Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ - էլեմենտար ֆունկցիաներ են, որոնք պատմականորեն առաջացել են ուղղանկյուն եռանկյունների ուսումնասիրման ժամանակ և արտահայտում են եռանկյան էջերի կախվածությունը սուր անկյուններից և ներքնաձիգից։ Այս ֆունկցիաները լայն տարածում են գտել գիտության ամենատարբեր բնագավառներում, ինչի արդյունքում ընդլայնվել է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը։ Այժմ արգումենտը կարող է լինել ինչպես կամայական իրական թիվ, այնպես էլ կոմպլեքս թիվ։

Գիտությունը, որն ուսումնասիրում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, կոչվում է եռանկյունաչափություն։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների են համարվում՝

ուղիղ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.
  • սինուս (\sin x)
  • կոսինուս (\cos x)
ածանցյալ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.
  • տանգես (\mathrm{tg}\, x)
  • կոտանգես (\mathrm{ctg}\, x)
այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.
  • սեկանս (\sec x)
  • կոսեկանս (\mathrm{cosec}\, x)

Արևմտյան գրականություն մեջ տանգեսը, կոտանգեսը և կոսեկանսը հաճախ նշանակում են \tan x, \cot x, \csc x։
Բացի այս վեց ֆունկցիաներից, գոյություն ունեն նաև հազվադեպ օգտագործվող եռանկյունաչափական որոշ ֆունկցիաներ (վերսինուս և այլն), ինչպես նաև հակառակ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ (արկսինուս, արկկոսինուս և այլն)։

Իրական արգումենտի սինուս և կոսինուս ֆունկցիաները հանդիսանում են պարբերական, անընդհատ և անսահմանափակ դիֆֆերենցացվող իրական ֆունկցիաներ։ Մյուս չորս ֆունկցիաներն իրական առանցքի վրա նույնպես իրական են, պարբերական են և անսահմանափակ դիֆֆերենցացվող են որոշման տիրույթում, բայց անընդհատ չեն։ Տանգեսը և սեկանսն ունեն երկրորդ կարգի խզումներ \pm \pi n + \frac{\pi}{2} կետերում, իսկ կոտանգեսը և կոսեկանսը՝ \pm \pi n կետերում։

Ներկայացման մեթոդները[խմբագրել]

Երկրաչափական մեթոդ[խմբագրել]

Նկ. 1 Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի որոշումը
Նկ. 2 Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, R=1

Սովորաբար եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներկայացվում են երկրաչափորեն։ Դիցուք, հարթության վրա մեզ տրված է դեկարտյան կոորդինատական համակարգը, և կառուցված է R շառավղով շրջանագիծ, որի կենտրոնը գտնվում է կոորդինատի O սկզբնակետում։ Չափենք անկյունները որպես աբսցիսների առանցքի դրական ուղղությամբ պտույտներ մինչև OB ճառագայթը։ Ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությունը համարվում է դրական, իսկ ժամացույցի սլաքով՝ բացասական։ B կետի աբսցիսը նշանակենք x_B, իսկ օրդինատը նշանակենք y_B (տես Նկ. 1)։

  • Սինուս կոչվում է հետևյալ հարաբերությունը՝ \sin \alpha=\frac{y_B}{R}:
  • Կոսինուս կոչվում հետևյալ հարաբերությունը՝ \cos \alpha=\frac{x_B}{R}:
  • Տանգեսը որոշվում է՝ \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}:
  • Կոտանգեսը որոշվում է՝ \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}:
  • Սեկանսը որոշվում է՝ \sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}:
  • Կոսեկանսը որոշվում է՝ \operatorname{cosec} \alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{R}{y_B}:

Ակնհայտ է, որ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը կախված չէ շրջանագծի R շառավղի մեծությունից, համաձայն պատկերների հատկությունների նմանությունից։ Հաճախ այդ շառավղի արժեքը ընդունում են հավաար միավոր հատվածի մեծությանը։ Այս դեպքում սինուսի արժեքը ուղղակի հավասար է y_B օրդինատին, իսկ կոսինուսը՝ x_B աբսցիսը։ Նակար 2-ում ցույց է տրված միավոր շառավիղ ունեցող եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները։
Եթե \alpha-ն իրական թիվ է, ապա \alpha-ի սինուսը մաթեմատիկական անալիզում կոչվում է անկյան սինուս, որի ռադիանային մեծությունը հավասար է \alpha-ի, նման ձևով նաև մյուս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի որոշումը սուր անկյան մեթոդով[խմբագրել]

