Ստյուարտի թեորեմ

Diagram of Stewart's theorem

Ստյուարտի թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան կողմերի և եռանկյան մի գագաթից դիմացի կողմին տարված հատողի երկարության միջև։ Թեորեմը անվանվել է շոտլանդացի մաթեմատիկոս Մեթյու Ստյուարտի պատվին, որը հրատարակել է թեորեմը 1746 թվականին։

Թեորեմը

Դիցուք $a$-ն, $b$-ն, և $c$-ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են։ Եթե $d$ հատվածը բաժանում է $a$ կողմը $m$ և $n$ երկարությամբ հատվածների, ապա ըստ Ստյուարտի թեորեմի՝

$b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn)\,$

Ապոլոնիուսի թեորեմը այս թեորեմի մասնավոր դեպքն է (երբ d-ն միջնագիծ է)։

Ապացույց

Թեորեմը կարելի է ապացուցել հետևյալ եղանակով.

Դիցուք θ-ն m և d, իսկ θ′-ը՝ n և d հատվածների միջև ընկած անկյուններն են։ Սյդ անկյունները կից անկյուններ են, ուստի cos θ′ = −cos θ. Օգտվենք կոսինուսների թեորեմից θ և θ′ անկյունների համար.

${\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta .\,\end{aligned}}$

Առաջին հավասարումը բազմապատկենք n-ով, իսկ երկրորդը՝ m-ով, և ապա գումարենք մեկը մյուսին՝

${\begin{aligned}&b^{2}m+c^{2}n\\&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2})\\\end{aligned}}$

Արտաքին հղումներ

• Hutton C., Gregory O. (1843)։ A Course of Mathematics II։ Longman, Orme & co.։ էջ 219 
• [1] Թեորեմի մասին mathworld-ում
• [2] Archived 2009-12-19 at the Wayback Machine., [3] Archived 2011-05-13 at the Wayback Machine. Թեորեմի մասին planetmath-ում