Եռանկյունաչափության պատմություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Երկրաչափական չափումներ (XVII դարի նկար)

Եռանկյունաչափության պատմություն, տարբեր երկրաչափական մարմիների անկյունների ու կողմերի հարաբերությունների մասին գիտություն, ներառում է ավելի քան երկու հազարամյակ։ Նման հարաբերությունների մեծամասնությունը հնարավոր չէ ներկայացնել պարզ հանրահաշվական գործողությունների միջոցով։ Այդ իսկ պատճառով անհրաժեշտություն առաջացավ նոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ներմուծման։ Սկզբում այն արտահայտվում էր թվային աղյյուսակների ձևով։

Պատմաբանները կարծում են, որ եռանկյունաչափությունը հիմնադրել են հին աստղագետները, իսկ ավելի ուշ դրանից սկսել են օգտվել նաև գեոդեզիայում ու ճարտարապետությունում։ Ժամանակի հետ եռանկյունաչափության կիրառությունը սկսեց տարածվել։ Ներկայումս այն կիրառվում է գրեթե բոլոր բնագիտական, տեխնիկական ու նմանատիպ այլ գիտություններում[1]։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները հատկապես օգտկար եղան տատանողական պրոցեսների նկարագրման համար։ Նրանց վրա է հիմնված նաև ֆունկցիաների հարմոնիկ վերլուծությունն ու անալիզի այլ տարրեր։ Թոմաս Փեյնն իր «Գիտակցության դար» (1794) գրքում եռանկյունաչափությունն անվանում է «գիտության հոգի»[2]։

Սկզբնական շրջան[խմբագրել]

Պյութագորասի թեորեմի հին չինական պատկերում

Եռանկյունաչափությա տարրեր հնարավոր է գտնել հին Եգիպտոսի, Բաբելոնի, Չնաստանի արձանագրություններում։ Ռինդայի պապիրուսի (մեր թվարկությունից առաջ II հազարամյանկ) 56-րդ առաջադրանքում պահանջվում է այն գտնել բուրգի թեքվածքը, որի բարձրությունը հավասար 250 կանգուն է, իսկ հիմքի կողմի երկարությունը՝ 360 [3]։

Բաբելոնյան մաթեմատիկայից է գալսի անկյուններն աստիճաններով, րոպեներով ու վայրկյաններով (մաթեմատիկա այս միավորների ներմուծումը վերագրվում է Հիպսիկլին, մեր թվարկությունից առաջ II դար)։ Հայտնի Բաբելոնյան թեորեմների շարքում կա նաև այսպիսին. ներգծյալ անկյունը, որը հենված է շրջանագծի տրամագծի վրա, ուղիղ անկյուն է [4]։ Այդ ժամանակաշրջանի կարևորագույն հայտնագործությունը դարձավ կողմերի հարաբերությունը, որն աելի ուշ ստացավ Պյութագորասի թեորեմ անվանումը; Վան դեր Վարդենը կարծում էր, որ բաբելոնցիները այն հայտնագործել են մեր թվարկությունից առաջ 2000-ից 1786 թվականներին [5]։ Միանգամայն հնարավոր է, որ չինացները ևս, մյուսներից անկախ, հայտնագործել են այն (տե՛ս «Մաթեմատիկկան ինը գրքերում»); անհայտ է, իմացել են արդյոք հին եգիպտացիները թեորեմի ընդհանուր բանաձևը, բայց հայտնի է, որ 3, 4 և 5 կողմերով «եգիպտական եռանկյունը» լայնիորեն կիրառվել է տարբեր բնագավառներում։

Հին Հունաստան[խմբագրել]

Եռանկյունաչափական հարաբերությունների ընդհանուր ու տրամաբանական կապերը ի հայտ եկան հին հունական երկրաչափությունում [6]։ Հույն մաթեմատիկոսները եռանկյունաչափությունը առաձին գիտություն չէի համարում, նրանց համար դա աստղագիտության մի մասն էր [7]։

Հարթ եռանկյունաչափություն[խմբագրել]

Եռանկյունաչափական բնույթի շատ թեորեմներ պարունակում են Էվկլիդեսի «Սկզբունքներ» (մ. թ. ա. IV դար)։ «Սկզբունքների» առաջին գրքում 18 և 19 թեորեմներում ասվում է, որ եռանկյան մեծ կողմի դիմաց գտնվում է մեծ անկյուն, և հակառակը, մեծ անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմ։ 20 և 22 թեորեմները ներկայացնում են «եռանկյան անհավասարությունը». երեք հատվածներից կարելի է ստեղծել եռանկյուն այն, և միայն այն դեպքում, երբ այդ հատվածներից յուրաքաչյուրը փոքր է մյուս երկուսի գումարից։ 32-րդ թեորեմն ապացուցում է, որ եռանկյան անկյունների գումարը 180° 1։

«Սկզբունքների» երկրորդ գրքում 12-րդ թեորեմն իրենից ներկայացնում է կոսինուսների թեորեմի բառային անալոգը[8]։

Դրան հաջորդող 13-րդ թեորեմը կոսինուսների թեորեմն է ուղղանկյուն եռանկյան համար։ Սինուսների թեորեմի անալոգը հույների մոտ սկզբնական շրջանում չի եղել։ Այդ կարևորագույն հայտնագործությունը կատարվել է ավելի ուշ[9]։

Արիստարքոսի եռանկյունը՝ Արեգակի, Երկրի ու Լուսնի փոխդասավորությունը քառակուսացման ժամանակ

Եռանկյունաչափության հետագա զարգացումը կապված է Արիստարքոս Սամոսացու անվան հետ (մեր թվարկոթւյունց առաջ III դար)։ Նրա «Արեգակի ու Լիուսնի չափերն ու հեռավորությունները» տրակտատում խնդիր էր դրվում երկնային մարմինների հեռավորկությունների հետ կապված; այդ խնդիրը պահանջում էր գտնել ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերությունները ունենալով միայն սուր անկյուններից մեկի աստիճանային չափը։ Արիստարքոսը դիտարկում էր քառակուսացման ժամանակ Արեգակի, Լուսնի ու Երկրի փոխդասավորվածությամբ առաջացած ուղանկուն եռանկյունը։ Նրանից պահանջվում էր գտնել ներքնաձիգի երկարությունը (Արեգակի ու Երկրի հեռավորությունը) էջով (Երկրի ու Լուսնի հեռավորությունը), այն դեպքում, երբ անկյունը 87° է։ Դա համարժեք է ~\sin 3^\circ-ը հաշվելուն։ Արիստարքոսի գնահատականով այդ հեռավորությունն ընկած է 1/20-ից 1/18 միջակայքում, ինչը նշանակում է, որ Արեգակի Երկրից ունեցած հեռավորությունը 20 անգամ ավելի մեծ է քան Լուսնի Երկրից ունեցած հեռավորությունը[10]; իրականում Արեգակը երկրից 400 անգամ ավելի հեռու է քան Լուսինը, իսկ այդ սխալն առաջացել էր անկյան աստիճանային չափը սխալ հաշվելու պատճառով. Միաժամանակ Արիստարքոսը ապացուցեց մի անհավասարություն, որը ներկայիս տերմինալոգիայով արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով.

