Կոսինուսների թեորեմ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Եռանկյուն

Կոսինուսների թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան կողմերի երկարությունների և երկու կողմերի միջև ընկած անկյան կոսինուսի միջև։

Թեորմի ձևակերպումը.

Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին՝ հանած այդ կողմերի և նրանցով կազմված անկյան կոսինուսի կրկնապատիկ արտադրյալը՝
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\ ։

Այն հանդիսանում է Պյութագորասի թեորեմի ընդհանրացված տարբերակը։ Երբ γ անկյունը ուղիղ է (90° կամ π/2 ռադիան), կոսինուսների թեորեմը վերածվում է Պյութագորասի թեորեմին.

c^2 = a^2 + b^2 \,

Եռանկյան տարբեր կողմերի միջև ընկած անկյունները ընտրելիս՝ այն կստանա հետևյալ տեսքը.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\,
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta\,։

Ապացույց եռանկյունաչափական մեթոդով[խմբագրել]

Նկար 1

c կողմին ուղղահայ տարեք (Նկար 1). այդ դեպքում

c=a\cos\beta+b\cos\alpha\,.

Երկու կողմերը բազմապատկելով c-ով՝, կստանաք

c^2 = ac\cos\beta + bc\cos\alpha.\,

Մյուս ուղղահայցները տանելով՝ կստանաք

a^2 = ac\cos\beta + ab\cos\gamma,\,
b^2 = bc\cos\alpha + ab\cos\gamma.\,

Վերջին երկու հավասարությունները գումարելով՝ կստանաք

a^2 + b^2 = ac\cos\beta + bc\cos\alpha + 2ab\cos\gamma.\,

Առաջին հավասարումը եկրկորդ հավասարումից հանելով՝ կստանանք

a^2 + b^2 - c^2 = - ac\cos\beta - bc\cos\alpha+ ac\cos\beta + bc\cos\alpha + 2ab\cos\gamma\,

որը կարելի է պարզեցնել հետևյալ տեսքի.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma.\,

Այս ապացուցման հարմարությոնը կայանում է նրանում, որ կարիք չկա առանձին դիտարկել սուր և բութ γ անկյան դեպքերը։

Ապացույց վեկտորների օգտագործմամբ[խմբագրել]

Թեորեմը կարելի է ապացուցել՝ օգտվելով վեկտորների գումարման կանոնից և վեկտորների սկալյար արտադրյալի բանաձևից

\vec b\cdot \vec c = \Vert \vec b\Vert\Vert\vec c\Vert\cos \theta։
Նկար 2 — Վեկտորական եռանկյուն

Նկար 2-ից երևում է, որ

\vec a=\vec b-\vec c\,,։

Հաշվի առնելով դա՝


\begin{align}
\Vert\vec a\Vert^2 & = \Vert\vec b - \vec c\Vert^2 \\
& = (\vec b - \vec c)\cdot(\vec b - \vec c) \\
& = \Vert\vec b \Vert^2 + \Vert\vec c \Vert^2 - 2 \vec b\cdot\vec c.
\end{align}
։

Այսպիսով, ստացանք

\Vert\vec a\Vert^2 = \Vert\vec b \Vert^2 + \Vert\vec c \Vert^2 - 2 \Vert \vec b\Vert\Vert\vec c\Vert\cos(\theta), \,

որը համարժեք է կոսինուսների թեորեմիհավասարմանը։