Կոտորակ (մաթեմատիկա)

Կոտորակ, առանձնացված է 1/4 մասը

Կոտորակը թիվ է, որով ներկայացվում է ոչ ամբողջ թիվը: Կոտորակներն արտահայտում են որևէ թվի մեկ կամ մի քանի մասը և դասվում են ռացիոնալ թվերի շարքին: Գրելաձևում օգտագործվում է կոտորակի տեսքով (բաժանման գծով) և տասնորդական ձևերը:

Կոտորակների գործածությունը հնադարում

Կոտորակների գործածությունը մաթեմատիկական հաշվարկներում կիրառվել է երեք հազարամյակ առաջ: Կոտորակներով առաջին գործողությունները վերագրվում են հին հույներին և եգիպտացիներին: Դեռևս այդ ժամանակ մարդիկ հասկացան, որ ամբողջ թվերն ամբողջությամբ չեն արտահայտում մաթեմատիկական գործողությունները և անհրաժեշտություն կա գտնել թվերի մասը, որոնք էլ արտահայտվում էին կոտորակի կամ տասնորդական թվի տեսքով:

Թվի մասը կոտորակով

Հաճախ անհրաժեշտ է լինում մեկ խնձորը բաժանել 4 մասի: Բաժանումից հետո խնձորի ամեն կտոր կազմում է ամբողջական խնձորի մեկ քառորդ մասը և գրվում ${\tfrac {1}{4}}$ տեսքով: Նման գրելաձևով թիվն անվանում են սովորական կոտորակ: Կոտորակի գծից վերև գրված թիվն անվանում են համարիչ, իսկ գծից ներքև գրվածը՝ հայտարար:

Կոտորակի գիծն արտահայտում է հարաբերություն (բաժանում):

Գործողություններ կոտորակների հետ

Կոտորակները ևս թվեր և դրանք կարելի է գումարել, հանել, բաժանել և բազմապատկել միմյանց:

Կոտորակների կրճատում

Եթե կոտորակի համարիչն ու հայտարարն ունեն ընդհանուր բաժանարար, կոտորակը առավել պարզ ներկայացնելու համար անհրաժեշտ է գտնել համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, ապա կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարին:

Օրինակ՝ ${\tfrac {22}{33}}$ կոտորակի համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 11-ն է, հետևաբար 22-ն ու 33-ը կարելի է բաժանել 11-ի և համապատասխանաբար նոր կոտորակի համարիչի և հայտարարի տեղում գրել ստացված արդյունքը:

${\tfrac {22}{33}}$$=$${\tfrac {22\div 11}{33\div 11}}$$=$${\tfrac {2}{3}}$

Կոտորակների գումարում և հանում

Եթե կոտորակների հայտարարները միևնույն թիվն են, ապա գումարման և հանման ժամանակ համարիչները համապատասխանաբար գումարում կամ հանում ենք, ստացված արդյունքը գրում համարիչի տեղում, իսկ հայտարարը թողնում նույնը:

Օրինակ՝

${\tfrac {1}{4}}$+${\tfrac {2}{4}}$$=$${\tfrac {1+2}{4}}$$=$${\tfrac {3}{4}}$,

${\tfrac {3}{4}}$-${\tfrac {2}{4}}$$=$${\tfrac {3-2}{4}}$$=$${\tfrac {1}{4}}$

Այն դեպքում, երբ կոտորակների հայտարարները տարբեր թվեր են, անհրաժեշտ է դրանք բերել ընդհանուր հայտարարի:

Կոտորակների ընդհանուր հայտարարի բերում

Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարման և հանման համար անհրաժեշտ է՝

• գտնել այդ կոտորակների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար անհրաժեշտ է այդ թվերը ներկայացնել պարզ արտադրիչների տեսքով, ապա գտնել այդ երկու թվերի բոլոր պարզ արտադրիչների արտադրյալը՝ դրանում չներառելով այն արտադրիչները, որոնք արդեն առկա են մյուս թվի պարզ արտադրիչների շարքում: Օրինակ՝ 12 և 15 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար դիտարկենք 12-ի և 15-ի պարզ արտադրիչները: 12$=$2$\times$2$\times$3, 15$=$3$\times$5 12-ի և 15 -ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կլինի՝ 2$\times$2$\times$3$\times$5$=$60

• Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը բաժանել այդ կոտորակների հայտարարներին, որի արդյունքում յուրաքանչյուր կոտորակի համար կստանանք լրացուցիչ արտադրիչը:
• Լրացուցիչ արտադրիչի արժեքով բազմապատկում ենք և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը, որից հետո հայտարարներում պետք է ստացվի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, այսինքն՝ այդ երկու կոտորակները այս գործողություններից հետո կունենան միևնույն հայտարարը, որից հետո կարող ենք կատարել հանում կամ գումարում: Օրինակ՝ ${\tfrac {5}{12}}$+${\tfrac {7}{15}}$ գտնելու համար կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի: 12-ի և 15-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ինչպես վերը ներկայացվեց 60-ն է, հետևաբար 60-ը բաժանենք նախ 12, ապա 15 և գտնենք ամեն կոտորակի լրացուցիչ արտադրիչը: 60$\div$12$=$5, 60$\div$15$=$4 Առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկում ենք 5-ով, իսկ երկրորդ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը՝ 4-ով, որից հետո կատարում ենք համարիչների գումարում:

${\tfrac {5\times 5}{12\times 5}}$+${\tfrac {7\times 4}{15\times 4}}$$=$${\tfrac {25}{60}}$+${\tfrac {28}{60}}$$=$${\tfrac {25+28}{60}}$$=$${\tfrac {53}{60}}$

Կոտորակների բազմապատկում

Երկու կոտորակերի բազմապատկում նշանակում է առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը համապատասխանաբար բազմապատկել մյուս կոտորակի համարիչով և հայտարարով:

Օրինակ՝

${\tfrac {3}{4}}$$\times$${\tfrac {5}{6}}$$=$${\tfrac {3\times 5}{4\times 6}}$$=$${\tfrac {15}{24}}$

Արդյունքում կարող են համարիչն ու հայտարարը ունենալ ընդհանուր բաժանարար: Անհրաժեշտ է արդեն ստացված կոտորակի և համարչը և հայտարարը բաժանել այդ ընդհանուր բաժանարարին և այս դեպքում կստանանք՝

${\tfrac {15\div 3}{24\div 3}}$$=$${\tfrac {3}{8}}$

Կոտորակների բաժանում

Երկու կոտորակների բաժանման դեպքում առաջին կոտորակի համարչը բազմապատկում ենք և արդյունքը գրում ստացվող կոտորակի համարիչում իսկ հայտարարը բազմապատկում երկրորդ կոտորակի համարիչին և գրում ստացվող կոտորակի հայտարարում: Այլ կերպ կարելի ներկայացնել այսպես. առաջին կոտորակը գրում ենք նույնությաբ, բաժանումը փոխարինում բազմապատկմամբ, իսկ երկրորդ կոտորակի համարիչի և հայտարարի թվերի դիրքը փոխում:

Օրինակ՝

${\tfrac {3}{4}}$$\div$${\tfrac {5}{6}}$$=$${\tfrac {3}{4}}$$\times$${\tfrac {6}{5}}$$=$${\tfrac {3\times 6}{4\times 5}}$$=$${\tfrac {18}{20}}$

Ընդ որում ${\tfrac {18}{20}}$ կոտորակը կարելի է կրճատել, քանի որ համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 2-ն է, ապա կարելի է գրել.

${\tfrac {18}{20}}$$=$${\tfrac {9}{10}}$

Ստացվեց՝ ${\tfrac {3}{4}}$$\div$${\tfrac {5}{6}}$$=$${\tfrac {3}{4}}$$\times$${\tfrac {6}{5}}$$=$${\tfrac {3\times 6}{4\times 5}}$$=$${\tfrac {18}{20}}$$=$${\tfrac {9}{10}}$

Կոտորակների տեսակները

Կոտորակները կախված համարիչի հայտարարի նկատմամբ մեծ կամ փոքր լինելուց տարբերակվում են անկանոն և կանոնավոր կոտորակների:

Կանոնավոր կոտորակներ

Կանոնավոր կոտորակ են անվանում այն կոտորակները, որոնց համարիչը փոքր է հայտարարից:

Օրինակ՝ ${\tfrac {1}{4}}$, ${\tfrac {2}{5}}$ և այլն:

Անկանոն կոտորակներ

Անկանոն են կոչվում այն կոտորակները, որոնց համարիչը մեծ է հայտարարից կամ հավասար է նրան:

Օրինակ՝ ${\tfrac {3}{2}}$, ${\tfrac {5}{3}}$, ${\tfrac {7}{2}}$, ${\tfrac {7}{7}}$ և այլն:

