrac {1}{4}}$ , որտեղ 4-ը ամբողջ մասն է, իսկ ${\tfrac {1}{4}}$ -ը՝ կոտորակային: Խառը թվի կոտորակային մասի համարիչում գրվում է անկանոն կոտորակի համարիչի և հայտարարի հարաբերությամբ ստացված մնացորդը, իսկ կոտորակային մասի դիմաց գրվում է ամբողջը:

Օրինակ՝

17:4 $=$ 4 (մն 1)

Կարելի է հեշտությամբ խառը թիվը ներկայացնել անկանոն կոտորակի տեսքով. այս դեպքում կոտորակային մասի հայտարարի թիվը բազմապատկվում է ամբողջ թվով, ապա գումարվում կոտորակային մասի համարիչի արժեքը և ստացված արդյունքը գրում համարիչում: Կոտորակի հայտարարը մնում է անփոփոխ:

Օրինակ՝ 4 ${\tfrac {1}{4}}$ խառը թվից կստանանք նույն ${\tfrac {17}{4}}$ կոտորակը, եթե համարիչում տեղադրենք 4 $\times$ 4+1 $=$ 17 արտահայտությունը:

Խառը թվերի համեմատում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ինչպես ցանկացած երկու թիվ, այնպես էլ խառը թվերը կարելի է համեմատել և կատարել գործողոություններ: Խառը թվերի համեմատման համար համեմատում ենք ամբողջ և կոտորակային մասերը: Մեծ է այն թիվը, որի ամբողջ մասն ավելի մեծ է: Եթե ամբողջ մասերը հավասար են, ապա համեմատվում են կոտորակային մասերը: Կոտորակային մասերի համեմատման ժամանակ ուշադրություն է դարձվում կոտորակների հայտարարներին: Եթե դրանք տարբեր թվեր են, ապա անհրաժեշտ է կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի, ապա համեմատել կոտորակների համարիչները:

Թվաբանական գործողություններ խառը թվերով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Խառը թվերով կարելի է կատարել թվաբանական գործողություններ:

Խառը թվերի գումարում և հանում, երբ դրանց կոտորակային մասերի հայտարարները նույնն են[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երբ խառը թվերի կոտորակային մասերի հայտարարները նույն են, ապա ամբողջ մասերը միմյանց են գումարվում (կամ հանվում), համարիչները՝ միմյանց:

Օրինակ՝

4 ${\tfrac {1}{4}}$ +3 ${\tfrac {2}{4}}$ $=$ (4+3) ${\tfrac {1+2}{4}}$ $=$ 7 ${\tfrac {3}{4}}$

Խառը թվերի գումարում և հանում, երբ դրանց կոտորակային մասերի հայտարարները տարբեր են[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ինչպես սովորական կոտորակաների դեպքում անհրաժեշտ էր լինում կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի, միայն հետո կատարել գումարման կամ հանման գործողություն, այնպես էլ խառը թվերի դեպքում անհրաժեշտ է կոտորակային մասի թվերը բերել ընդհանուր հայտարարի:

Օրինակ՝

4 ${\tfrac {1}{4}}$ +2 ${\tfrac {1}{3}}$ $=$ 4 ${\tfrac {1\times 3}{4\times 3}}$ +2 ${\tfrac {1\times 4}{3\times 4}}$ $=$ 4 ${\tfrac {3}{12}}$ +2 ${\tfrac {4}{12}}$ $=$ (4+2) ${\tfrac {3+4}{12}}$ $=$ 6 ${\tfrac {7}{12}}$

Խառը թվերով բազմապատկում և բաժանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

7 ${\tfrac {1}{4}}$ ×3 ${\tfrac {2}{5}}$ $=$ ${\tfrac {4\times 7+1}{4}}$ × ${\tfrac {5\times 3+2}{5}}$ $=$ ${\tfrac {29}{4}}$ × ${\tfrac {17}{5}}$ $=$ ${\tfrac {493}{20}}$ $=$ 24 ${\tfrac {13}{20}}$