\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} < \frac{\alpha}{\beta}<\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \beta}.

Այս նույն բանաձևը կա նաև Արքիմեդի «Ավազահատիկների հաշվարկ»-ում Архимеда[11]։ Արքիմեդի աշխատություններում (մեր թվարկությունից առաջ III դար) կա լարի բաժանման թեորեմ, որը նման է կես անկյան սինուսի թեորեմին [12][13]։

\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 - \cos\alpha}{2} }.
Հիպարքոս Նիկեացի, առաջին եռանկյուանաչափական աղյուսակների ենթադրյալ հեղինակ

Անտիկ գիտության զարգացման շրջանում եռանկյունաչափությունն ամենաշատը կիրառվել է աստղագիտության մեջ։ Բացի երկնային մարմինների հեռավորությունների հաշվման խնդիրները, եռանկյունաչափության հետագա զարգացումը պահանջում էր էպիցիկլերի և/կամ էկսցենտրերի պարամետրերի համակարգ, որը կներկայացնի լույսի տարածումը տարածության մեջ։ Համաձայն լայնորեն տարածված կարծիքի, այդ խնդիրն առաջին անգամ առաջադրվել ու լուծվել է Հիպարքոսի (մեր թվարկությունից առաջ II դարի կեսեր) կողմից, Արեգակի ու Լուսնի ուղեծրերի հայտնագործումով։ Հնարավոր է, որ այդ խնդիրը աստղագիտության մեջ ավելի վաղ ժամանակներում է առաջ եկել։ Նրան են վերագրվում նաև առաջին եռանկյունաչափական աղյուսակների ստեղծումը, որոնք մեզ չեն հասել[14]։ Կա վարկած, որ առաջին եռանկյունաչափական աղյուսակները գոյություն են ունեցել արդեն մեր թվարկությունից առաջ III դարում Ապոլլոն Պերգացու կողմից։[15]

θ/2 անկյան սինուսը հավասար է միավոր շրջանագծի լարի կեսին

Ժամանակակից ֆունկցիաների փոխարեն Հիպարքոսն ու մյուս հույն մաթեմատիկոսները դիտարկում էին շրջանագծի տրված կենտրոնային անկյան լարի ու կենտրոնային անկյան կախվածությունը։ Ժամանակից տերմնալոգիայով միավոր շրջանագծի θ աստիճանային չափ ունեցող աղեղի լարի երկարությունը հավասար է θ/2 կենտրոնական անկյան սինւսի կրկնապատիկին։ Այդ հարաբերությունը ճշմարիտ է յուրաքանչյուր անկյան համար. 0° < θ < 360°։ Լարերի լեզվով էլ հենց հին հունները ստացան եռանկյունաչափական բանաձևերը[1]։ Օրինակ, ժամանակակց բանաձևով.

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

համապատասխանում է հունականին[16]։

(chord_{\alpha})^2 + (chord_{180^\circ - \alpha})^2 = d^2,

որտեղ chord_{\alpha}՝ \alpha կենտրոնական անկյան լար,, d՝ շրջանագծի տրամագիծ։

Ընդ որում, այն ժամանակ միավոր շրջանագիծ չէին վերցնում, ինչպես հիմա։ Օրինակ, Հիպարքոսի մոտ շրջանի շառավիղը R=3438 միավոր. այս չափողականության պայմաններում շրջանի աղեղի երկարությունը հավասար էր լինում աղեղի անյունային չափին՝ արտահայտված րոպեներով. ~\frac{360\cdot 60}{2\pi}\approx 3438, և սա հեշտացնում էր հաշվարկները։ Պտղոմեոսի մոտ R=60 միավոր։ Ժամանակակից վերակառուցվածքների համաձայն [14] [17], Հիպարքոսի մոտ լարերի երկարությունները հաշվարկվում էին 7°30' ինտերվալներով։ Հնարավոր է, որ Հիպարքոսիաղյուսակի հիմքում ընկած ՝ Արքիմեդի կողմից հայտնագործված մեթոդը, որը առաջարկվել էր նաև Արիստարքոսի կողմից։[18].

Ավելի ուշ II դարի ստղագետ Կլադիա Պտղոմեոսը «Ամահեսթում» լրացնում է Հիպարքոսի ստացած արդյունքները։ «Ալմահեսթի» տասներեք գրքերը հանդիսանում են անտիկ գիտության մեծագույն եռանկյունաչափական աշկատությունները։ Մասնավորապես «Ալմահեսթը» պարունակում է աղեղների հսկայական հնգամակարդակ աղյուսակներ ինչպես սուր, այնպես էլ բութ անկյունների համար 30 րոպեին հավասար քայլերով[1]։ Լարերը հաշվելու համար Պտղոմեոսն (X գլխում) օգտագործում էր Պտղոմեոսի թեորեմը (որը հայտնի էր դեռ Արքիմեդին), որը պնդում է հետևյալը. Շրջանագծին ներգծված ուռուցիկ բազմանկյան հանդիպակաց կողմերի երկարությունների արտադրյալներրի գումարը հավասար է այդ բազմանկյան անկյունագծեր արտադրյալին։ Այս թեորեմից դժվար չէ ստանալ երկու բանաձևեր՝ գումարային անկյան սինուսն ու կոսինուսը, և ևս որկու բանաձևեր՝ տարբերություն անկյան սինուսն ու կոսինուսը։ Սակայն հուների մոտ բանաձևային տեսքերը բացակայում էին[19]։

Անտիկ եռանկյունաչափական տեսության հիմնական հայտնագործությունը եղավ այսպես կոչված «եռանկան լուծումը», այսինք, եռանկյան անհայտ տարրերը գտնելը օգտվելով երեք տրված տարրերից (որոնցից գոնե մեկը կողմ է)[6]։ Արդյունքում այդ խնդիրն ու դրա ընդհանրացումը դարձան եռանյունաչափության հիմքը[1]. տրված են եռանկյան որոշ (սովորաբար երեք) հայտնի տարրեր, պահանջվում է գտնել մյուսները օգտվելով դրանցից։ Ի սկզբանե եռանկյան տարրերի (հայտնի կամ անհայտ) ցանկում էին միայն նրա կողմերն ու գագաթի անկյունները, ավելի ուշ դրանց միացան նաև բարձրությունները, կիսորդները, միջնագծերը, ներգծված ու արտագծված շրջանագծերի շառավիղները, ծանրության կենտրոնը և այլն։ Կիրառական եռանկյունաչափական խնդիրները տարբեր են լինում. օրինակ, կարող էն տրված լինել ոչ անմիջական տվյալներ (օրինակ, անկյունների գումար կամ կողմերի հարաբերություն)։

