Ստյուարտի թեորեմ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Diagram of Stewart's theorem

Ստյուարտի թեորեմը կապ է հատատում եռանկյան կողմերի և եռանկյան մի գագաթից դիմացի կողմին տարված հատողի երկարության միջև։ Թեորեմը անվանվել է շոտլանդացի մաթեմատիկոս Մեթյու Ստյուարտի պատվին, որը հրատարակել է թեորեմը 1746 թվականին։[1]

Թեորեմը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք -ն, -ն, և -ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են։ Եթե հատվածը բաժանում է կողմը և երկարությամբ հատվածների, ապա ըստ Ստյուարտի թեորեմի՝

Ապոլոնիուսի թեորեմը այս թեորեմի մասնավոր դեպքն է (երբ d-ն միջնագիծ է)։

Ապացույց[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թեորեմը կարելի է ապացուցել հետևյալ եղանակով.[2]

Դիցուք θ-ն m և d, իսկ θ′-ը՝ n և d հատվածների միջև ընկած անկյուններն են։ Սյդ անկյունները կից անկյուններ են, ուստի cos θ′ = −cos θ. Օգտվենք կոսինուսների թեորեմից θ և θ′ անկյունների համար.

Առաջին հավասարումը բազմապատկենք n-ով, իսկ երկրորդը՝ m-ով, և ապա գումարենք մեկը մյուսին՝

Աղբյուրներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. M. Stewart Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics (1746) "Proposition II"
  2. Follows Hutton & Gregory կամ էլ PlanetMath։

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]