Ինը կետերի շրջանագիծ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Ինը կետերը
Եռանկյուն, նրան արտագծված շրջանագիծ(սևը) և նրա կենտրոնը(սևը), եռանկյան բարձրությունները (բարձրության մաս, որը գտնվում է Էյլերի շրջանագծի ներսում՝ կապույտը և նրանից դուրս՝ սևը) և ինը կետերի շրջանագիծը(կապույտը) նրա կենտրոնը(կապույտը)։

Ինը կետերի շրջանագիծ, եռանկյան երեք կողմերի միջնակետերով անցնող շրջանագիծ։ Այն կոչվում է նաև Էյլերի շրջանագիծ, Ֆոյերբախի շրջանագիծ, վեց կետերի շրջանագիծ, տասներկու կետերի ներառյալ Ֆոյերբախի կետերը, շրջանագիծ։ Ինը կետերի շրջանագիծն այդ անվանումը ստացել է հետևյալ թեորեմից. Ցանկացած եռանկյան երեք բարձրությունների հիմքերը, նրա երեք կողմերի միջնակետերը և նրա գագաթները օրթոկենտրոնին միացնող երեք հատվածների միջնակետերը գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա։ Այլ կերպ ասած, ինը կետերի շրջանագիծը հանդիսանում է արտագծյալ շրջանագիծ հետևյալ եռանկյունների համար.

  • օրթոեռանկյուն
  • լրացուցիչ եռանկյուն
  • Էյլերի եռանկյուն (կամ Ֆոյերբախի եռանկյուն, Էյլեր-ֆոյերբախի եռանկյուն)- եռանկյուն, որի գագաթները տրված եռանկյան գագաթներն օրթոկենտրոնին միացնող երեք հատվածների միջնակետերն են։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ինը կետերի շրջանագիծն օժտված է մի շարք հատկություններով.

  • Ինը կետերի շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է Էյլերի ուղղի վրա, օրթոկենտրոնը և արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը միացնող հատվածի ճիշտ կենտրոնում։
9pcircle 04.png
  • Էյլերի շրջանագծի ինը կետերից երեքը համարվում են եռանկյան գագաթները օրթոկենտրոնին միացնող հատվածների միջնակետերը (Էյլեր-Ֆոյերբախի եռանկյան գագաթներ)։ Այդ երեք կետերը եռանկյան կողմերի միջնակետերի արտապատկերումն են ինը կետերի շրջանագծի կենտրոնի նկատմամաբ։
  • Ինը կետերի շրջանագծի կենտրոնը այնպիսի կենտրոնական սիմետրիայի կենտրոն է, որը կենտրոնական եռանկյունն (կամ լրացուցիչ եռանկյուն՝ եռանկյուն, որի գագաթները տրված եռանկյան կողմերի միջնակետերն են) արտապատկերում է Էյլեր-Ֆոյերբախի եռանկյան վրա և հակառակը։
  • Ինը կետերի շրջանագծի շառավիղը հավասար է արտագծյալ շրջանագծի շառավղի կեսին։
9pcircle03.svg
Nine-point circle.svg

Արտագծյալ շրջանագիծը ինը կետերի շրջանագծի կերպարն է օրթոկենտրոնը որպես կենտրոն ունեցող և 2 գործակցով հոմոտետիայի դեպքում։

  • Հոմոտետության (նմանության) այս հատկությունը նշանակում է, որ ինը կետերի շրջանագիծը կիսում է ցանկացած հատված, որը օրթոկենտրոնը միացնում է արտագծյալ շրջանագծի վրա գտնվող ցանկացած կետի։
  • Ֆոյերբախի թեորեմ։ Ցանկացած եռանկյան ինը կետերի շրջանագիծը շոշափում է այդ եռանկյան ներգծյալ և բոլոր երեք առգծած շրջանագծերը։[1]
  • Մավլոյի թեորեմ։[2] Եռանկյունն իր արտագծյալ շրջանագծի վրա արտաքնապես հատում է երեք այնպիսի աղեղներ, որ նրանցից մեծագույնի երկարությունը հավասար է մյուս երկու աղեղների երկարությունների գումարին։ Օրինակ, վերևի նկարում ըստ Մավլոյի թեորեմի ստացվում է հավասարություն. աղեղ IF = աղեղ HE + աղեղ GD։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Լեոնարդ Էյլերը 1765 թվականին ապացուցել է, որ բարձրությունների հիմքերը և կողմերի միջնակետերը գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա (այստեղից՝ «վեց կետերի շրջանագիծ» անվանումը)։ Վերջնական արդյունքի առաջին ամբողջական ապացույցը հրապարակել է Կարլ Ֆոյերբախը 1822 թվականին իր անունը կրող թեորեմի հետ միասին, սակայն կան կարծիքներ, որ այն հայտնի է եղել ավելի վաղ։

Ինը կետերի շրջանագծի և արտագծյալ շրջանագծի փոխդասավորության մասնավոր դեպքեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եռանկյան մեջ արտագծյալ շրջանագծի նկատմամաբ ինը կետերի շրջանագիծը (կամ Էյլերի շրջանագիծը) կարող է դասավորված լինել հետևյալ կերպ.

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Тони Крилли Математика: 50 идей, о которых нужно знать = 50 Mathematical Ideas you really need to know. — Phantom Press. — 209 с. — ISBN 9785864716700
  2. Д. П., Мавло (2004), «Красивые свойства замечательных тел», Математика в школi (Украина) (№ 3): 265–269