Ութանիստ
Ութանիստ | |
---|---|
![]() | |
Տեսակ | Կանոնավոր բազմանիստ |
Նիստ | եռանկյուն |
Նիստեր | |
Կողեր | |
Գագաթներ | |
Մի գագաթից ելնող նիստեր | |
Գագաթի անկյունը | ստեռ |
Կետային համաչափության խումբ | Օկտաեդրական (Oh) |
Երկակի բազմանիստ | Խորանարդ |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Octahedron_flat.svg/300px-Octahedron_flat.svg.png)
Ութանիստ (հունարեն՝ οκτάεδρον, հունարեն՝ οκτώ, «ութ» и греч. հունարեն՝ έδρα — «հիմք»), Պլատենյան հինգ հայտնի ուռուցիկ կանոնավոր բազմանիստերից մեկը[1]։
Բնութագրիչներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Ութանիստն ունի 8 եռանկյունաձև նիստեր, 12 կող, 6 գագաթ, յուրաքանչյուր գագաթից ելնում են 4 նիստեր։
Եթե ութանիստի կողի երկարությունը а է, ապա լրիվ մակերևույթի մակերեսը (S) և օկտաեդրի ժավալը (V) հաշվվում են հետևյալ բանաձևերով՝
Ութանիստին արտագծված գնդի շառավիղը հավասար է՝
Ութանիստին ներգծված գնդի շառավիղը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝
երկնիստ անկյուն։ , где .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/%D0%92%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BA%D1%82%D0%B0%D1%8D%D0%B4%D1%80.gif/220px-%D0%92%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BA%D1%82%D0%B0%D1%8D%D0%B4%D1%80.gif)
Կանոնավոր օկտաէդր
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 8 եռանկյուն նիստ, 12 կող, 6 գագաթ, յուրաքանչյուր գագթից դուրս է գալիս 4 նիստ։
Չափեր
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Եթե օկտաէդրի կողի երկարությունը հավասար է а, ապա օկտաէդրին արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է.
Օկտաէդրին ներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հաշվում են հետևյալ բանաձևով.
Երկնիստ անկյունը. , որտեղ :
Բոլոր կողերը շոշափող կիսաներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է
- :
Օրթոգոնալ պրոյեկցիաները
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Օկտաէդրն ունի չորս հատուկ օրթոգոնալ պրոյեկցիաներ՝ կենտրոնադրած կողով, գագաթով, նիստով և նիստի նորմալով։ Երկրորդ և երրորդ դեպքը համապատասխանում են Կոքսետերի B2 և A2 հարթություններին։
Կենտրոնադրում | Կողով | Նիստի նորմալով | Գագաթով | Նիստով |
---|---|---|---|---|
Պատկեր | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Պրոյեկտիվ համաչափություն | [2] | [2] | [4] | [6] |
Գնդային խճանկար
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Օկտաէդրը կարելի է ներկայացնել որպես գնդային խճանկար և հարթության վրա պրոյեկտել տարածագրական պրոյեկցիայի օգնությամբ։ Այդ պրոյեկցիան կոնֆորմ է, պահպանում է անկյունները, բայց ոչ երկարություններն ու մակերեսը։ Գնդի վրայի հատվածները հարթության վրա արտապատկերվում են շրջանագծի աղեղների։
![]() |
![]() Եռանկյունա-կենտրոնադրած |
Օրթոգոնալ պրոյեկցիա | Տարածագրական պրոյեկցիա |
---|
Դեկարտյան կոորդինատներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]երկարությամբ կողով օկտաէդրը կոորդինատների սկզբնակետից կարող է տեղադրվել այնպես, որ նրա բարձրություններն ընկած լինեն կոորդինատային առանցքների վրա։ Այդ դեպքում գագաթների դեկարտյան կոորդինատները կլինեն.
