Մահավիրա (մաթեմատիկոս)

Մահավիրա սանսկրիտ՝ মহাবীর մալայալամ՝ മഹാവീരൻ
Ծնվել է	մոտ 817 ենթդ․ Մայսուր, Մայսուրի թագավորություն, Բրիտանական Հնդկաստան, Բրիտանական կայսրություն
Մահացել է	մոտ 875 ենթդ․ Հինդուստան
Դավանանք	Ջայնիզմ
Մասնագիտություն	մաթեմատիկոս

Մահավիրա (կամ Մահավիրաչարյա, «Մահավիրա Ուսուցիչ»), 9-րդ դարի հնդիկ Ջեյն մաթեմատիկոս, որը հավանաբար ծնվել է Հնդկաստանի Միսոր քաղաքում։ Նա հեղինակ է Գանիտա-սարա-սանգրահա (Գանիտա-սարա-սանգրահա) կամ մաթեմատիկայի էության ամփոփագիր 850 թ..: Նրան հովանավորում էր Ռաշտրակուտայի Ամողավարշա կայսրը։ Նա առանձնացրեց աստղագիտությունը մաթեմատիկայից։ Այն ամենավաղ հնդկական տեքստն է, որն ամբողջությամբ նվիրված է մաթեմատիկային։ Նա բացատրեց նույն թեմաները, որոնց շուրջ վիճում էին Արյաբհատան և Բրահմագուպտան, բայց նա դրանք ավելի հստակ արտահայտեց։ Նրա աշխատանքը հանրահաշվի նկատմամբ խիստ համաժամանակյա մոտեցում է և նրա տեքստի մեծ մասում շեշտը դրված է հանրահաշվական գործողությունների լուծման համար անհրաժեշտ տեխնիկայի մշակման վրա։ Նա մեծ հարգանք է վայելում հնդիկ մաթեմատիկոսների շրջանում, քանի որ իր տերմինաբանությունը հաստատել է այնպիսի հասկացությունների համար, ինչպիսիք են հավասարակողմ և հավասարասրուն եռանկյուն, շրջան և կիսաշրջան:Մահավիրայի վեհությունը տարածվեց ողջ հարավային Հնդկաստանում, և նրա գրքերը ոգեշնչող եղան Հարավային Հնդկաստանի այլ մաթեմատիկոսների համար։ Այն թելուգու լեզվով թարգմանվել է Պավուլուրի Մալլանայի կողմից որպես Սաարա Սանգրահա Գանիտամու։

Նա հայտնաբերել է հանրահաշվական նույնություններ, ինչպիսիք են a³ = a (a + b) (a − b) + b² (a − b) + b³. Նա պարզել է նաև ⁿC_r բանաձևը
[n (n − 1) (n − 2) ... (n − r + 1)] / [r (r − 1) (r − 2) ... 2 * 1]: Նա մշակեց մի բանաձև, որը մոտավորեցրեց էլիպսների մակերեսը և պարագծերը և գտավ թվի քառակուսի և թվի խորանարդ արմատները հաշվարկելու մեթոդներ ։ Նա պնդում էր, որ բացասական թվի քառակուսի արմատ գոյություն չունի։

Կոտորակների տարրալուծման կանոններ

Մահավիրայի Գանիտա-սարա-սանգրահա-ն տվել է կոտորակը որպես միավոր կոտորակների գումար արտահայտելու համակարգված կանոններ։ Սա հետևում է վեդայական ժամանակաշրջանում հնդկական մաթեմատիկայի միավորների կոտորակների օգտագործմանը, և Սուլբա Սուտրաները, որոնք տալիս են √2 մոտավոր համարժեք է $1+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3\cdot 4}}-{\tfrac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}$.:

Գանիտա-սարա-սանգրահա(ԳՍՍ)-ում թվաբանության մասին գլխի երկրորդ բաժինը կոչվում է Լալա-սավարնա-վյավահարա (լիտ. «կոտորակների կրճատման գործողություն»)։ Սրանում բհագաջատի բաժինը (հատվածներ 55–98) տալիս է հետևյալ կանոնները.:

• 1-ը արտահայտել n միավոր կոտորակների գումար (ԳՍՍ կալասավարնա 75, օրինակներ 76-ում)։

rūpāṃśakarāśīnāṃ rūpādyās triguṇitā harāḥ kramaśaḥ / dvidvitryaṃśābhyastāv ādimacaramau phale rūpe //