Գնդոլորտային եռանկյունաչափություն[խմբագրել]

Հարթ եռանկյունաչափության հետ զուգահեռ հույները, աստղագիտության ազդեցության տակ, լայնորեն զարգացրին գնդոլորտային եռանկյունաչափությունը։ Էվկլիդեսի «Սկզբունքներում» այդ թեմայով միայն մի քանի թեորեմ կա, որոնք նվիրված են տարբեր տրամագծերով գնդերի ծավալների հարաբերություններին, բայց աստղագիտության ու քարտեզագրության մեջ թեմայի խիստ պահանջված լինելու շնորհիվ այն արագորեն սկսեց զարգանալ։ Գնդոլորտային եռանկյունաչափությունը կիրառվում է նաև երկնային կոորդինատների, քարտեզագրական պրոյեկցիաների մեջ (մասնավորապես՝ աստրոլաբիա [20]

Պատմաբաններն այդպես էլ կոնսենսուսի չեկան անտիկ հույների երկնային սֆերայի ուսումնասիրությունների զարգացման մակարդակի վերաբերյալ։ Որոշ հետազոտողներ եզրակացնում են, որ հասարակածային ու խավարման կոորդինատային համակարգներըօգտագործվել են աստղագիտական հետազոտությունների ամփոփման համար ու հայտնագորվել են նվազագույնը Հիպարքոսի ժամանակներում[21]։ Հնարավոր է, որ այն ժամանակ արդեն հայտնի են եղել գնդոլորտային եռանկյունաչափության որոշ թեորեմներ, որոնք անհրաժեշտ էին աստղային կատալոգների[22] ստեղծման համար ու գեոդեզիայում։

«Սֆերիկայի» (ասինքն, գնդոլորտային երկրաչափություն, պարզ արտահայտված աստղագիտական մոտիվներով) թեմայով մեզ հայտնի առաջին գիտական աշխատությունները գրել են[23].

  • Աուտոլիկուսը Պետեից և Եվկլիդեսը («Ֆենոմեններ») (մ. թ. ա. IV դար)։
  • Թեոդոսիոսը և Հիփսիկլեսը (մ. թ. ա. II դար)

Այս ժողովածուներում բազմիցս հանդիպում են եռանկյունաչափական արտահայտություններ, սակայն մակերեսային ուսումնասիրության պատճառով հեղինակները լուրջ եզրահանգումների չեն գալիս։ Օրինակ, «գտնել լրիվ արևածագի (մայրամուտի) կենդանակերպի համաստեղությունում» խնդիրը Հիպսիկլեսը լուծել է բազմանկյուն թվերի օգնությամբ[23]։

Գնդոլորտային եռանկյուն

Տեսության զարգացման վճռական էտապ հանդիսացավ Մենելայ Ալեքսանդրիացու «Սֆերիկա» մոնոգրաֆիան (մոտավորապես մեր թվարկության 100 թվական)։ Առաջին գրքում նա նկարագրում է գնդոլորտային եռանկյուների մասին թեորեմները, Եվկլիդեսի անալոգային թեորեմները հարթ եռանկյուների մասին (տե՛ս «Սկզբունքների» առաջին գիրք)։ Պատմաբանները կարծում են, որ Մենելեյի մոտեցումը շատ առումներով հիմնվում է Թեոդոսիոսի աշխատության վրա, սակայն Մենելեյը առավել խորացված է ներկայացրել եզրակացություններն ու ավելացրել նորերը։ Համաձայն Պապուս Ալեքսանդրիացու հաղորդագրության, Մենելեյն առաջինն էր, որ գնդոլորտային եռանկյունը դիտարկեց, որպես գառանձին մարմին, այն ներկայացնելով գնդի հատվածների միջոցով[24]։ Մենելայն ապացուցել է թեորեմ, որի վերաբերյալ Եվկլիդեսը չունի հարթ անալոգ. երկու գնդոլորտային եռանկյուննե համատեղելի են, եթե համապատասխան անկյունները հավասար են։ Նրա այլ թեորեմ պնդում է, որ գնդոլորտայի եռանկյան անկյունների գումարը միշտ մեծ է 180°[24]։

«Սֆերիկայի» երկրորդ գիրքը ներկայացնում է գնդոլորտային երկրաչափության կիրառությունը աստղագիտության մեջ։ Երրորդ գիրքը պարունակում թ կիրառական աստղագիտության կարևորագույն թեորեմներից մեկըէ Մենելեյի թեորեմը, որն այլ կերպ հայտնի է «վեց բարձրույթունների կանոն»[25]։ Մենելեյի մյուս երկու հայտնագործությունները, որոնք ևս ֆունդամենտալ բնույթ ունեն, հետագայում կոչվեցին «չորս բարձրությունների կանոն» և «տանգենսների կանոն»[24]։

Մի քանի տասնամյակ անց Կլավդիա Պտղոմեոսը իր «Երկրաչափություն», «Անալեմա» և «Պլանիսֆերաներ» աշխատույթուններում տալիս է եռանկյունաչափական արտահայտությունների հստակ կիրառությունը քարտեզագրության, աստղագիտության ու մեխանիկայի մեջ։ Այդ ամենի հետ մեկտեղ, նկարագրված է ստերեոգրաֆիկ պրոյեկցիան ու բցատրված են մի քանի կոնրետ առաջադրանքներ. գտնել երկնային լուսատուի բարձրություն ու ազիմուտը կախված նրա թեքումից ու ժամային անկյունից։ Եռանկյունաչափության տեսանկյունից, դա նշանակում է, որ պետք է գտնել գնդոլորտային եռանկյան կողմը, ըստ մյուս երկու կողմերի ու հանդիպակաց անկյան[26]։

Պտղոմեոսը սֆերիկ երկրաչափությանն է նվիրել նաև XIII գլուխը առաջին գրքում՝ «Ալմեհեսթում»; ի տարբերություն Մենելեյի, Պտղոմեոսը չի տվել իր պնդումների մեծ մասի ապացույցները, բայց մեծ ուշադրություն է դարձրել ալգորիթմերին, ինչը շատ անհրաժեշտ է աստղագիտության մեջ։ Որպես հիմնական կառուցվածք, լարերի փոխարեն «Ալմահեսթում» ծառայում է «Մենելեյի քառանկյունը»։ Ուղղանկյուն գնդոլորտային եռանկյան «լուծման» համար, այսինք եռանկյան բնութագրիչների որոշման համար, Պտղոմեոսը տվել է չորս թեորեմ։ Ժամանակաից տերմինալոգիայով դրանք ունեն այ տեսքը (C անկյունն ուղիղ է)[27].

