Ապոլոնիուսի թեորեմ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Կանաչ + Կապույտ = Կարմիր

Ապոլոնիուսի թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան միջնագծի և նրա կողմերի երկարությունների միջև։

Ցանկացած ABC եռանկյան համար, որտեղ AD-ն միջնագիծ է, գոյություն ունի հետևյալ հավասարությունը


Ապոլոնիուս

Սա Ստյուարտի թեորեմի մասնավոր դեպք է։ Հավասարասրուն եռանկյան դեպքում այն վերածվում է Պյութագորասի թեորեմի։ Քանի որ զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվելիս կիսում են իրար, Ապոլոնիուսի թեորեմը համարժեք է զուգահեռագծերի օրենքին։

Թեորեմը իր անունը կրում է հին հույն գիտնական Ապոլլոնիոսի պատվին։

Ապացույց[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ապոլոնիուսի թեորեմի ապացույցը

Այս թեորեմը կարելի է դիտարկել որպես Ստյուարտի թեորեմ մասնավոր դեպք, այն կարելի է ապացուցել վեկտորների միջոցով։ Ստորև բերվում է մեկ այլ ապացույց, որն օգտագործում է կոսինուսների թեորեմը[1]:

Դիցուք a-ն, b-ն և c-ն որևէ եռանկյան կողմերն են, իսկ da-ին տարված միջնագիծն է։ Միջնագիծը a-ն կբաժանի երկու m = 1/2 a երկարությամբ հատվածների։ a-ի և d-ի միջև ընկած անկյունը նշանակենք θ, իսկ θ′-ով նշանակենք նրա կից անկյունը (հետևաբար, cos θ′ = −cos θ)։ Օգտվենք կոսինուսների թեորեմից՝ θ և θ′ անկյունների համար.

Այս երկու հավասարությունները գումարելով՝ կստանանք

որն էլ որ պահանջվում էր ապացուցել։

Տեսեք նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Աղբյուրներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. p. 20. https://books.google.am/books?id=LGsLAAAAYAAJ&pg=PA20#v=onepage.