Կոտորակ (մաթեմատիկա)
Կոտորակը թիվ է, որով ներկայացվում է ոչ ամբողջ թիվը: Կոտորակներն արտահայտում են որևէ թվի մեկ կամ մի քանի մասը և դասվում են ռացիոնալ թվերի շարքին: Գրելաձևում օգտագործվում է կոտորակի տեսքով (բաժանման գծով) և տասնորդական ձևերը:
Կոտորակների գործածությունը հնադարում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Կոտորակների գործածությունը մաթեմատիկական հաշվարկներում կիրառվել է երեք հազարամյակ առաջ: Կոտորակներով առաջին գործողությունները վերագրվում են հին հույներին և եգիպտացիներին: Դեռևս այդ ժամանակ մարդիկ հասկացան, որ ամբողջ թվերն ամբողջությամբ չեն արտահայտում մաթեմատիկական գործողությունները և անհրաժեշտություն կա գտնել թվերի մասը, որոնք էլ արտահայտվում էին կոտորակի կամ տասնորդական թվի տեսքով:
Թվի մասը կոտորակով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Հաճախ անհրաժեշտ է լինում մեկ խնձորը բաժանել 4 մասի: Բաժանումից հետո խնձորի ամեն կտոր կազմում է ամբողջական խնձորի մեկ քառորդ մասը և գրվում տեսքով: Նման գրելաձևով թիվն անվանում են սովորական կոտորակ: Կոտորակի գծից վերև գրված թիվն անվանում են համարիչ, իսկ գծից ներքև գրվածը՝ հայտարար:
Կոտորակի գիծն արտահայտում է հարաբերություն (բաժանում):
Գործողություններ կոտորակների հետ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Կոտորակները ևս թվեր և դրանք կարելի է գումարել, հանել, բաժանել և բազմապատկել միմյանց:
Կոտորակների կրճատում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Եթե կոտորակի համարիչն ու հայտարարն ունեն ընդհանուր բաժանարար, կոտորակը առավել պարզ ներկայացնելու համար անհրաժեշտ է գտնել համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, ապա կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարին:
Օրինակ՝ կոտորակի համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 11-ն է, հետևաբար 22-ն ու 33-ը կարելի է բաժանել 11-ի և համապատասխանաբար նոր կոտորակի համարիչի և հայտարարի տեղում գրել ստացված արդյունքը:
Կոտորակների գումարում և հանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Եթե կոտորակների հայտարարները միևնույն թիվն են, ապա գումարման և հանման ժամանակ համարիչները համապատասխանաբար գումարում կամ հանում ենք, ստացված արդյունքը գրում համարիչի տեղում, իսկ հայտարարը թողնում նույնը:
Օրինակ՝
+,
-
Այն դեպքում, երբ կոտորակների հայտարարները տարբեր թվեր են, անհրաժեշտ է դրանք բերել ընդհանուր հայտարարի:
Կոտորակների ընդհանուր հայտարարի բերում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարման և հանման համար անհրաժեշտ է՝
- գտնել այդ կոտորակների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար անհրաժեշտ է այդ թվերը ներկայացնել պարզ արտադրիչների տեսքով, ապա գտնել այդ երկու թվերի բոլոր պարզ արտադրիչների արտադրյալը՝ դրանում չներառելով այն արտադրիչները, որոնք արդեն առկա են մյուս թվի պարզ արտադրիչների շարքում: Օրինակ՝ 12 և 15 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար դիտարկենք 12-ի և 15-ի պարզ արտադրիչները: 12223, 1535 12-ի և 15 -ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կլինի՝ 223560
- Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը բաժանել այդ կոտորակների հայտարարներին, որի արդյունքում յուրաքանչյուր կոտորակի համար կստանանք լրացուցիչ արտադրիչը:
- Լրացուցիչ արտադրիչի արժեքով բազմապատկում ենք և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը, որից հետո հայտարարներում պետք է ստացվի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, այսինքն՝ այդ երկու կոտորակները այս գործողություններից հետո կունենան միևնույն հայտարարը, որից հետո կարող ենք կատարել հանում կամ գումարում: Օրինակ՝ + գտնելու համար կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի: 12-ի և 15-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ինչպես վերը ներկայացվեց 60-ն է, հետևաբար 60-ը բաժանենք նախ 12, ապա 15 և գտնենք ամեն կոտորակի լրացուցիչ արտադրիչը: 60125, 60154 Առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկում ենք 5-ով, իսկ երկրորդ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը՝ 4-ով, որից հետո կատարում ենք համարիչների գումարում:
++
Կոտորակների բազմապատկում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Երկու կոտորակերի բազմապատկում նշանակում է առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը համապատասխանաբար բազմապատկել մյուս կոտորակի համարիչով և հայտարարով:
Օրինակ՝
Արդյունքում կարող են համարիչն ու հայտարարը ունենալ ընդհանուր բաժանարար: Անհրաժեշտ է արդեն ստացված կոտորակի և համարչը և հայտարարը բաժանել այդ ընդհանուր բաժանարարին և այս դեպքում կստանանք՝
Կոտորակների բաժանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Երկու կոտորակների բաժանման դեպքում առաջին կոտորակի համարչը բազմապատկում ենք և արդյունքը գրում ստացվող կոտորակի համարիչում իսկ հայտարարը բազմապատկում երկրորդ կոտորակի համարիչին և գրում ստացվող կոտորակի հայտարարում: Այլ կերպ կարելի ներկայացնել այսպես. առաջին կոտորակը գրում ենք նույնությաբ, բաժանումը փոխարինում բազմապատկմամբ, իսկ երկրորդ կոտորակի համարիչի և հայտարարի թվերի դիրքը փոխում:
Օրինակ՝
Ընդ որում կոտորակը կարելի է կրճատել, քանի որ համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 2-ն է, ապա կարելի է գրել.