- (±1, 0, 0);
- (0, ±1, 0);
- (0, 0, ±1):
x-y-z ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում օկտաէդրը դա (a, b, c) կետով կենտրոնով և r շառավղով բոլոր (x, y, z) կետերի բազմությունն է, այնպես, որ
Մակերես և ծավալ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]a երկարությամբ կողով կանոնավոր օկտաէդրի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է
- :
Օկտաէդրի ծավալը (V) հաշվարկվում է
- բանաձևով։
Այսպիսով, նույն երկարությամբ կողով օկտաէդրի ծավալը չորս անգամ մեծ է տետրաէդրի ծավալից, իսկ մակերևույթի մակերեսը մեծ է երկու անգամ (քանի որ մակերևույթը կազմված է 8 եռանկյուններից, իսկ տետրաէդրը՝ 4):
Եթե օկտաէդրը ձգենք, որպեսզի տեղի ունենա հետևյալ հավասարությունը.
մակերեսի և ծավալի բանաձևերը վերածվում են՝
Բացի այդ, ձգված օկտաէդրի իներցիայի մոմենտների տենզորը հավասար կլինի.
Այն բերվում է կանոնավոր օկտաէդրի հավասարման, երբ. :
Երկրաչափական կապեր
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Compound_of_two_tetrahedra.png/220px-Compound_of_two_tetrahedra.png)
Երկու երկակի տետրաէդրերի ներքին (ընդհանուր) փոխդասավորվածության մաս է կազմում օկտաէդրը, իսկ հենց այդ փոխդասավորությունը կոչվում է աստղաձև օկտաէդր (լատ. stella octangula): Փոխդասավորվածությունը հանդիսանում է օկտաէդրի աստղաձև միակ ձևը։ Հետևաբար, կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է կանոնավոր տետրաէդրից կողի կեսի երկայնքով չորս կանոնավոր տետրաէդրերով հատույթ։ Օկտաէդրի գագաթները ընկած են տետրաէդրի կողերի մեջտեղում և օկտաէդրը տետրաէդրի հետ կապված է նույն ձևով, ինչպես խորանարդաօկտաէդրը և իկոսոդոեկտաէդրը կապված են պլատոնյան մնացած մարմինների հետ։
Օկտաէդրը պլատոնյան մարմինների շրջանակում յուրահատուկ է նրանով, որ միայն նա յուրաքանչյուր գագաթին կից ունի զույգ թվով նիստեր։
Օկտաէդրը համարվում է 4-կապանի։ Դա նշանակում է, որ պետք է հեռացնել չորս գագաթները, որպեսզի մնացածները հեռացնեն։ Դա 4-կապանի 4 սիմպլիցիալ լավ ծածկույթով բազմանիստերից մեկն է, որը նշանակում է, որ գագաթների ամենաշատ անկախ բազմությունները ունեն նույն չափը։ Այդ հատկություններով մնացած երեք բազմանիստերն են հնգանկյուն երկբուրգը, սիամական դոդեկաէդրը և 12 գագաթներով և 20 եռանկյուն նիստերով անկանոն բազմանիստը[2]։
- Օկտաէդրը կարելի է ներգծել տետրաէդրին, ընդ որում օկտաէդրի 8 նիստերից 4-ը կլինեն համադրված տետրաէդրի չորս նիստերի հետ, օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները կլինեն համադրված տետրաէդրի վեց կողերի միջնակետերի հետ։
- Օկտաէդրը կարելի է ներգծել խորանարդին, ընդ որում օկտաէդրի բոլոր վեց գագաթները համադրված կլինեն խորանարդի վեց նիստերի կենտրոնների հետ։
- Օկտաէդրին կարելի է ներգծել խորանարդ, ընդ որում խորանարդի բոլոր ութ գագաթները տեղակայված կլինեն օկտաէդրի ութ նիստերի կենտրոններում։
Համասեռ գունավորում և սիմետրիա
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Գոյություն ունի համասեռ գունավորմամբ 5 օկտաէդրեր, անվանված են ըստ իրենց նիստերի գույների. 1212, 1112, 1111:
Օկտաէդրի համաչափության խումբ է հանդիսանում 48 կարգի Oh հիպերօկտաէդրալ եռաչափ խումբը։ Այդ խմբի ենթախմբերի կազմի մեջ է մտնում D3d (12 կարգի)՝ եռանկյուն անտիպրիզմայի համաչափության խումբը, D4h (16 կարգի)՝ քառակուսային երկբուրգի համաչափության խումբը և Td (24 կարգի)՝ ամբողջությամբ հատած տետրաէդրի համաչափության խումբ։ Այդ համաչափությունները կարելի է ընդգծել նիստերի տարատեսակ գունավորման ճանապարհով։