Երբ արդյունքը մեկն է, մեկ համարիչ ունեցող մեծությունների հայտարարները, որոնք սկսվում են մեկով և բազմապատկվում են երեքով, ըստ հերթականության։ առաջինը և վերջինը բազմապատկվում են երկու և երկու երրորդով [համապատասխանաբար]։

$1={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{3^{n-2}}}+{\frac {1}{{\frac {2}{3}}\cdot 3^{n-1}}}$

• 1 արտահայտել որպես միավոր կոտորակների կենտ թվի գումար (ԳՍՍ կալասավարնա 77)։

$1={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 1/2}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 1/2}}+\dots +{\frac {1}{(2n-1)\cdot 2n\cdot 1/2}}+{\frac {1}{2n\cdot 1/2}}$

• Միավոր կոտորակ արտահայտելու համար $1/q$ որպես տրված համարիչներով n այլ կոտորակների գումար $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ (ԳՍՍ կալասավարնա 78, օրինակներ 79)։

${\frac {1}{q}}={\frac {a_{1}}{q(q+a_{1})}}+{\frac {a_{2}}{(q+a_{1})(q+a_{1}+a_{2})}}+\dots +{\frac {a_{n-1}}{(q+a_{1}+\dots +a_{n-2})(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}+{\frac {a_{n}}{a_{n}(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}$

• Ցանկացած կոտորակ արտահայտելու համար $p/q$ որպես միավոր կոտորակների գումար (ԳՍՍ կալասավարնա 80, օրինակներ 81)։

Ընտրել ամբողջ թիվ i այնպես, որ ${\tfrac {q+i}{p}}$ ամբողջ թիվ r, այնուհետև

${\frac {p}{q}}={\frac {1}{r}}+{\frac {i}{r\cdot q}}$

և կրկնել գործընթացը երկրորդի համար՝ ռեկուրսիվ։ (Նկատի ունենալ, որ եթե i-ն միշտ ընտրվում է որպես այդպիսի ամենափոքր ամբողջ թիվը, դա նույնական է եգիպտական կոտորակների ալգորիթմին:)

• Միավոր կոտորակն արտահայտել երկու այլ միավոր կոտորակների գումարով (ԳՍՍ կալասավարնա 85, օրինակներ 86)։

${\frac {1}{n}}={\frac {1}{p\cdot n}}+{\frac {1}{\frac {p\cdot n}{n-1}}}$, որտեղ $p$ պետք է ընտրվի այնպես, որ ${\frac {p\cdot n}{n-1}}$ամբողջ թիվ է ( $p$ պետք է լինի բազմապատիկ $n-1$).

${\frac {1}{a\cdot b}}={\frac {1}{a(a+b)}}+{\frac {1}{b(a+b)}}$

• Կոտորակ արտահայտելու համար՝ $p/q$, որպես տրված $a$ և $b$ համարիչներով երկու այլ կոտորակների գումար (ԳՍՍ կալասավարնա 87, օրինակներ 88)։

${\frac {p}{q}}={\frac {a}{{\frac {ai+b}{p}}\cdot {\frac {q}{i}}}}+{\frac {b}{{\frac {ai+b}{p}}\cdot {\frac {q}{i}}\cdot {i}}}$,որտեղ $i$ պետք է ընտրվի այնպես, որ $p$ բաժանվում է $ai+b$

Որոշ այլ կանոններ տրվել են 14-րդ դարում Նարայանայի Գանիտա-կաումուդիում։

Արտաքին հղումներ

• Bibhutibhusan Datta and Avadhesh Narayan Singh (1962). History of Hindu Mathematics: A Source Book.
• Կաղապար:DSB (Available, along with many other entries from other encyclopaedias for other Mahāvīra-s, online.)
• Selin, Helaine (2008), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, Bibcode:2008ehst.book.....S, ISBN 978-1-4020-4559-2
• Hayashi, Takao (2013), «Mahavira», Encyclopædia Britannica
• Tabak, John (2009), Algebra: Sets, Symbols, and the Language of Thought, Infobase Publishing, ISBN 978-0-8160-6875-3
• Krebs, Robert E. (2004), Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the Middle Ages and the Renaissance, Greenwood Publishing Group, ISBN 978-0-313-32433-8
• Puttaswamy, T.K (2012), Mathematical Achievements of Pre-modern Indian Mathematicians, Newnes, ISBN 978-0-12-397938-4
• Kusuba, Takanori (2004), «Indian Rules for the Decomposition of Fractions», in Charles Burnett; Jan P. Hogendijk; Kim Plofker; և այլք: (eds.), Studies in the History of the Exact Sciences in Honour of David Pingree, Brill, ISBN 9004132023, ISSN 0169-8729