Լագրանժյան

Լագրանժյան, դինամիկ համակարգի Լագրանժի ֆունկցիան։ Նշանակվում է ${\mathcal {L}}[\varphi _{i}]$: Անվանումը ստացել է Ժոզեֆ Լուի Լագրանժի պատվին։ Լագրանժյանը $\ \varphi _{i}(s)$ ընդհանրացված կոորդինատների ֆունկցիա է, որը նկարագրում է համակարգի զարգացումը։ Օրինակ՝ դասական մեխանիկայի համար շարժման հավասարումները այս մոտեցմամբ ստացվում են փոքրագույն գործողության սկզբունքից, որը գրվում է որպես

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0$,

որտեղ գործողությունը ${\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s}$-ի ֆունկցիոնալ է, իսկ $\varphi _{i}$-ն ընդհանրացված կոորդինատներն են, $\ s_{j}$-ով նշանակված է համակարգի պարամետրերի բազմությունը․ դասական մեխանիկայի դեպքում դրանք անկախ տարածական կոորդինատներն են և ժամանակը, իսկ ֆիզիկայի այլ բաժիններում՝ էլեկտրական կամ այլ ֆիզիկական պարամետրեր։

Ֆունկցիոնալի ֆունկցիոնալ ածանցյալը բոլոր ուղղություններով զրոյի հավասարացնելու միջոցով ստացված հավասարումները նույնական են սովորական Էյլեր-Լագրանժի հավասարումներին։ Դինամիկ համակարգերը, որոնց հավասարումները կարելի է ստանալ փոքրագույն գործողության սկզբունքից՝ պատշատ կերպով ընտրված Լագրանժի ֆունկցիայի համար, հայտնի են որպես «լագրանժյան դինամիկ համակարգեր»։

Լագրանժյան դինամիկ համակարգերի օրինակները շատ են, սկսած տարրական մասնիկների ֆիզիկայի ստանդարտ մոդելի դասական օրինակից, վերջացրած Նյուտոնի օրենքներով։ Այս բնագավառին են դասվում նաև մաքուր մաթեմատիկական խնդիրները, ինչպես գեոդեզիկների հավասարումները և Պլատոյի խնդիրը։

Լագրանժյանը Լեժանդրի ձևափոխությունների միջոցով կապված է համիլտոնյանին (որում որպես հիմք ընտրվում են իմպուլսները), համիլտոնյանի հիան վրա է ձևակերպվում Համիլտոնյան մեխանիկան։

Օրինակներ մեխանիկայից

Լագրանժի ֆունկցիայի հասկացությունը սկզբնապես ներմուծվել էր դասական մեխանիկան վերաձևակերպելու համար մի տեսքով, որն այժմ հայտնի է լագրանժյան մեխանիկա անունով։ Այս կոնտեքստում Լագրանժի ֆունկցիան սովորաբար ընտրվում է որպես մեխանիկական համակարգի կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների տարբերություն։

Դիցուք տարածության չափականությունը հավասար է երեքի և Լագրանժի ֆունկցիան գրվում է

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}})$

տեսքով, որտեղ ըստ ժամանակի ածանցյալը նշանակվում է դիֆերենցվող մեծության վրա դրված կետով, ${\vec {x}}$-ն մասնիկի շառավիղ-վեկտորն է, m-ը՝ զանգվածը, V-ն՝ պոտենցիալ էներգիան։ Այդ դեպքում Էյլեր-Լանգրանժի հավասարումնը կլինի

$m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0$,

որտեղ $\nabla V$-ն գրադիենտն է։

Օգտագործելով այս արդյունքը, հեշտությամբ կարելի է ցույց տալ, որ այս մոտեցումը համարժեք է Նյուտոնի մոտեցմանը։ F ուժը գրենք պոտենցիալի տերմինով՝ ${\vec {F}}=-\nabla V(x)$, այդ դեպքում կստանանք ${\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}$, հավասարումը, որը համարժեք է Նյուտոնի հավասարմանը հաստատուն զանգվածի դեպքում։ Պարզ հաշվարկները հանգում են։${\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt$ Արտահայտությանը, որը Նյուտոնի երկրորդ օրենքն է ընդհանրացված տեսքով։

${\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)$

լագրանժյանով, r, θ, φ գնդային կոորդինատներով եռաչափ համակարգի համար կարելի է ստանալ Էյլեր-Լագրանժի հետևյալ հավասարումները՝

$m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,$

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0,$

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0$։

Ռելյատիվիստական ազատ մասնիկի դասական լագրանժյանը

Ռելյատիվիստական ազատ մասնիկի դասական լագրանժյանը բազապատկչի ճշտությամբ (մասնիկի զանգվածը՝ մինուս նշանով, բազմապատկած ունիվերսալ հաստատունով) համընկնում է նրա համաշխարհային գծի աճի արագությանը Մինկովսկու տարածության մեջ, կամ սեփական ժամանակին՝

