Սինուսների թեորեմ

Եռանկյուն

Սինուսների թեորեմը պնդում է, որ եռանկյան կողմերը համեմատական են հանդիպակաց անկյունների սինուսներին՝

$\frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C},$

Սինուսների թեորեմից հետևում է, որ եռանկյան մեծ անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմ, մեծ կողմի դիմաց՝ մեծ անկյուն։

Ապացույց

Ենթադրենք ունենք a, b, և c կողմեր ունեցող եռանկյուն, և այդ կողմերի հանդիպակաց անկյուններն են A-ն, B-ն, and C-ն։ C գագաթից տարվծ բարձրությունը եռանկյունը բաժանում է երկու ուղղանկյուն եռանկյունիների։ Նշանակենք բարձրությունը h-ով։

Այդ դեպքում․

$\sin A = \frac{h}{b}\text{ և } \sin B = \frac{h}{a}.$

Հետևաբար,

$h = b \sin A = a\sin B \,$

և

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$։

Նույն գործողությունները A գագաթից տարված բարձրության հետ անելիս՝ կստանանք

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$։