Անվանում | Օկտաէդր | Ամբողջությամբ
հատած տետրաէդր |
Եռանկյունային անտիպրիզմա | Քառակուսային երկբուրգ | Շեղանկյունային երկբուրգ |
---|---|---|---|---|---|
Պատկեր (Նիստերի գունավորում) |
![]() (1111) |
![]() (1212) |
![]() (1112) |
![]() (1111) |
![]() (1111) |
Շլեֆլիի սիմվոլ | {3,4} | r{3,3} | s{2,6} sr{2,3} |
ft{2,4} { } + {4} |
ftr{2,2} { } + { } + { } |
Վիտխոֆֆի սիմվոլ | 4 | 3 2 | 2 | 4 3 | 2 | 6 2 | 2 3 2 |
||
Համաչափություն | Oh, [4,3], (*432) | Td, [3,3], (*332) | D3d, [2+,6], (2*3) D3, [2,3]+, (322) |
D4h, [2,4], (*422) | D2h, [2,2], (*222) |
Կարգ | 48 | 24 | 12 6 |
16 | 8 |
Փռվածքներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Գոյություն ունի օկտաէդրի 12 փռվածք[3]։
Երկակիություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Օկտաէդրը երկակի է խորանարդին։
Հատույթ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Համասեռ տետրահեմիհեկսաէդրը համարվում է կանոնավոր օկտաէդրի տետրաէդրալ համաչափության հետ հատույթ, որը պահպանում է կողերի և գագաթների դասավորությունը։ Հատույթն ունի չորս եռանկյուն նիստեր և 3 կենտրոնական քառակուսի։
![]() Օկտաէդր |
![]() Տետրահեմիհեկսաէդր |
Ոչ կանոնավոր օկտաէդրեր
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Հաջորդ բազմանիստերը կոմբինատոր համարժեք են կանոնավոր օկտաէդրին։ Նրանք բոլորն ունեն վեց գագաթ, ութ եռանկյուն նիստեր և տասներկու կողեր, ինչը համապատասխանում է կանոնավոր օկտաէդրի պարամետրերին։
- Եռանկյուն անտիպրիզմաներ՝ երկու նիստերն իրենցից ներկայացնում են զուգահեռ հարթություններում ընկած և համաչափության ընդհանուր առանք ունեցող հավասարակողմ եռանկյուններ։ Մյուս վեց եռանկյունները հավասարակողմ են։
- Քառանկյուն երկբուրգեր, որի մեջ ամենաքիչը մեկ էկվատորիալ քառանկյունը ընկած է հարթության մեջ։ Կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է հատուկ դեպք, երբ բոլոր երեք քառանկյունները համդիսանում են հարթ քառակուսիներ։
- Շոնխարդտի բազմանիստ, ոչ ուռուցիկ բազմանիստ, որն առանց նոր գագաթներ ներմուծելու հնարավոր չէ տրոհել տետրաէդրերի։
Այլ ուռուցիկ ութանիստեր
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Ընդհանուր առմամբ, օկտաէդր կարող է անվանվել ութ նիստ ունեցող բազմանիստը։ Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 6 գագաթ և 12 կող՝ մինիմալ թիվ օկտաէդրի համար։ Ոչ կանոնավոր ութանիստերը կարող են ունենալ մինչև 12 գագաթ և 18 կող[3][4]։
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/Hexagonal_prism.png/100px-Hexagonal_prism.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/Uniform_polyhedron-33-t01.png/100px-Uniform_polyhedron-33-t01.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Tetragonal_trapezohedron.png/100px-Tetragonal_trapezohedron.png)
Գոյություն ունի 257 տոպոլոգիապես տարբեր ուռուցիկ ութանիստեր, հայելային արտապատկերումները բացառած[3]։ Մասնավորապես, գոյություն ունի 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 ութանիստեր համապատասխանաբար 6-ից մինչև 12 գագաթների թվով[5][6]։
Որոշ ոչ կանոնավոր ութանիստեր.
