Եռանկյունաչափության պատմություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Երկրաչափական չափումներ (XVII դարի նկար)

Եռանկյունաչափության պատմություն, տարբեր երկրաչափական պատկերերի անկյունների ու կողմերի հարաբերությունների մասին գիտություն, ավելի քան երկու հազարամյակի պատմություն ունի։ Նման հարաբերությունների մեծամասնությունը հնարավոր չէ ներկայացնել պարզ հանրահաշվական գործողությունների միջոցով։ Այդ իսկ պատճառով անհրաժեշտություն առաջացավ նոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ներմուծման։ Սկզբում այն արտահայտվում էր թվային աղյյուսակների ձևով։

Պատմաբանները կարծում են, որ եռանկյունաչափությունը հիմնադրել են հին աստղագետները, իսկ ավելի ուշ դրանից սկսել են օգտվել նաև գեոդեզիայում ու ճարտարապետությունում։ Ժամանակի հետ եռանկյունաչափության կիրառությունը սկսեց տարածվել։ Ներկայումս այն կիրառվում է գրեթե բոլոր բնագիտական, տեխնիկական ու նմանատիպ այլ գիտություններում[1]։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները հատկապես օգտակար եղան տատանողական պրոցեսների նկարագրման համար։ Նրանց վրա է հիմնված նաև ֆունկցիաների հարմոնիկ վերլուծությունն ու անալիզի այլ տարրեր։ Թոմաս Փեյնն իր «Գիտակցության դար» (1794) գրքում եռանկյունաչափությունն անվանում է «գիտության հոգի»[2]։

Սկզբնական շրջան[խմբագրել]

Պյութագորասի թեորեմի հին չինական պատկերում

Եռանկյունաչափության տարրեր հնարավոր է գտնել հին Եգիպտոսի, Բաբելոնի, Չինաստանի արձանագրություններում։ Ռինդայի պապիրուսի (մեր թվարկությունից առաջ II հազարամյանկ) 56-րդ առաջադրանքում պահանջվում է այն գտնել բուրգի թեքվածքը, որի բարձրությունը հավասար 250 կանգուն է, իսկ հիմքի կողմի երկարությունը՝ 360 [3]։

Բաբելոնյան մաթեմատիկայից է գալսի անկյուններն աստիճաններով, րոպեներով ու վայրկյաններով (մաթեմատիկա այս միավորների ներմուծումը վերագրվում է Հիպսիկլին, մեր թվարկությունից առաջ II դար)։ Հայտնի Բաբելոնյան թեորեմների շարքում կա նաև այսպիսին. ներգծյալ անկյունը, որը հենված է շրջանագծի տրամագծի վրա, ուղիղ անկյուն է [4]։ Այդ ժամանակաշրջանի կարևորագույն հայտնագործությունը դարձավ կողմերի հարաբերությունը, որն աելի ուշ ստացավ Պյութագորասի թեորեմ անվանումը; Վան դեր Վարդենը կարծում էր, որ բաբելոնցիները այն հայտնագործել են մեր թվարկությունից առաջ 2000-ից 1786 թվականներին [5]։ Միանգամայն հնարավոր է, որ չինացները ևս, մյուսներից անկախ, հայտնագործել են այն (տե՛ս «Մաթեմատիկկան ինը գրքերում»); անհայտ է, իմացել են արդյոք հին եգիպտացիները թեորեմի ընդհանուր բանաձևը, բայց հայտնի է, որ 3, 4 և 5 կողմերով «եգիպտական եռանկյունը» լայնիորեն կիրառվել է տարբեր բնագավառներում։

Հին Հունաստան[խմբագրել]

Եռանկյունաչափական հարաբերությունների ընդհանուր ու տրամաբանական կապերը ի հայտ եկան հին հունական երկրաչափությունում [6]։ Հույն մաթեմատիկոսները եռանկյունաչափությունը առաձին գիտություն չէի համարում, նրանց համար դա աստղագիտության մի մասն էր [7]։

Հարթ եռանկյունաչափություն[խմբագրել]

Եռանկյունաչափական բնույթի շատ թեորեմներ պարունակում են Էվկլիդեսի «Սկզբունքներ» (մ. թ. ա. IV դար)։ «Սկզբունքների» առաջին գրքում 18 և 19 թեորեմներում ասվում է, որ եռանկյան մեծ կողմի դիմաց գտնվում է մեծ անկյուն, և հակառակը, մեծ անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմ։ 20 և 22 թեորեմները ներկայացնում են «եռանկյան անհավասարությունը». երեք հատվածներից կարելի է ստեղծել եռանկյուն այն, և միայն այն դեպքում, երբ այդ հատվածներից յուրաքաչյուրը փոքր է մյուս երկուսի գումարից։ 32-րդ թեորեմն ապացուցում է, որ եռանկյան անկյունների գումարը 180° 1։

«Սկզբունքների» երկրորդ գրքում 12-րդ թեորեմն իրենից ներկայացնում է կոսինուսների թեորեմի բառային անալոգը[8]։

Դրան հաջորդող 13-րդ թեորեմը կոսինուսների թեորեմն է ուղղանկյուն եռանկյան համար։ Սինուսների թեորեմի անալոգը հույների մոտ սկզբնական շրջանում չի եղել։ Այդ կարևորագույն հայտնագործությունը կատարվել է ավելի ուշ[9]։

Արիստարքոսի եռանկյունը՝ Արեգակի, Երկրի ու Լուսնի փոխդասավորությունը քառակուսացման ժամանակ