Նկ. 3 Եռանյունաչափական ֆունկցիայի հաշվում սուր անկյունով

Բոլոր տարրական երկրաչափության դասագրքերում մինչ օրս սուր անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիան հաշվվում է որպես ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերությունը։ Դիցուք OAB-ն ուղղանկյուն եռանկյուն է \alpha անկյունով (տես Նկ. 3)։ Այդ դեպքում՝

  • \alpha անկյան սինուսը կոչվում է \frac{AB}{OB} հարաբերությունը (դիմացի էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին)։
  • \alpha անկյան կոսինուսը կոչվում է \frac{OA}{OB} հարաբերությունը (կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին)։
  • \alpha անկյան տանգես կոչվում է \frac{AB}{OA} հարաբերությունը (դիմացի էջի հարաբերությունը կից էջին)։
  • \alpha անկյան կոտանգես կոչվում է \frac{OA}{AB} հարաբերությունը (կից էջի հարաբերությունը դիմացի էջին)։
  • \alpha անկյան սեկանս կոչվում է \frac{OB}{OA} հարաբերությունը (ներքնաձիգի հարաբերությունը կից էջին)։
  • \alpha անկյան կոսեկանս կոչվում է \frac{OB}{AB} հարաբերությունը (ներքնաձիգի հարաբերությունը դիմացի էջին)։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները որոշ անկյունների համար[խմբագրել]

Սինուս, կոսինուս, տանգես, կոտանգես, սեկանս և կոսեկանսի արժեքները որոշ անկյուների համար բերված են աղյուսակում ({\infty}\,\! - նշանակում է, որ ֆունկցիան նշված կետում որոշված չէ, իսկ նրա շրջակայքում ձգտում է անվերջության)։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները որոշ անկյունների համար /Աղյուսակ 1/
 \alpha \,\! 0°(0 ռադ) 30° (\pi/6) 45° (\pi/4) 60° (\pi/3) 90° (\pi/2) 180° (\pi) 270° (3\pi/2) 360° (2\pi)
 \sin \alpha \,\! {0} \,\!  \frac{1}{2}\,\!  \frac{\sqrt{2}}{2}\,\!  \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\! {1}\,\! {0}\,\! {-1}\,\! {0}\,\!
 \cos \alpha \,\! {1} \,\!   \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!  \frac{\sqrt{2}}{2}\,\!  \frac{1}{2}\,\! {0}\,\! {-1}\,\! {0}\,\! {1}\,\!
 \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,\! {0} \,\!  \frac{\sqrt{3}}{3}\,\!  {1}\,\!   \sqrt{3}\,\! {\infty}\,\! {0}\,\! {\infty}\,\! {0}\,\!
 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,\! {\infty}\,\!   \sqrt{3}\,\! {1} \,\!  \frac{\sqrt{3}}{3}\,\!  {0}\,\! {\infty}\,\! {0}\,\! {\infty}\,\!
 \sec \alpha \,\! {1} \,\!   \frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\!   \sqrt{2}\,\!  {2}\,\! {\infty}\,\! {-1}\,\! {\infty}\,\!  {1}\,\!
 \operatorname{cosec}\, \alpha \,\! {\infty}\,\!  {2}\,\!   \sqrt{2}\,\!  \frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\! {1}\,\! {\infty}\,\! {-1}\,\! {\infty}\,\!


Կոսինուսի և սինուսի արժեքները շրջանագծի վրա[խմբագրել]


