Մատրից

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Մատրից գերմ.՝ Matrize, լատ.՝ matrix-աղբյուր, սկիզբ, n տողը m սյունակ ունեցող ուղղանկյուն աղյուսակ՝

\hat{A} =
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}
\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix} ,
\hat{A} = a_{ij}

որտեղ a_{ij} տարրերի (թվեր, ֆունկցիաներ և այլն) նկատմամբ կարելի է կատարել հանրահաշվական գործողություններ (nXm չափանի մատրից)։ Եթե n=m, ապա \hat{A} մատրիցը կոչվում է n-րդ կարգի քառակուսի մատրից, որի գլխավոր անկյունագծի a_{11}, a_{22}, ..., a_{nn} տարրերի գումարը կոչվում է \hat{A} մատրիցի հետք։ \hat{E} քառակուսի մատրիցը կոչվում է միավոր մատրից, եթե նրա գլխավոր անկյունագծի տարրերը 1-եր են, իսկ մյուս տարրերը՝ 0-ներ։ Միայն 0-ներից կազմված մատրիցներն են կոչվում զրոյական մատրիցներ։ Միևնույն չափանի \hat{A}=a_{ij}, \hat{B}=b_{ij} մատրիցների համար {\alpha{\hat{A}}}+{\beta{\hat{B}}} (\alpha-ն և \beta-ն թվեր են) գումարը որոշվում է \alpha\hat{A}+\beta\hat{B}= ({\alpha}{a_{ij}}+{\beta}{b_{ij}}) բանաձևով։ nXm - չափանի \hat{A} և nXk - չափանի \hat{B} մատրիցների արտադրյալը nXk -չափանի մատրից է և որոշվում է այսպես.

{\hat{A}}*{\hat{B}}= (a_{ij}b_{ij}+...a_{im}b_{mj}։

i=1, ..., n, j=1, ..., k

n-րդ կարգի բոլոր քառակուսի մատրիցների բազմությունը նշված գործողությունների նկատմամբ կազմում է զուգորդական օղակ, իսկ nXm -չափանի բոլոր մատրիցների բազմությունը՝ գծային-տարածություն։ \hat{A} մատրիցի որոշիչը նշանակվում է |\hat{A}| կամ det \hat{A}։ \hat{A} մատրիցի առավելագույն գծորեն անկախ տողերի (կամ սյունակների) թիվը կոչվում է մատրիցի ռանգ և նշանակվում՝ r (\hat{A}\hat{A} քառակուսի մատրիցը կոչվում է հակադարձելի, եթե գոյություն ունի այնպիսի \hat{A}^{-1} մատրից (կոչվում է \hat{A}-ի հակադարձ մատրից), որ \hat{A}\hat{A}^{-1}=\hat{A}^{-1}\hat{A}=\hat{E}։ Հայտնի են մատրիցների մի շարք կարևոր դասեր, սիմետրիկ, ինքնահամալուծ, ունիտար, մարկովյան, լյապունովյան, ժորդանյան և այլն։ Մաթեմատիկայում և կիրառություններում հանդիպում են նան այնպիսի մատրիցներ, որոնք կազմված են անվերջ թվով տողերից կամ սյունակներից, և այնպիսիներ, որոնց տարրերը պատկանում են որևէ օղակի։ Մատրիցները օգտակար միջոց են մաթեմատիկական և կիրառական շատ խնդիրներ լուծելու համար, օրինակ՝ գծային հավասարումների համակարգերի լուծման ժամանակ։ Դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության մեջ կարևոր է մատրիցի սեփական արժեքների և սեփական վեկտորների գտնելու խնդիրը։ Մատրիցները մեծ կիրառություն ունեն նաև քվանտային մեխանիկայում։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Հայկական սովետական հանրագիտարանից, որի նյութերը թողարկված են Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) թույլատրագրի ներքո։ CC-BY-SA-icon-80x15.png