$-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},$

որտեղ v-ն մասնիկի սովորական եռաչափ արագությունն է, c-ն՝ լույսի արագությունը, m-ը՝ մասնիկի զանգվածը։

Այս լագրանժյանից հետևում է ռելյատիվիստական մասնիկների դասական դինամիկան (ռելյատիվիստական դինամիկա)։

Լագրանժյանը և լագրանժյանի խտությունը դաշտի տեսությունում

• Դաշտի տեսությունում Լագրանժի L ֆունկցիայի, որի միջոցով գործողությունն արտահայտվում է որպես միայն ըստ ժամանակի ինտեգրալ՝

$S=\int {{\mathcal {L}}\,dt}$

և ${\mathcal {L}}$ լագրանժյանի միջև, որը պետք է ինտեգրել ըստ տարածաժամանակի բոլոր կոորդինատների՝

$S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}$

Այս դեպքում լագրանժյանը լագրանժյանի խտության ինտեգրալն է ըստ տարածական կոորդինատների։

Լագրանժյանի երկու սահմանումները կարելի է ստանալ որպես ընդհանուր սահմանման մասնավոր դեպքեր, կախված այն բանից՝ ներառված են ${\vec {x}}$ տարածական կոորդինատները i ինդեքսում թե $\varphi _{i}(s)$-ի s պարամետրերում։ Տարրական մասնիկների ֆիզիկայում դաշտի քվանտային տեսությունները, ինչպես քվանտային էլեկտրադինամիկան է, սովորաբար նկարագրվում են ${\mathcal {L}}$-ի տերմիններով։ Այս ձևը հարմար է, քանի որ արագ բերվում է Ֆեյմանի դիագրամները նկարագրելու համար կիրառվող կանոններին։

Էլեկտրամագնիսական լագրանժյան

Էլեկտրաստատիկա

Էլեկտրական դաշտերի էլեկտրաստատիկան, որը կարելի է մոտավորապես կամ ճշգրիտ նկարագրել սկալյար պոտենցիալով և բավականաչափ դանդաղ շարժվող լիցքավորված նյութով, ենթարկվում է նյուտոնյան մեխանիկայի օրենքներին և կարող է գործնականում նկարագրվել դասական մեխանիկայի շրջանակներում։

Լագրանժյանը դասական մեխանիկայում՝

${\mathcal {L}}=T-V$

որտեղ T-ն կինետիկ էներգիան է, V-ն՝ պոտենցիալ էներգիան։

$\phi \$ սկալյար պոտենցիալ ունեցող էլեկտրաստատիկ դաշտում գտնվող m զանգվածով և q լիցքով լիցքավորված մասնիկի համար կինետիկ էներգիան տրվում է

$T_{s}={1 \over 2}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v}$

արտահայտությամբ։ Դաշտի փոխազդեցության էներգիան լիցքավորված մասնիկի հետ ունի

$V=q\phi \$

տեսքը (մեկ կետային լիցքի համար․ մեկից ավելի մասնիկների դեպքում գումարում է կատարվում) կամ լիցքի անընդհատ բաշխվածության դեպքում՝

$V=\int \rho \phi \ dxdydz$։

Դաշտի էներգիան ընդգրկված է կինետիկ էներգիայի կազմում, ինչպես և մասնիկների կինետիկ էներգիան, գրվում է որպես

$T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa }(\nabla \phi )^{2}dxdydz,$

Որտեղ $\varkappa$-ն Կուլոնի օրենքի վերջնական տեսքի մեջ մտնող ուժային հաստատունն է։

Այսպիսով էլեկտրաստատիկայում լագրանժյանը, որը ներառում է դանդաղ շարժվող մասնիկների կինետիկ էներգիան, հետևյալն է՝

${\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},$։

Լագրանժյանի ձևափոխությունից հեշտ է ստանալ դաշտի հավասարումը էլեկտրաստատիկայի համար (Պուասոնի հավասարումը)՝

$\nabla ^{2}\phi =-\varkappa \rho$,

և էլեկտրաստատիկ դաշտում մասնիկի շարժման հավասարումը՝

$m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \phi$։

Էլեկտրադինամիկա

Եռաչափ ձևակերպում

Էլեկտրադինամիկայի դեպքում գործ ունենք ոչ թե դասական պոտենցիալ էներգիայի, այլ ընդհանրացված (որը կախված է նաև արագություններից) պոտենցիալ էներգիայի (փոխազդեցության էներգիայի) հետ՝

$V=q\phi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A}$

կամ

$V=\int (\rho \phi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz$

որտեղ c-ն լույսի արագությունն է, v-ն՝ մասնիկի արագությունը, j-ն՝ հոսանքի խտության վեկտորը։

Էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիան, ի տարբերություն էլեկտրաստատիկ դաշտի, պետք է ներառի նաև մագնիսական դաշտի էներգիան՝

$T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa }}(E^{2}-H^{2})dxdydz,$

որտեղ E-ն և H-ը արտահայտված են $\phi$ սկալյար պոտենցիալով և А վեկտորական պոտենցիալով՝