Նկ. 4 Կոսինուսի և սինուսի արժեքները շրջանագծի վրա


Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները ոչստանդարտ անկյունների համար /Աղյուսակ 2/
\alpha\, \frac{2\pi}{3} = 120^\circ \frac{3\pi}{4} = 135^\circ \frac{5\pi}{6} = 150^\circ \frac{7\pi}{6} = 210^\circ \frac{5\pi}{4} = 225^\circ \frac{4\pi}{3} = 240^\circ \frac{5\pi}{3} = 300^\circ \frac{7\pi}{4} = 315^\circ \frac{11\pi}{6} = 330^\circ
\sin \alpha\, \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2}
\cos \alpha\, -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}
\operatorname{tg}\,\alpha -\sqrt{3} {-1}\,\! -\frac{\sqrt{3}}{3} \frac{\sqrt{3}}{3} {1}\,\! \sqrt{3} -\sqrt{3} {-1}\,\! -\frac{\sqrt{3}}{3}
\operatorname{ctg}\,\alpha -\frac{\sqrt{3}}{3} {-1}\,\! -\sqrt{3} \sqrt{3} {1}\,\! \frac{\sqrt{3}}{3} -\frac{\sqrt{3}}{3} {-1}\,\! -\sqrt{3}
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները ոչստանդարտ անկյունների համար /Աղյուսակ 3/
\alpha\, \frac{\pi}{12} = 15^\circ \frac{\pi}{10} = 18^\circ \frac{\pi}{8} = 22{{,}}5^\circ \frac{\pi}{5} = 36^\circ \frac{3\,\pi}{10} = 54^\circ \frac{3\,\pi}{8} = 67{{,}}5^\circ \frac{2\,\pi}{5} = 72^\circ \frac{5\,\pi}{12} = 75^\circ
\sin \alpha\, \frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5}-1}{4} \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5}+1}{4} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}}
\cos \alpha\, \frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5}+1}{4} \frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5}-1}{4} \frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}}
\operatorname{tg}\,\alpha 2-\sqrt{3} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{2}-1 \sqrt{5-2\,\sqrt{5}} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{2}+1 \sqrt{5+2\,\sqrt{5}} 2 + \sqrt{3}
\operatorname{ctg}\,\alpha 2 + \sqrt{3} \sqrt{5+2\,\sqrt{5}} \sqrt{2}+1 \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{5-2\,\sqrt{5}} \sqrt{2}-1 \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} 2-\sqrt{3}

Պարզագույն նույնություններ[խմբագրել]

Հիմնական հոդված՝ Եռանկյունաչափական նույնություններ։
Քանի որ միավոր շրջանագծի վրա գտնվող կետի սինուսը և կոսինուսը հանդիսանում են համապատասխանաբար \alpha անկյան օրդինատը և աբսցիսը, հետևաբար, համաձայն Պյութագորասի թեորեմայի ունենք՝

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.\,

Այս արտահայտությունը կոչվում է հիմնական եռանկյունաչափական բանաձև։
Այս հավասարման ձախ և աջ մասերը բաժանելով կոսինուսի և սինուսի քառակուսիների վրա արդյունքում կստանանք՝

 1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha},\,
 1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha},\,
 \mathop{\mathrm{tg}}\,\alpha  \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1:

Զույգություն[խմբագրել]

Կոսինուս և սեկանս ֆունկցիաները զույգ են, իսկ մյուս ֆունկցիաները՝ կենտ, այսինքն՝

 \sin \left( - \alpha \right)  =  - \sin \alpha \,,
 \cos \left( - \alpha \right)  =  \cos \alpha \,,
 \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,
 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,
 \sec \left( - \alpha \right)  =  \sec \alpha \,,
 \mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,:

Անընդհատություն[խմբագրել]

Սինուսը և կոսինուսը անընդհատ ֆունկցիա են։ Մյուս ֆունկցիաները անընդհատ չեն։ Տանգեսի և սեկանսի խզման կետերն են \pm90^\circ,\;\pm270^\circ,\;\pm450^\circ,\;\dots, իսկ կոտանգեսի և կոսեկանսի խզման կետերն են 0^\circ,\;\pm180^\circ,\;\pm360^\circ,\;\dots.:

Պարբերականություն[խմբագրել]

 y = \mathop{\mathrm{sin}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{cos}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{sec}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{cosec}}\, x  ֆունկցիաներ պարբերական են 2\pi պարբերությամբ, իսկ  y = \mathop{\mathrm{tg}} \,x և  y = \mathop{\mathrm{ctg}} \,x ֆունկցիաները՝ \pi պարբերությամբ։

Բերման բանաձևեր[խմբագրել]

\beta\, \frac{\pi}{2} + \alpha \pi + \alpha\, \frac{3\,\pi}{2} + \alpha \frac{\pi}{2} - \alpha \pi - \alpha\, \frac{3\,\pi}{2} - \alpha 2\,\pi - \alpha
\sin\beta\, \cos\alpha\, -\sin\alpha\, -\cos\alpha\, \cos\alpha\, \sin\alpha\, -\cos\alpha\, -\sin\alpha\,
\cos\beta\, -\sin\alpha\, -\cos\alpha\, \sin\alpha\, \sin\alpha\, -\cos\alpha\, -\sin\alpha\, \cos\alpha\,
\operatorname{tg}\,\beta -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha
\operatorname{ctg}\,\beta -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha

Գումարի բանաձևեր[խմբագրել]

Երկու անկյունների գումարի և տարբերության եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները՝

