Եռանկյան միջնագիծ

Եռանկյունը և նրա միջնագիծերը

Միջնագիծ (լատին․՝ mediāna) է կոչվում եռանկյան գագաթը նրա հանդիպակած կողմի միջնակետին միացնող գիծը։ Հաճախ միջնագիծ են անվանում նաև այդ հատվածը պարունակող ուղղին։ Միջնագծի եռանկյանը հատվող կետը կոչվում է միջնագծի հիմք։

Հիմնական հատկություններ

Բոլոր երեք միջնագծերը հատվում են նույն կետում, որը կոչվում է եռանկյան ծանրության կենտրոն, և այդ կետով կիսվում են երկու մասի 2:1 հարաբերությամբ (հաշված գագաթից)։

Հավասարասրուն եռանկյան միջնագծի հատկություններ

Հավասարասրուն եռանկյան երկու միջնագծերը տարված երկու հավասար կողմերին հավասար են, իսկ երրորդը՝ միաժամանակ հանդիսանում է նաև բարձրություն և կիսորդ։ Այստեղից հետևում է նաև, որ եթե եռանկյան երկու միջնագծերը հավասար են, ապա եռանկյունին հավասարասրուն է։

Հավասարակողմ եռանկյան երեք միջնագծերը հավասար են։

Միջնագծերի հիմքերի հատկություններ

Ինը կետերի Էյլերի թեորեմ

Կամայական եռանկյան երեք բարձրության կետերը, երեք կողմերի միջնակետերը (միջնագծերի հիմքերը), երեք հատվածների միջնակետերը՝ որոնք միացնում են գագաթը եռանկյան ծանրության կենտրոնի հետ, միասին գտնվում են մի շրջանի վրա, որը կոչվում է ինը կետերի շրջանագիծ։

Միջին գիծ

Եռանկյան երկու միջնագծերի հիմքերը միացնող հատվածը հանդիսանում է նրա միջին գիծ։ Եռանկյան միջին գիծը միշտ զուգահեռ է այն կողմին, որի հետ չունի ընդհանուր կետ։

Թալեսի թեորեմ (հետևություն)

Եռանկյան միջին գիծը հավասար է նրան զուգահեռ կողմի երկարության կեսին։

Այլ հատկություններ

• Եթե եռանկյունին հավասարակողմ չէ, ապա նրա ցանկացած գագաթից տարված կիսորդը գտնվում է նույն գագաթից տարված միջնագծի և բարձրության միջև։
• Միջնագիծը եռանկյունը բաժանում է երկու հավասարազոր մակերես ունեցող մասերի։
• Երեք միջնագծերի միջոցով եռանկյունը բաժանվում է վեց հավասարազոր եռանկյունների։
• Միջնագծերի հատվածներով կարելի է կառուցել եռանկյուն, որի մակերեսը հավասար կլինի եռանկյան մակերեսի 3/4֊ին։
• Ուղղանկյուն եռանկյան միջնագիծը, տարված ուղիղ անկյան գագաթից, հավասար է ներքնաձիգի կեսին։
• Եռանկյան մեծ կողմին համապատասխանում է փոքր միջնագիծը։
• Տրված միջնագծերով եռանկյունը գոյություն ունի, եթե փոքր միջնագծերի երկարությունների գումարը մեծ է երրորդ միջնագծի երկարությունից։

Հիմնական հարաբերակցություն

Տրված կողմերով եռանկյան միջնագծի հաշվման համար կիրառվում է Ապոլոնիուսի թեորեմը, որը դուրս է բերվում Ստյուարտի թեորեմի միջոցով։

$m_{c}={\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}}$, որտեղ $m_{c}$ ֊ն $c$ կողմի միջնագիծն է, իսկ $a,b,c$֊ն եռանկյան կողմերը։

Մասնավորապես կամայական եռանկյան միջնագծերի քառակուսիների գումարը կազմում է եռանկյան կողմերի քառակուսիների գումարի 3/4֊ին։

$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$.

• Կարելի է նաև արտահայտել կամայական կողմի երկարությունը միջնագծերի միջոցով:

$a={\frac {2}{3}}{\sqrt {2(m_{b}^{2}+m_{c}^{2})-m_{a}^{2}}}$, որտեղ $m_{a},m_{b},m_{c}$֊ն $a,b,c$ կողմերի համապատասխան միջնագծերն են։

Գրականություն

• Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника, 1902 год.

Արտաքին հղումներ

• Основные линии треугольника