Անկանոն կոտորակները հաճախ ներկայացնում են խառը թվի տեսքով:

Խառը թվի ներկայացումը

Խառը թիվ անվանում են կոտորակային և ամբողջ թվերից կազմված թիվը:

Անկանոն կոտորակը հաճախ ներկայացվում է խառը թվի տեսքով, օրինակ ${\tfrac {17}{4}}$ թիվը խառը թվի տեսքով կներկայացվի 4${\tfrac {1}{4}}$, որտեղ 4-ը ամբողջ մասն է, իսկ ${\tfrac {1}{4}}$-ը՝ կոտորակային: Խառը թվի կոտորակային մասի համարիչում գրվում է անկանոն կոտորակի համարիչի և հայտարարի հարաբերությամբ ստացված մնացորդը, իսկ կոտորակային մասի դիմաց գրվում է ամբողջը:

Օրինակ՝

17:4$=$4 (մն 1)

Կարելի է հեշտությամբ խառը թիվը ներկայացնել անկանոն կոտորակի տեսքով. այս դեպքում կոտորակային մասի հայտարարի թիվը բազմապատկվում է ամբողջ թվով, ապա գումարվում կոտորակային մասի համարիչի արժեքը և ստացված արդյունքը գրում համարիչում: Կոտորակի հայտարարը մնում է անփոփոխ:

Օրինակ՝ 4${\tfrac {1}{4}}$ խառը թվից կստանանք նույն ${\tfrac {17}{4}}$ կոտորակը, եթե համարիչում տեղադրենք 4$\times$4+1$=$17 արտահայտությունը:

Խառը թվերի համեմատում

Ինչպես ցանկացած երկու թիվ, այնպես էլ խառը թվերը կարելի է համեմատել և կատարել գործողոություններ: Խառը թվերի համեմատման համար համեմատում ենք ամբողջ և կոտորակային մասերը: Մեծ է այն թիվը, որի ամբողջ մասն ավելի մեծ է: Եթե ամբողջ մասերը հավասար են, ապա համեմատվում են կոտորակային մասերը: Կոտորակային մասերի համեմատման ժամանակ ուշադրություն է դարձվում կոտորակների հայտարարներին: Եթե դրանք տարբեր թվեր են, ապա անհրաժեշտ է կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի, ապա համեմատել կոտորակների համարիչները:

Թվաբանական գործողություններ խառը թվերով

Խառը թվերով կարելի է կատարել թվաբանական գործողություններ:

Խառը թվերի գումարում և հանում, երբ դրանց կոտորակային մասերի հայտարարները նույնն են

Երբ խառը թվերի կոտորակային մասերի հայտարարները նույն են, ապա ամբողջ մասերը միմյանց են գումարվում (կամ հանվում), համարիչները՝ միմյանց:

Օրինակ՝

4${\tfrac {1}{4}}$+3${\tfrac {2}{4}}$$=$(4+3)${\tfrac {1+2}{4}}$$=$7${\tfrac {3}{4}}$

Խառը թվերի գումարում և հանում, երբ դրանց կոտորակային մասերի հայտարարները տարբեր են

Ինչպես սովորական կոտորակաների դեպքում անհրաժեշտ էր լինում կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի, միայն հետո կատարել գումարման կամ հանման գործողություն, այնպես էլ խառը թվերի դեպքում անհրաժեշտ է կոտորակային մասի թվերը բերել ընդհանուր հայտարարի:

Օրինակ՝

4${\tfrac {1}{4}}$+2${\tfrac {1}{3}}$$=$4${\tfrac {1\times 3}{4\times 3}}$+2${\tfrac {1\times 4}{3\times 4}}$$=$4${\tfrac {3}{12}}$+2${\tfrac {4}{12}}$$=$(4+2)${\tfrac {3+4}{12}}$$=$6${\tfrac {7}{12}}$

Խառը թվերով բազմապատկում և բաժանում

7${\tfrac {1}{4}}$×3${\tfrac {2}{5}}$$=$${\tfrac {4\times 7+1}{4}}$×${\tfrac {5\times 3+2}{5}}$$=$${\tfrac {29}{4}}$×${\tfrac {17}{5}}$$=$${\tfrac {493}{20}}$$=$24${\tfrac {13}{20}}$

Աղբյուրներ

Իմ դպրոց

Смешанное число

Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.