Ստացվեց՝
Կոտորակների տեսակները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Կոտորակները կախված համարիչի հայտարարի նկատմամբ մեծ կամ փոքր լինելուց տարբերակվում են անկանոն և կանոնավոր կոտորակների:
Կանոնավոր կոտորակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Կանոնավոր կոտորակ են անվանում այն կոտորակները, որոնց համարիչը փոքր է հայտարարից:
Օրինակ՝ , և այլն:
Անկանոն կոտորակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Անկանոն են կոչվում այն կոտորակները, որոնց համարիչը մեծ է հայտարարից կամ հավասար է նրան:
Օրինակ՝ , , , և այլն:
Անկանոն կոտորակները հաճախ ներկայացնում են խառը թվի տեսքով:
Խառը թվի ներկայացումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Խառը թիվ անվանում են կոտորակային և ամբողջ թվերից կազմված թիվը:
Անկանոն կոտորակը հաճախ ներկայացվում է խառը թվի տեսքով, օրինակ թիվը խառը թվի տեսքով կներկայացվի 4, որտեղ 4-ը ամբողջ մասն է, իսկ -ը՝ կոտորակային: Խառը թվի կոտորակային մասի համարիչում գրվում է անկանոն կոտորակի համարիչի և հայտարարի հարաբերությամբ ստացված մնացորդը, իսկ կոտորակային մասի դիմաց գրվում է ամբողջը:
Օրինակ՝
17:44 (մն 1)
Կարելի է հեշտությամբ խառը թիվը ներկայացնել անկանոն կոտորակի տեսքով. այս դեպքում կոտորակային մասի հայտարարի թիվը բազմապատկվում է ամբողջ թվով, ապա գումարվում կոտորակային մասի համարիչի արժեքը և ստացված արդյունքը գրում համարիչում: Կոտորակի հայտարարը մնում է անփոփոխ:
Օրինակ՝ 4 խառը թվից կստանանք նույն կոտորակը, եթե համարիչում տեղադրենք 44+117 արտահայտությունը:
Խառը թվերի համեմատում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Ինչպես ցանկացած երկու թիվ, այնպես էլ խառը թվերը կարելի է համեմատել և կատարել գործողոություններ: Խառը թվերի համեմատման համար համեմատում ենք ամբողջ և կոտորակային մասերը: Մեծ է այն թիվը, որի ամբողջ մասն ավելի մեծ է: Եթե ամբողջ մասերը հավասար են, ապա համեմատվում են կոտորակային մասերը: Կոտորակային մասերի համեմատման ժամանակ ուշադրություն է դարձվում կոտորակների հայտարարներին: Եթե դրանք տարբեր թվեր են, ապա անհրաժեշտ է կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի, ապա համեմատել կոտորակների համարիչները:
Թվաբանական գործողություններ խառը թվերով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Խառը թվերով կարելի է կատարել թվաբանական գործողություններ:
Խառը թվերի գումարում և հանում, երբ դրանց կոտորակային մասերի հայտարարները նույնն են[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Երբ խառը թվերի կոտորակային մասերի հայտարարները նույն են, ապա ամբողջ մասերը միմյանց են գումարվում (կամ հանվում), համարիչները՝ միմյանց:
Օրինակ՝
4+3(4+3)7
Խառը թվերի գումարում և հանում, երբ դրանց կոտորակային մասերի հայտարարները տարբեր են[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Ինչպես սովորական կոտորակաների դեպքում անհրաժեշտ էր լինում կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի, միայն հետո կատարել գումարման կամ հանման գործողություն, այնպես էլ խառը թվերի դեպքում անհրաժեշտ է կոտորակային մասի թվերը բերել ընդհանուր հայտարարի:
Օրինակ՝
4+24+24+2(4+2)6
Խառը թվերով բազմապատկում և բաժանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
7×3××24
Աղբյուրներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.