$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},~~~~~~~\mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A}$։

Այս դեպքում էլեկտրամագնիսական լագրանժյանը գրվում է

$L=T_{f}-q\phi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}$

կամ

$L=T_{f}+\int (-\rho \phi +{1 \over c}\mathbf {j} \ \cdot \mathbf {A} )dxdydz+T_{s}$

տեսքով, որտեղ նյութի $T_{s}$ լագրանժյանը կարելի է կիրառել դանդաղ մասնիկների համար, ինչպես նաև կարելի է կիրառել արագ մասնիկների ռելյատիվիստական լագրանժյանը՝

$T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$։

Անհրաժեշտության դեպքում լագրանժյանի այս արտահայտությունը կարելի է լրացնել այլ անդամներով, որոնք նկարագրում են ոչ էլեկտրամագնիսական ուժեր, ուրիշ տիպի դաշտեր և այլն։

Գործողության համար ф-ի և $A_{x},A_{y},A_{z}$-ի համապատասխան փոփոխարկումների դեպքում ստացվում են Մաքսվելի հավասարումները, իսկ ըստ լիցքավորված մասնիկների կոորդինատները փոփոխարկելու դեպքում՝ դաշտում լիցքավորված մասնիկների շարժման հավասարումը՝

$d\mathbf {p} /dt=\mathbf {F} _{L},$

p-ն մասնիկների եռաչափ իմպուլսն է, $\mathbf {F} _{L}$-ն՝ Լորենցի ուժը։

Քառաչափ ձևակերպում

Քառաչափ դեպքում էլեկտրամագնիսական դաշտի լագրանժյանի խտությունը ունի հետևյալ տեսքը (ընտրվել c=1 միավորների համակարգ)՝

$L={\frac {1}{4\varkappa }}F_{ik}F^{ik}+A_{i}j^{i}+L_{s}$։

Երկրորդ անդամը, որը նկարագրում է փոխազդեցությունը, կարելի է արտագրել այնպես, որ գործողությունը լինի

$S_{int}=-\int qA_{i}dx^{i}$։

$F^{ik}$-ն էլեկտրամագնիսական դաշտի թենզորն է, $A_{i}$-ն՝ 4-պոտենցիալը, $j^{i}$-ն՝ քառաչափ հոսանքի խտությունը, $dx^{i}$-ն՝ 4-տեղափոխությունը, ըստ Այնշտայնի կանոնի՝ կրկնվող ինդեքսներով գումարում է կատարվում։

Փոփոխարկելով ըստ $A_{i}$-ի՝ հեշտ է ստանալ Մաքսվելի հավասարումները քառաչափ տեսքով՝

$\partial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k}$,

իսկ ըստ $x^{i}$-ի փոփոխարկելով՝ շարժման հավասարումները մասնիկների համար՝

$dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\$

որտեղ $p_{i}=mu_{i}$-ն 4-իմպուլսն է, $u^{k}$-ն՝ 4-արագությունը։

Լագրանժյանը դաշտի քվանտային տեսությունում

Դաշտի քվանտային տեսությունու լագրանժյանը համընկնում է դասական դեպքի հետ, բացառությամբ երբ որոշ դաշտի փոփոխականների համար դասական անալոգը գրելը դժվար է կամ ճիշտ մեկնաբանելն է դժվար։ Նման դեպքերում ևս կարելի է, թեկուզ զուտ ֆորմալ ձևով, ստանալ շարժման դասական հավասարումները

Լագրանժյանը քվանտային էլեկտրադինամիկայում

Լագրանժյանի խտությունը քվանտային էլեկտրադինամիկայում՝

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\not \!\,D-m)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

որտեղ ψ-ն քառաչափ սպինորն է, ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$-ն՝ դրա դիրակյան համալուծը, $\!F^{\mu \nu }$-ը՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի թենզորը, D-ն՝ տրամաչափային կովարիանտ ածանցյալը, $\not \!\,D$-ն՝ Ֆեյնմանի նշանակումը $\!\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }$։

Դիրակի լագրանժյան

Լագրանժյանի խտությունը դիրակյան դաշտի համար՝

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\not \!\;\partial -m)\psi$։

Լագրանժյանը քվանտային քրոմոդինամիկայում

Լագրանժյանի խտությունը քվանտային քրոմոդինամիկայում`

${\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu }-\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}(\not \!\,D_{\mu }+m_{n})\psi _{n}$

որտեղ $\!D_{\mu }$-ն քվանտային քրոմոդինամիկայի տրամաչափային կովարիանտ ածանցյալն է, $\!F^{\alpha }{}_{\mu \nu }$-ն՝ գլյուոնային դաշտի լարվածության թենզորը։

Գրականություն

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля (Теоретическая физика, т. II). — М.: Физматлит, 2003. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4

Արտաքին հղումներ

• Christoph Schiller (2005), Global descriptions of motion: the simplicity of complexity Արխիվացված 2008-12-17 Wayback Machine, Motion Mountain
• David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)