\sin a = \sin c \cdot \sin A (Սինուսների թեորեմի մասնավոր դեպք)
\operatorname{tg} a = \sin b \cdot \operatorname{tg} A
\cos c = \cos a \cdot \cos b (կոսինուսների թեորեմի մասնավոր դեպք)
\operatorname{tg} b = \operatorname{tg} c \cdot \cos A

Պարզաբանենք, որ գնդոլորտային երկրաչափությունում եռանկյան կողմերն ընդունված է չափել ոչ թե գծային միավորներով, այլ նրա վրա հենված կոնտրանական անկյան աստիճանային չափով։ Ժամանակակից գնդոլորտային երկրաչափությունում կիրառում են ևս երկու հայտնի հարաբերակցույթուն

\cos A = \cos a \cdot \sin B (ևս հետևում է սֆերիկ երկրաչափության կոսինուսների թեորեմից)
\cos c = \operatorname{ctg} A \cdot \operatorname{ctg} B

Պտղոմեոսի մոտ սրանց բացակայում են, քանի որ դրանք չեն հետևում Մենելեյի տեսությունից[27].

Միջնադար[խմբագրել]

Հնդկաստան[խմբագրել]

IV դարում, անտիկ գիտության վախճանից հետո մաթեմատիկայի զարգացման կենտրոնը տեղափոխվեց Հնդկաստան։ Հնդիկ մաթեմատիկոսների աշխատությունները՝ սիդհանթերը, ցույց են տալիս, որ նրանք քաջատեղյակ են հույն երկրաբանների ու աստղագետների աշխատություններին[28]։ Մաքուր երկրաչափությամբ հնդիկները քիչ էին հետաքրքրվում, բայց նրանց ներդրումը կիրառական աստղագիտության ու ասպեկտների հաշվման եռանկյունաչափությունում անփոխարինելի է։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների որոշումը միջնադարյան մաթեմատիկայում

Առաջին հերթին հնդիկները փոխեցին եռանկյունաչափության բազմաթիվ կոնցեպցիաներ, այն մոտեցնելով ժամանակակիցին։ Նրանք անտիկ լարերի փոխարեն ուղղանկյուն եռանկյուններում ներմուծեցին սինուսները («սինուս» բառը սանսկրիտում գալիս է «աղեղնլարից»[29])։ Դրանով սկսվեց հնդիկների կողմից եռանկյունաչափությունը որպես առանձին գիտություն ուսումնասիրելը, չնայած ի տարբերություն հունական լարերի, հնդկական մոտեցումը վերաբերում էր միայն սուր անկյուններով ֆունկցիաներին[30]։

Հնդիկները սինուսն ավելի այլ կերպ էին ընկալում, քան ժամանակակից մաթեմատիկայում (տե՛ս, նկար աջից)։ Սինուսի տակ ընկալվում է AD հատվածի երկարությունը, որը հենված է R=3438 շառավղով (ինչպես Հիպարքոսի մոտ) շրջանագծի AC լարի վրա։ Այդ կերպ անկյան «հնդկական սինուսը» 3438 անգամ մեծ էր ժամանակակից սինուսի արժեքից ու երկարության չափողականություն ուներ[29]։ Այդ կանոնից բացառությունների կային, օրինակ, Բրահմագուտը անհայտ մեթոդներով գտել էր 3270 միավորի հավասար ռադիուս[31]։

Հնդիկներն առաջինն էին, որ օգտագործեցին կոսինուսը։ Կիրառվում էր նաև, այսպես կոչված, հակադարձ սինուսը, կամ սինուս-վերզուսը, որը աջ մասի նկարում հավասար է DC գատվածի երկարությանը[32]։

Ինչպես հույների մոտ, այնպես էլ հնդիկների մոտ եռանկյունաչափությունը զարգանում էր աստղագիտության, մոլորակների շարժման ու երկնային ոլորտի ուսումնասիրությունների համար։ Դա վկայում է այն մասին, որ նրանք լավ տեղյակ էին «Ալմահեսթ» և «Անալեմա» աշխատություններում նկարագրված գնդոլորտային երկրաչափությունից, սակայն նրանց սեփական հայտնագործություններ ու աշխատություններ կոնկրետ եռանկյունաչափության վերաբերյալ չեն հայտնաբերվել[33]։ Այնուամենայնիվ, աստղագիտական խնդրների լուծման բնագավառում հնդիկները ահռելի հաջողությունների են հասել[28]։ Օրինակ, Վարահամիհիրի (VII դար) «Պանչա-սիդհանթիկայում» տրվում է Պտղոմեոսի կողմից նկարագրված աստղագիտական խնդրի յուրօրինակ լուծում. գտնել Արևի բարձրությունը հորիզոնից, եթե հայտնի է տեղանքի լայնությունը, Արեգակի թեքումն ու ժամային անկյունը։ Լուծման համար հեղինակը կիրառում է կոսինուսների թեորեմի անալոգը[34], հենց նա է առաջին անգամ ստացել կես անկյան սինուսի բանաձևը[35]։

Արիբհատոսի արձանը: Աստղագիտության ու աստղաֆիզիկայի հնդկական միջհամալսաևային կենտրոն (IUCAA)

Աստղագիտական հաշվարկների համար ստեղծվեցին եռանկյունաափական աղյուսակներ։ Սինուսների առաջին (քառարժեք) աղյուսակները ստեղծվել են Արիաբհատոսի կողմից՝ «Սուրիա-սիդահարթ» («Արիաբհատիա», V դար)։ Արիաբհատոսի աղյուսակները պարունակում են սինուսների ու սինուս-վերզուսների 24 արժեքներ, 3°45' միջակայքերով (սրա մի մասը արդեն կար Հիպարքոսի աղյուսակում)։

Եռանկյունաչափության մեջ մեծ ներդրում ունեցավ Բրահմապուտրան (VII դար), ով հայտնագործեց մի քանի եռանկյունաչափական հարաբերություն, այդ թվում նաև նրան, որոյք ժամանակակից տերմինալոգիայում ունեն այս տեսքը[36].

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)

Բացի այդ, հնդիկները գիտեին բազմապատիկ անկյունների սինուսներ՝ \sin n\varphi, \cos n\varphi, n = 2, 3, 4, 5 համար։ «Սուրիա-սիդահարթ»-ում օգտագործվում է սինուսների թեորեմի սֆերիկ տարբերակը, սակայն այդ թեորեմի վերջնական տեսքը հնդիկներին այդպես էլ չհաջողվեց տալ[37]։ Պատմաբանները հնդիկների մոտ հայտնաբերեցին տանգենսի մասնակի օգտագործման դեպքեր, բայց այդ հասկացության կարևորությունը հասկացվեց ավելի ուշ, իսլամական երկրների մաթեմատիկոսների կողմից[28]

Մեկ այլ հայտնի գիտնականի՝ Բհասկարա II-ի աշխատություններում (XII դար), տրվում են անկյունների գումարների ու տարբերությունների սինուսների ու կոսինուսների տարբերությունների բանաձևերը.