 \sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,
 \cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,
 \operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\,\alpha \, \operatorname{tg}\,\beta},
 \operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatorname{ctg}\,\beta \pm \operatorname{ctg}\,\alpha}:

Նույն ձևով երեք անկյունների գումարի բանաձևերը ունեն այսպիսի տեսք՝

\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,
\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma:

Կրկնակի անկյան բանաձևերը[խմբագրել]

Կրկնակի անկյան բանաձևերը՝

\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
\operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
\operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}:

Եռակի անկյան բանաձևերը[խմբագրել]

Եռակի անկյան բանաձևերը՝

\sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,
\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,
\operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},
\operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}:

Արտադրյալի բանաձևեր[խմբագրել]

Ֆունկցիաների արտադրյալի բանաձևերը՝

\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},
\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},
\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2}:

Քառակուսիների բանաձևեր[խմբագրել]

Ֆունկցիաների քառակուսիների բանաձևերը՝

\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{2},
\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{2},
\operatorname{tg}^2\,\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{1 + \cos 2\,\alpha},
\operatorname{ctg}^2\,\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{1 - \cos 2\,\alpha}:

Գումարի բանաձևեր[խմբագրել]

Ֆունկցիաների գումարի բանաձևերը՝

 \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2},
 \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2},
 \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2},
 \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta},
 \operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{\sin (\beta \pm \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta}:

Ածանցյալներ[խմբագրել]

Բոլոր եռանկյունաչափական ֆուկցիաները անընդհատ են և անսահմանափակ դիֆֆերենցելի որոշման ամբողջ տիրույթի վրա։
( \sin x )' = \cos x \,,
( \cos x )' = -\sin x \,,
( \mathop{\operatorname{tg}}\, x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},
( \mathop{\operatorname{ctg}}\, x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x},
( \sec x)' = \frac{\sin x}{\cos ^2 x},
( \operatorname{cosec}~x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}:

Ինտեգրալներ[խմբագրել]

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալները որոշման ամբողջ տիրույթի վրա արտահայտվում են էլեմենտար ֆունկցիաներով հետևյալ ձևով՝
\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,
\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,
\int\mathop{\operatorname{tg}}\, x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,
\int\mathop{\operatorname{ctg}}\, x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C \,,
\int\sec x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C \,,
\int \operatorname{cosec}~ x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \frac{x}{2} \right|+ C:

Եռնակյունաչափական ֆունկցիաներ կոմպլեքս արգումենտով[խմբագրել]

Սահմանում[խմբագրել]

Էյլերի բանաձև՝  e^{i \vartheta} = \cos\vartheta + i\sin\vartheta \,: Հանրավորություն է տալիս որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիան կոմպլեքս արգումենտով աստիճանի միջոցով կամ (շարքեր օգնությամբ) ինչպես նրանց իրական անալոգների անալիտիկ շարունակություն՝

\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}\, = \frac{\operatorname{sh}  i z }{i},
\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}\, = \operatorname{ch} i z,
\operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{i(e^{i z} + e^{-i z})},
\operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{i z} + e^{-i z})}{e^{i z} - e^{-i z}},
\sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{i z} + e^{-i z}},
\operatorname{cosec}\, z = \frac{1}{\sin z} = \frac{2i}{e^{i z} - e^{-i z}},\, որտեղ i^2=-1:\,

Համապատասխանաբար, իրական x-ի համար.

\cos x = \operatorname{Re}(e^{i x}), \,
\sin x = \operatorname{Im}(e^{i x}) : \,

Կոմպլեքս սիուսը և կոսինուսը սերտ փոխկապակցված են հիպերբոլիկ ֆունկցիաների հետ.

\sin (x + iy) = \sin x\, \operatorname{ch}\, y + i \cos x\, \operatorname{sh}\, y,\,
\cos (x + iy) = \cos x\, \operatorname{ch}\, y - i \sin x\, \operatorname{sh}\, y :\,

Վերևում թվարկված եռանկյունաչական ֆունկցիաների հատկությունները հիմնականում պահպանվում են նաև կոմպեքսի դեպքում։ Որոշ լրացուցիչ հատկություններ՝

  • կոմպլեք սինուսը և կոսինուսը, ի տարբերություն իրականների, կարող են ընդունել ինչքան հնարավոր է շատ մոդուլով արժեքներ,
  • կոմպլեքս սինուսի և կոսինուսի բոլոր զրոները գտնվում են իրական առանցքի վրա։