- Ութանկյուն պրիզմա. Երկու նիստերը հանդիսանում են զուգահեռ կանոնավոր վեցանկյուններ, վեց քառակուսիներ զույգ առ զույգ միացնում են վեցանկյունների համապատասխան կողմերը։
- Յոթանկյուն բուրգ. Մեկ նիստը հանդիսանում է յոթանկյուն (հիմնականում կանոնավոր), իսկ մնացած յոթ նիստերը հանդիսանում են եռանկյուններ (հիմնականում հավասարասրուն)։ Հնարավոր չէ, որպեսզի բոլոր եռանկյուն նիստերը լինեն հավասարակողմ։
- Հատած տետրաէդր. Տետրաէդրի չորս նիստերը հատվում են մինչև կանոնավոր վեցանկյուններ և հատած գագաթների տեղում ձևավորվում են երեք հավելյալ հավասարակողմ եռանկյուն նիստեր ։
- Քառանկյուն տրապեցոէդր. Ութ նիստերը կոնգրուենտ են դելտոիդներին։
Օկտաէդրերը ֆիզիկական աշխարհում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Օկտաէդրերը բնության մեջ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Fluorite_octahedron.jpg/220px-Fluorite_octahedron.jpg)
- Բնական մի շարք խորանարդային բյուրեղներ ունեն օկտաէդրի տեսք։ Դրանք են. ալմաստը, ալյումինակալիումի սուլֆատը, նատրիումի քլորիդը, պերովսկիտը, օլիվինը, ֆլյուորիտը, շպինելը։
- Օկտաէդրի ձև ունեն մաքուր մետաղների (նիկել, պղինձ, մագնեզիում, տիտան, լանթան և շատ ուրիշներ) պլատոնափաթեթային կառուցվածքների մեջ միջատոմային դատարկությունները (անցքեր)։
- Կամասիտի համաձուլվածքների թիթեղը օկտաէդրիտային երկնաքարերում տեղավորված են ութանիստ օկտաէդրի ութ նիստերին զուգահետ։
Օկտաէդրն արվեստի և մշակույթի մեջ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Rubiks_snake_octahedron.jpg/220px-Rubiks_snake_octahedron.jpg)
- Խաղերի մեջ օկտաէդրի տեսքի զառը կոչվում է «d8»:
- Եթե օկտաէդրի յուրաքանչյուր կող փոխարինենք միաօհմ ռեզիստրով, հանդիպակաց գագաթների միջև դիմադրությունը կկազմի 1/2 Օհմ, իսկ կից գագաթների միջև՝ 5/12 Օհմ[7].