\sin (\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta,

ինչպես նաև.

\sin \alpha - \sin \beta \approx (\alpha - \beta)\cos \beta

(\alpha \approx \beta դեպքում) որը համապատասխանում է սինուսի դիֆերենցման արտահայտությանը։ Հնեվելով սինուսի գումարման բանաձևի վրա, Բհասկարան հարապարակեց Արիաբհատոսի եռանկյունաչափական աղյուսակի ավելի ճշգրիտ ու մանրամասն տարբերակը, 1° միջակայքով[38]։

XI դարում մահմեդականները (Մահմուդ Գազնեվի) գրավեցին ու ավիրեցին Հյուսիսային Հնդկաստանը։ Մշակութային կենտրոնները տեղափոխվեցին Հարավային հնդկաստան որտեղ ձևավորվում էր այսպես կոչված «Կերալի դպրոցը» (Հնդկաստանի հարավում գտնվող Կերալի նահանգի անունից)[39]։ XV—XVI դարերում Կերալի մաթեմատիկոսները աստղագիտական հետազոտությունների ընթացքում մեծ հաջողությունների հասան թվային շարքերի հետ առնչվող հաշվարկներում, այդ թվում նաև եռանկյունաչափական ֆունկցիաներում[37]։ Անանուն «Կարանապադհատի» («Հաշվարկների տեխնիկա») տրակտատում տրված են սինուսներն ու կոսնուսներրը անվերջ թվով շարքերի բաժանելու բանաձևեր[40], որոքն ստացվել էն, ամենայն հավանականությամբ նույն դպրոցի Մեդհավ (XV դարի առաջին կես[41]) անունով գիտնականի ու նրա հետևորդ Նիլականտի աշխատություններից։ Այդ բանաձևերից հեշտությամբ հնարավոր է ստանալ արկտանգենսը անվերջ թվով շարքերի բաժանելու բանաձևերը։ Եվրոպայում նման արդյունքի եկան միայն XVII—XVIII դարերում։ Այդ ձևով սինուսների ու կոսինուսների շարքերը կիրառում էր Իսահակ Նյուտոնը մոտավորապես 1666 թվականին, իսկ արկտանգենսը հայտնաբերվեց Ջ. Գրեգորիի կողմից 1671 թվականին և Լեյբնիցի կողմից 1673 թվականին[42]։

Իսլամական երկրներ[խմբագրել]

VIII դարում Մերձավոր ու Միջին արևելքում ծանոթացան հին հունական ու հնդկական մաթեմտիկոսների ու աստղաբանների աշխատություններին։ Այդ աշխատությունները արաբերենի թարգմանելու կարևորագույն գործով զբաղվել են VIII դարի այնպիսի լեգենդար գիտնականներ, ինչպիսիսք են Իբրահիմ Ալ-Ֆազարին և Յակուբ իբն Տարիկը։ Հետագայում նրանք ու նրանց սերունդնեը սսկեցին լայնորեն զբաղվել այդ տեսությունների մեկնաբանությամբ ու զարգացմամբ։ Ինչպես հնդիների, այնպես էլ իսլամական գիտնականների համար հետազոտման համար հիմնական կառուցվածք էր ծառայում սինուսը եռանկյան մեջ, կամ որ նույն է լարի կեսը շրջանագծի մեջ։[33]

Նրանց աստղագիտական տրակտատները, հնդկական սիդհաների օրինակով, կոչվւմ էին «զիջեր»; տիպական զիջը իրենից ներկայացնում էր աստղագիտական ու եռանկյունաչափական աղյուսակների հավաքածու, որտեղ աղյուսակները դասակարգված են ըստ օգտագործելության և (ոչ միշտ) ընդհանուր տեսության մեջ օգտագործելիության[43]։ VIII—XIII դարեի զիջերի ուսումնասիրությունները ցույց են տալիս, որ եռանկյունաչափության վերաբերյալ գիտելիքներն արագորեն ավելանում են։ Իսլամի գիտնականների համար առավել հետաքրքրությւուն էր ներկայացնում գնդոլորտային եռանկյունաչափությունը, որի միջոցով հնարավոր էի իրականացնել աստղագիտական ու գեոդեզիական հաշվարկներ[44] Նոր նուծելու խնդիրների շարքում էին նաև սրանք[45][43].

— Օրվա տեվողության ստույգ որոշում:
— Երկնային մարմինների ապագա դիրքերի հաշվարկները, դրանց դուրս գալու ու մայր մտնելու ժամանակների որոշումը, Արեգակի ու Լուսնի խավարումները
— Տվյալ վայրի աշխարհագրական կոորդինատների որոշումը
— Քաղաքների միջև հեռավորությունների ու տրված կոորդինատների միջև հեռավորությունների որոշումը
— Մեկկուի դիրքի որոշումը սահմանված դիրքից:
Միջնադարյան արաբական մաթեմատիկայում տանգենսի, կոտանգենսի, սեկանսի ու կոսեկանսի որոշումը: AD-ն գնոմոնն է (ողղաձիգ՝ վերևում, հորիզոնական՝ ներքևում), OD հատվածը նրա ստվերն է

Պահպանված ամենահին աշխատություններից են Ալ-Խորեզմիի ու Ալ Մարվազի (IX դար) տեսությունները, ովքեր դեռևս հնդիկներին հայտնի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների՝ սինուսի ու կոսինուսի, հետ մեկտեղ ներմուծեցին նոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. տանգենս, կոտանգենս, սեկանս, կոսեկանս[32]։ Ի սկզբանե այս ֆունկցիաներն այլ կերպ էինք ընկալվում, քան ժամանակակից մաթեմատիկայում։ Այսպես, կոտանգենսի տակ ընկալվում էր ուղղաձիգ 12 (երբեմն 7) միավոր բարձրությամբ գնոմոնի ստվերի երկարությունը։ Սկզբում այս հաշվարկներն օգտագործվում էին արևային ժամացույցների հաշվարկների համար։ Տանգենս էր կոչվում հորիզոնական գնոմոնի ստվերը։ Սեկանս ու կոսեկանս էին կոչվում գնոմոնից ու նրա ստվերից առաջացած ուղղանկյուն եռանկյունների ներքնաձիգերը (աջ մասի նկարում AO հատվածը)[46]։ Միայն X դարում փիլիսոփա ու մաթեմատիկոս Ալ Ֆարաբին իր «Ալմահեսթի» մեկնաբանություններում տվել է նոմոնիկայից անջատ այդ հասկացությունների սահմանումները, դրանք որոշելով պտղոմեոսյան եռանկյունաչափական ռադիուսի սինուսներով ու կոսինուսներով (60 միավոր)։ Այս վեց ֆունկցիաների կապերը տվել է Ալ Բատանին նույն հարյուրամյակում։Ընդհանում, հիմանակն միավորման հասավ Աբու-լ-Վաֆան X դարի կեսերին։ Նա առաջին անգամ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հաշվարկների ժամանակ օգտագործեց միավոր շրջանագիծը, ինչպես արվում է ժամանակակից մաթեմատիկայում։

Սաբիտ իբն Կուրան (IX դար) և Ալ-Բատանին (X դար) առաջինը բացահայտեցին սինուսների հիմնական թեորեմը մասնավոր ուղղանկյուն սֆերական եռանկյան համար։ Սֆերիկ եռանկյան գամար թեորեմի ապացույցը գտնվեց (տարբեր եղանակներով, և, հավանաբար, միմյանցից անկախ) Աբու-յ-Վաֆայի, ալ-Հուջանիի ու իբն Իրաքի կողմից X դարի վերջում[47]։ Այլ տրակտատում իբն Իրաքը ձևակերպել ու ապացուցել է սինուսների թեորեմը հարթ եռանկյան համար[48]։

Կոսինուսների թեորեմը սֆերական եռանկյան համար իսլամական երկրներում ձևակերված ու ապացուցված չէր, բայց Սաբիտ իբն Կուրայի, ալ-Բատանիի ու մյուս աստղաբանների աշխատանքներում կան դրան համարժեք պնդումներ։ Հավանաբար, Ռեգիոմոնտանը, ով առաջինը տվեց այդ կարևրագույն կապվախության ձևակերպումը (XV դար), դրան տվեց «Ալբատենիայի թեորեմ» (այն ժամանակ Եվրոպայում այդպես էին անվանում ալ-Բատանիին)[49]։

Իբն Յունիսը (X դար) բացահայտեց եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բզմապատկման[50] բանաձևերը, օրինակ.

\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},

Բազմապատկման բանաձևերը հնարավորություն տվեցին խուսափել այն ժամանակատար հաշվարկներից, որոնց ժամանակ անհրաժեշտ էր վերլուծել արտադրիչների։ Արդյունքում Եվրոպայում այդ բանաձևերն օգտագործվեցին հակառակ նպատակով. գումարման ու հանման գործողությունները փոխարինում էին բազմապատկմամբ, որպեսզի արդյունքը գրանցեն լոգարիթմական աղյուսակում[51]

Եվրոպա[խմբագրել]

Ռեգիոմոնտանուս

Երբ XII—XIII դարերում արաբական տրակտատները հասան լատինական երկրներ հնդիկ ու պարսիկ մաթեմատիկոսների բազմաթիվ գաղափարներ դարձան եվրոպական գիտության հաջողությունները: Ամենայն հավանականությամբ եվրոպացիների առաջին ծանոթությունը եռանկյունաչափության հետ տեղի ունեցավ զիջու Ալ-Խորեզմիի շնորհիվ, որի երկու թարգմանությունները կատարվել են XII դարում: Սկզբնական շրջանում եռանկյունաչափության վերաբերյալ վկայությունները (նրա օգտագործման կանոններ, որոշ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների աղյուսակներ) հայտնվել են աստղագիտության վերաբերյալ աշխատություններում, սակայն Ֆիբոնաչիի «Երկրաչափության կիրառություն» աշխատությունում, որը գրվել է 1220 թվականին, եռանկյունաչափությունը ներկայացված է, որպես երկրաչափության բաժին: Առաջին եվրոպական աշխատությունը, որն ամբողջությամբ նվիրված է եռանկյունաչափությանը, հաճախ անվանում են «Չորս տրակտատ ուղիղների ու լարերի հարաբերությունների մասին»: Այն գրել է անգլիացի աստղաբան Ռիչարդ Ուոլլինգֆորդը (մոտավորապես 1320 թվական): Գիրքը պարունակում է եռանկյունաչափական նույնությունների ապացուցների շարք և սինուսների հաշվման յուրօրինակ մեթոդներ: Մոտավորապես նույն թվականներին է գրվել նաև հրեա մաթեմատիկոս Լևի բեն Գերշոմի (Գերսոնիդես) «Սինուսների, լարերի ու աղեղների մասին» աշխատությունը, որը լատիներեն թարգմանվել է 1342 թվականին[52]: Գիրքը պարունակում է սինուսների թեորեմի ապացույցն ու սինուսների հնգանիշ աղյուսակներ[53]: Եռանկյունաչափությունը շոշափվում է նաև անգլիացի մաթեմատիկոս Թոմաս Բրադվարդինի «Տեսական երկրաչափություն» աշխատությունում (գրվել է XIV դարի առաջին կեսում, հրապարակվել է 1495 թվականին): Եռանկյունաչափական աղյուսակները, որոնք առավել հաճախ թարգմանվում էին արաբերենից, իսկ երբեմն էլ օրիգինալ, պարունակվում էին նաև XIV—XV դարերի այլ հեղինակների աշխատություններում: Հենց այդ ժամանակ էլ եռանկյունաչափությունը մտավ կրթական համակարգ:

Նոր ժամանակներ[խմբագրել]

XVI—XVII ֆարեր[խմբագրել]

Ֆերդինանդ Բոլ, Մաթեմատիկոսի դիմանկարը (1658): Պատի դիագրամը ցույց է տալիս եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, որոնք որոշվել են միավոր շրջանագծով

Նոր ժամանակներում եռանկյունաչափության զարգացումը չափազանց կարևոր էր ոչ միայն աստղաբանության ու աստղագիտության զարգացման համար, այլ նաև այլ ոլորտների համար, այդ թվում հրետանու, օպտիկայի, ծովային հեռավոր ճանապարհորդությունների կազմակերպման համար: Այդ իսկ պատճառով XVI դարում այդ թեմայով սկսեցին զբաղվել անպիսի մեծանուն գիտնականներ, ինչպիսիք են Նիկոլայ Կոպեռնիկոսը, Յոհան Կեպլերը, Ֆրանսուա Վիետը: Կոպեռնիկոսը եռանկյունաչափությանն է նվիրել իր «Երկնայի գնդերի պտույտի մասին» (1543) տրակտարի երկու գլուխներ: Շուտով (1551) հայտնվեցին Կոպեռնիկոսի աշակերտի՝ Ռետիկի տասնհինգանիշ եռանկյունաչափական աղյուսակները՝ 10" քայլով[54]: 1604 թվականին Կեպլերը հրապարակում է «Աստղագիտության օպտիկական մաս» աշխատությունը:

Բարդ եռանկյունաչափական հաշվարկների անհրաժեշտություն առաջացավ XVII դարի սկզբում, լոգարիթմների հայտնաբերմամբ: Ընդ որում, Ջոն Նեպերի առաջին լոգարիթմական աղյուսակները պարունակում էին միայն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների լոգարիթմներ: Նեպերի այլ հայնտագործությունների ցանկում կարևոր է սֆերական եռանկյունների լուծման նպատակահարմար մեթոդները, որոնք ստացել են «Նեպերի անալոգիայի բանաձևեր» անվանումը: [55]

XVIII դար[խմբագրել]

Մաթեմատիկական անալիզի հայտնագործումից հետո, սկզբում Ջեյմս Գրեգորին, հետո Իսահակ Նյուտոնը ստացան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների (ինչպես նաև նրանց հակադարձների) հետազոտությունները անվերջ շարքերում: Նյուտոնը եռանկյունաչափական ու երկրաչափական խնդիրներին է նվիրել իր «Համալսարանային թվաբանություն» գրքի 10 առաջադրանք[56]: Օրինակ, X առաջադրանքում պահանջվում է «լուծել եռանկյունը», եթ հայտնի են նրա մի կողմը, դրա դիմացի անկյունն ու մյուս երկու կողմերի գումարը: Նյուտոնի առաջարկած մեթոդն իրենից ներկայացնում է Մոլվեյդի բանաձևերից մեկը:[57]

Լեոնարդ Էյլերի բարեփոխումները[խմբագրել]

Եռանկյունաչափության ժամանակակից տեսքը տվել է Լեոնարդ Էյլերը: «Ներդրումներ անվերջների անալիզում» (1748) տրակրտատում Էյլերը տվել է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների որոշումները, որոնք համարժեք են ժամանակակիցներին[56], և համապատասխանաբար որոշեց հակադարձները: Եթե նրա նախորդները սինուսն ու մյուս հասկացությունները երկրաչափորեն ընկալերին, այսինքն, որպես շրջանագծի կամ եռանկյան գծեր, ապա Էյլերի աշխատանքներից հետո \sin x, \cos x, \operatorname{tg} x և մյուսները կդիտարկվեին, որպես իրական ու կոմպլեքս փոփոխականների առանց չափերի անալիտիկ ֆունկցիաներ: Կոմպլեքս դեպքերի համար նա ստացավ կապը եռանկյունաչափական ֆունկցիայի ու տրված ֆունկցիայի մեջ (Էյլերի բանաձև): Էյլերի մոտեցումը համընդհանուր ընդունման արժանացավ ու մտավ դասագրքեր:

XIX-XX դարեր[խմբագրել]

XIX դարի սկզբում Ն. Ի. Լոբաչևսկին հարթ ու գնդոլորտային եռանկյունաչափությանը ևս մի բաժին ավելացրեց՝ հիպերբոլական (Լոբաչևսկու երկրաչափության համար, առաջին աշխատությունը հրապարակեց Ֆ. Ա. Տաուրինուսը 1826 թվականին): Լոբաչևսկին ցույց տվեց, որ սֆերական եռանկյունաչափության բանաձևերը անցնում են հիպերբոլականի եռանկյան կողմերի a, b, c երկարությունները ai, bi, ci փոխելու դեպքում, կամ, որ համարժեք է, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխումը հիպերբոլականի[58]:

XIX—XX դարերում հատկապես բուռն զարգացում ապրեցին եռանկյունաչափական շարքերի տեսությունները իրենց հետ կապված մաթեմատիկական ոլորտների հետ մեկտեղ. հարմոնիկ անալիզ, պատահական պրոցեսների տեսություն, աուդիո և վիդեո ինֆորմացիայի կոդավորում և այլն: Դեռ Դանիել Բեռնուլին առաջարկել էր պնդում, որի համաձայն յուրաքանչյուր (ոչ ընդհատ) ֆունկցիա տրված միջակայքում հնարավոր է ներկայացնել եռանկյունաչափական շարքի տեսքով [59]: Քննարկումները շարունակվում էին մինչև 1807 թվականը, երբ Ֆուրիեն հրապարակեց մասաանալիտիկ ֆունցիաները եռանկյունաչափական շարքերի տեսքով ներկյացնելու տեսությունը (ավարտուն տարբերակը պարունակվում է նրա «Ջերմության անալիտիկ տեսություն» աշխատությունում, 1822)[60]: f(x) ֆունցիան եռանկյունաչափական շարքի տեսքով ներկայացնելու համար՝

f(x)=a_{0}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n} \cos{nx} + b_{n} \sin{nx}).

Ֆուրիեն տվել է գործակիցների հաշվարկի ինտեգրալային բանաձևերը[60].

a_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_0^{2 \pi}\! f(x) \cos{nx} \,dx  \quad (n=0, 1, 2, \dots); \quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_0^{2 \pi}\! f(x) \sin{nx}\, dx\quad (n=1,2,3, \dots)

Ֆուրիեի ստացածը խիստ չէ ըստ ժամանակակից հասկացողության, արդեն պարունակում էր բոլոր նմանատիպ շարքերի նմանության տարրերը: Այն ֆունցիաների համար, որոնք որոշված են ամբողջ թվային առանցքի վրա և պարբերական չեն Ֆուրիեն առաջարկել է Ֆուրիեի ինտեգրալի ձևակերպումը:

Ռիմանն իր ատենախոսության մեջ անդրադառնում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին առանց դիտարկելու դրանց կապը որևէ ֆունկցիայի հետ (1853), նա կիրառում էր «տեղայնացման սկզբունքը»: Կամայական չափումներով և գրեթե ամեն տեղ անվերջ ֆունցիայի ներկայացումը եռանկյունաչափական շարքի տեսքով (որի համընկնումը Ֆուրեյի շարքի հետ պարտադիր չէ) լուծվեց 1941 թվականին Մենշովի թեորեմի շնորհիվ:

Ուսումնասիրելով եռանկյուանաչափական շարքերի հատուկ կետերի բազմությունները Գեորգ Կանտորը ստացավ ամբողջ մաթեմատիկայի համար հիմնարար բնույթ ունեցող բազմությունների տեսությունը[61] Եռանկյունաչափական շարքերի տեսությունը ահռելի նշանակություն ունեցավ նաև կոմպլեքս անալիզի, մաթեմատիկական ֆիզիկայի, էլեկտրոնիկայի ու գիտության մյուս ճյուղերի համար[60]: Լեբեգի իրական փոփոխականի ֆունցիայի, չափման ու ինտեգրալի տեսությունները ի հայտ եկան և սկսեցին զարգանալ եռանկյունաչափական շարքերի հետ հեռավոր կապի մեջ լինելով[60][62]:

Եռանկյունաչափության պատմաբաններ[խմբագրել]

XVIII—XIX դարերում մաթեմատիկայի ու աստղագիտության պատմություններում մեծ տեղ հատկացվեց նաև եռանկյուանաչափության պատմությանը (Ժ. Է. Մոնտուկլա, Ժ. Բ. Ժ. Դելամբր, Հ. Հանկել, Պ. Տանների և ուրիշներ): 1900 թվականին գերմանացի մաթեմատիկական պատմաբան Անտոն ֆոն Բրաունմյուլը հրապարակեց առաջին մոնոգրաֆիան երկու հատորով, որը հատուկ նվիրված էր եռանկյունաչափության պատմությանը[63]: XX դարում այդ թեմայով խոշորածավալ աշխատանքներ հրապարակեցին Ցեյտենը, Կանտորը, Նայգեբաուերը, Ռոզենֆելդը, Մատվիևսկայան և ուրիշներ:

Տես նաև[խմբագրել]

Գրականություն[խմբագրել]

Գրքեր[խմբագրել]

  • Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4
  • Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: ГИФМЛ, 1959.
  • Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — 468 с.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76-95. — 240 с.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1983. — 352 с.
  • История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.։ Наука.
  • Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9
  • Паплаускас А. Б. Тригонометрические ряды. От Эйлера до Лебега. — М.: Наука, 1966. — 277 с.
  • Рожанская М. М. Механика на средневековом Востоке. — Москва: Наука, 1976.
  • Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960. — Т. I.
  • Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. Абу Райхан Беруни и его математические труды. Пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1978. — 95 с. — (Люди науки).
  • Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1976. — 318 с.
  • Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. — М.-Л.: ГТТИ, 1932. — 230 с.
  • Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. — М.-Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.
  • Юшкевич А. П. История математики в Средние века. — М.: ГИФМЛ, 1961. — 448 с.
  • Plofker K. Mathematics in India. — Princeton: Princeton University Press, 2009.
  • Scott J. F. A History of Mathematics From Antiquity to the Beginning of the Nineteen Century. — London: Tailor & Francis Ltd, 1958. — 266 p.
  • Thurston H. Early astronomy. — New York: Springer-Verlag, 1994.
  • Van Brummelen G. The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry. — Princeton University Press, 2009.

Հոդվածներ[խմբագրել]

Արտաքին հղումներ[խմբագրել]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել]


Ծանոթագրություններ և նշումներ

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978. — С. 266-268..
  2. Paine, Thomas. The Age of Reason. — Dover Publications, 2004. — С. 52.
  3. Eli Maor. Trigonometric Delights. — Princeton University Press, 1998. — P. 20. — ISBN 0-691-09541-8
  4. Глейзер Г. И., 1982
  5. van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — Springer, 1983. — ISBN 3-540-12159-5
  6. 6,0 6,1 Глейзер Г. И., 1982
  7. Цейтен Г. Г., 1938
  8. Глейзер Г. И., 1982
  9. Գ. Պ. Մատվիևսկի, 2012, 92-96 էջեր
  10. Цейтен Г. Г., 1932
  11. Веселовский, 1961
  12. Матвиевская Г. П., 2012
  13. Boyer, Carl B. A History of Mathematics. — Second ed.. — John Wiley & Sons, Inc., 1991. — P. 158–159.. — ISBN 0-471-54397-7
  14. 14,0 14,1 Toomer, 1973
  15. Van der Waerden, 1988
  16. Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П., 1978
  17. Thurston, 1994
  18. Duke, 2011
  19. Хрестоматия по истории математики, 1976
  20. Матвиевская Г. П., 2012
  21. Duke, 2002
  22. Sidoli, 2004
  23. 23,0 23,1 Матвиевская Г. П., 2012
  24. 24,0 24,1 24,2 Матвиевская Г. П., 2012
  25. История математики, том I, 1970
  26. Цейтен Г. Г., 1932
  27. 27,0 27,1 Матвиевская Г. П., 2012
  28. 28,0 28,1 28,2 Матвиевская Г. П., 2012
  29. 29,0 29,1 История математики в Средние века, 1961
  30. Глейзер Г. И., 1982
  31. Scott J. F., 1958
  32. 32,0 32,1 Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П., 1978
  33. 33,0 33,1 Scott J. F., 1958
  34. История математики, том I, 1970, с. 199-201.
  35. История математики в Средние века, 1961
  36. История математики, том I, 1970
  37. 37,0 37,1 История математики в Средние века, 1961
  38. История математики в Средние века, 1961
  39. Бахмутская Э. Я. Степенные ряды для sint и cost в работах индийских математиков XV—XVIII вв.. — Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1960. — С. 325-335..
  40. Roy, Ranjan. Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory, and Nilakantha. — Mathematics Magazine. — 1990. — С. 291–306.
  41. Plofker, 2009
  42. История математики, том I, 1970
  43. 43,0 43,1 Матвиевская Г. П., 2012
  44. Хрестоматия по истории математики, 1976
  45. История математики, том I, 1970
  46. История математики, том I, 1970
  47. Матвиевская Г. П., 2012
  48. Матвиевская Г. П., 2012
  49. Матвиевская Г. П., 2012
  50. Матвиевская Г. П., 2012
  51. Хрестоматия по истории математики, 1976, с. 195-198,
  52. Այդ տրակտատը ներառված էր «Աստղագիտության» կազմում, «Աստծո պատերազմներ» թեոլոգափիլիսոփագիտական տրակտատի վեց ֆունդամենտալ մասերից մեկն է: Գերսոնիդեսն այդ աշխատությանն է նվիրել իր ողջ կյանքը
  53. Rabinovich, Nachum L. Рабби Леви бен Гершом и происхождение метода математической индукции. = Rabbi Levi ben Gershom and the origins of mathematical induction // Archive for History of Exact Sciences. — 1970. — В. 6. — С. 237—248.
  54. История математики, том I, 1970
  55. Степанов Н. Н. §42. Формулы «аналогии Непера» // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 87-90. — 154 с.
  56. 56,0 56,1 История математики, том III, 1972
  57. Вилейтнер Г., 1960
  58. См. статью Б. А. Розенфельда в книге: Каган В. Ф. Основания геометрии. Том II, стр. 313—321.
  59. Паплаускас А. Б., 1966
  60. 60,0 60,1 60,2 60,3 Тригонометрический ряд // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5.
  61. Даубен, Джозеф У. Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств. — Scientific American, издание на русском языке. — 1983. — С. 76–86.
  62. «Тригонометрический ряд»։ Արխիվացված օրիգինալից 2012-11-23-ին։ http://www.webcitation.org/6COhoyJOo։ Վերցված է 2012-10-28։ 
  63. Braunmühl A. Vorlesungen über die Geschichte der Trigonometrie. — Leipzig, 1900—1903.