- Երաժշտական յոթ նոտաներ օկտաէդրի գագաթների վրա կարելի է դասավորել այնպես, որ յուրաքանչյուր կող ներկայացնի ներդաշնակ զույգ, իսկ յուրաքանչյուր նիստ՝ ներդաշնակ եռյակ։
- Հակատանկային ոզնին ունի երեք շեղակի օկտաէդրի ձև։
Տետրաէդալ կապ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Կրկնվող տետրաէդրերից և օկտաէդրերից կազմված կմախքը 1950-ական թվականներին հայտնաբերել է Ֆուլլերը և այն հայտնի է որպես տարածական շրջանակ և համարվում է ամուր կառույց։
Կապված բազմանիստեր
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Կանոնավոր օկտաէդր կարելի է ստանալ իրար հաջորդող նիստերի վրա ավելացնելով չորս տետրաէդրեր։ Բոլոր ութ նիստերին տետրադրեր ավելացնելը ձևավորում է աստղաձև օկտաէդր։
![]() |
![]() |
Տետրաէդր | Աստղաձև օկտաէդր |
---|
Տետրատետրաէդր
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Կանոնավոր օկտաէդրը կարելի է դիտարկել որպես ամբողջական հատած տետրաէդր և կարող է անվանվել տետրատետրաէդր։ Դա կարելի է ցույց տալ երկու գույնով ներկված մոդելով։ Այդ գունավորմամբ օկտաէդրն ունենում է տետրաէդրալ համաչափություն։
Համաչափություն։ [3,3], (*332) | [3,3]+, (332) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
{3,3} | t{3,3} | r{3,3} | t{3,3} | {3,3} | rr{3,3} | tr{3,3} | sr{3,3} |
Երկակի բազմանիստեր | |||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
Օկտաեդրի հատկությունները
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Օկտաեդրին կարելի է ներգծել տետրաեդր, ընդ որում ութանիստի ութ նիստերից չորսը ընկած են տետրաեդրի չորս նիստերի հարթությունների վրա, օկտաեդրի բոլոր վեց գագաթները համընկնում են տետրաեդրի վեց կողերի միջնակետերին հետ։
- Օկտաեդրը կարելի է ներգծել խորանարդին, ընդ որում ութանիստի բոլոր վեց գագաթները ընկած կլինեն խորանարդի նիստերի կենտրոնների վրա։
- Օկտաեդրին կարելի է ներգծել խորանարդ, ընդ որում խորանարդի բոլոր ութ գագաթները կհամընկնեն օկտաեդրի ութ նիստերի կենտրոնների հետ։
- Կանոնավոր ութանիստը ունի համաչափության Oh կենտրոն, որը համընկնում է խորանարդի կենտրոնի հետ։
Ութանկյունը բնության մեջ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Բնության մեջ հանդիպող շատ բյուրեղներ ունեն հենց օկտաեդրի տեսք։ Օրինակ, ալմաստը, նատրիումի քլորիդը, պերովսկիտը, օլիվինը, ֆլյուորիտը, շպինելը։
-
Պերովսկիտ
-
Օլիվին
-
Ֆլյուորիտ
-
Շպինել
- Ութանիստի տեսք ունեն միջատոմային հեռավորությունները կիպ փաթեթվոչված մաքուր մետաղներում (նիկելի, պղնձի, մագնեզիումի, տիտանի, լանթանի և այլ մետաղների) ու իոնական միացություններում (նատրիումի քլորիդ, սֆալերիտ, վյուրցիտ և այլն)։
Տես նաև
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Ծանոթագրություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- ↑ Սելիվանով Դ. Ֆ., Երկրաչափական մարմին։ Բրոքհաուսի ու Եֆրոնի հանրագիտարանային բառարան 86 հատորով (82-րդ հատոր և 4 լրացուցիչ) 1890—1907
- ↑ Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer, 2010, էջ 894–912
- ↑ 3,0 3,1 3,2 Կաղապար:MathWorld3
- ↑ Steven Dutch. «Enumeration of Polyhedra». Արխիվացված է օրիգինալից 2011 թ․ հոկտեմբերի 10-ին. Վերցված է 2015 թ․ նոյեմբերի 8-ին.
- ↑ Counting polyhedra
- ↑ «Архивированная копия». Արխիվացված է օրիգինալից 2014 թ․ նոյեմբերի 17-ին. Վերցված է 2016 թ․ օգոստոսի 14-ին.
- ↑ Klein, 2002, էջ 633–649
Գրականություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Большая советская энциклопедия
- Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer On well-covered triangulations. III // Discrete Applied Mathematics. — 2010. — В. 8. — Т. 158. —
- Douglas J. Klein Resistance-Distance Sum Rules // Croatica Chemica Acta. — 2002. — В. 2. — Т. 75. Архивировано из первоисточника 10 Հունիսի 2007.
- R. Williams Chapter 5 The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979.
Արտաքին հղումներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Կաղապար:Mathworld
- Klitzing Polytopes, 3D convex uniform polyhedra
- Editable printable net of an octahedron with interactive 3D view
- Paper model of the octahedron
- K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra
- The Uniform Polyhedra
- Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
- Conway Notation for Polyhedra Try: dP4
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից։ ![]() |