Եռանկյունաչափության հետագա զարգացումը կապված է Արիստարքոս Սամոսացու անվան հետ (մեր թվարկոթւյունց առաջ III դար)։ Նրա «Արեգակի ու Լիուսնի չափերն ու հեռավորությունները» տրակտատում խնդիր էր դրվում երկնային մարմինների հեռավորկությունների հետ կապված; այդ խնդիրը պահանջում էր գտնել ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերությունները ունենալով միայն սուր անկյուններից մեկի աստիճանային չափը։ Արիստարքոսը դիտարկում էր քառակուսացման ժամանակ Արեգակի, Լուսնի ու Երկրի փոխդասավորվածությամբ առաջացած ուղանկուն եռանկյունը։ Նրանից պահանջվում էր գտնել ներքնաձիգի երկարությունը (Արեգակի ու Երկրի հեռավորությունը) էջով (Երկրի ու Լուսնի հեռավորությունը), այն դեպքում, երբ անկյունը 87° է։ Դա համարժեք է ~\sin 3^\circ-ը հաշվելուն։ Արիստարքոսի գնահատականով այդ հեռավորությունն ընկած է 1/20-ից 1/18 միջակայքում, ինչը նշանակում է, որ Արեգակի Երկրից ունեցած հեռավորությունը 20 անգամ ավելի մեծ է քան Լուսնի Երկրից ունեցած հեռավորությունը[10]; իրականում Արեգակը երկրից 400 անգամ ավելի հեռու է քան Լուսինը, իսկ այդ սխալն առաջացել էր անկյան աստիճանային չափը սխալ հաշվելու պատճառով. Միաժամանակ Արիստարքոսը ապացուցեց մի անհավասարություն, որը ներկայիս տերմինալոգիայով արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով.

\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} < \frac{\alpha}{\beta}<\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \beta}.

Այս նույն բանաձևը կա նաև Արքիմեդի «Ավազահատիկների հաշվարկ»-ում Архимеда[11]։ Արքիմեդի աշխատություններում (մեր թվարկությունից առաջ III դար) կա լարի բաժանման թեորեմ, որը նման է կես անկյան սինուսի թեորեմին [12][13]։

\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 - \cos\alpha}{2} }.
Հիպարքոս Նիկեացի, առաջին եռանկյուանաչափական աղյուսակների ենթադրյալ հեղինակ

Անտիկ գիտության զարգացման շրջանում եռանկյունաչափությունն ամենաշատը կիրառվել է աստղագիտության մեջ։ Բացի երկնային մարմինների հեռավորությունների հաշվման խնդիրները, եռանկյունաչափության հետագա զարգացումը պահանջում էր էպիցիկլերի և/կամ էկսցենտրերի պարամետրերի համակարգ, որը կներկայացնի լույսի տարածումը տարածության մեջ։ Համաձայն լայնորեն տարածված կարծիքի, այդ խնդիրն առաջին անգամ առաջադրվել ու լուծվել է Հիպարքոսի (մեր թվարկությունից առաջ II դարի կեսեր) կողմից, Արեգակի ու Լուսնի ուղեծրերի հայտնագործումով։ Հնարավոր է, որ այդ խնդիրը աստղագիտության մեջ ավելի վաղ ժամանակներում է առաջ եկել։ Նրան են վերագրվում նաև առաջին եռանկյունաչափական աղյուսակների ստեղծումը, որոնք մեզ չեն հասել[14]։ Կա վարկած, որ առաջին եռանկյունաչափական աղյուսակները գոյություն են ունեցել արդեն մեր թվարկությունից առաջ III դարում Ապոլլոն Պերգացու կողմից։[15]

θ/2 անկյան սինուսը հավասար է միավոր շրջանագծի լարի կեսին

Ժամանակակից ֆունկցիաների փոխարեն Հիպարքոսն ու մյուս հույն մաթեմատիկոսները դիտարկում էին շրջանագծի տրված կենտրոնային անկյան լարի ու կենտրոնային անկյան կախվածությունը։ Ժամանակից տերմնալոգիայով միավոր շրջանագծի θ աստիճանային չափ ունեցող աղեղի լարի երկարությունը հավասար է θ/2 կենտրոնական անկյան սինւսի կրկնապատիկին։ Այդ հարաբերությունը ճշմարիտ է յուրաքանչյուր անկյան համար. 0° < θ < 360°։ Լարերի լեզվով էլ հենց հին հունները ստացան եռանկյունաչափական բանաձևերը[1]։ Օրինակ, ժամանակակց բանաձևով.

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

համապատասխանում է հունականին[16]։

(chord_{\alpha})^2 + (chord_{180^\circ - \alpha})^2 = d^2,

որտեղ chord_{\alpha}՝ \alpha կենտրոնական անկյան լար,, d՝ շրջանագծի տրամագիծ։

Ընդ որում, այն ժամանակ միավոր շրջանագիծ չէին վերցնում, ինչպես հիմա։ Օրինակ, Հիպարքոսի մոտ շրջանի շառավիղը R=3438 միավոր. այս չափողականության պայմաններում շրջանի աղեղի երկարությունը հավասար էր լինում աղեղի անյունային չափին՝ արտահայտված րոպեներով. ~\frac{360\cdot 60}{2\pi}\approx 3438, և սա հեշտացնում էր հաշվարկները։ Պտղոմեոսի մոտ R=60 միավոր։ Ժամանակակից վերակառուցվածքների համաձայն [14] [17], Հիպարքոսի մոտ լարերի երկարությունները հաշվարկվում էին 7°30' ինտերվալներով։ Հնարավոր է, որ Հիպարքոսիաղյուսակի հիմքում ընկած ՝ Արքիմեդի կողմից հայտնագործված մեթոդը, որը առաջարկվել էր նաև Արիստարքոսի կողմից։[18].

Ավելի ուշ II դարի ստղագետ Կլադիա Պտղոմեոսը «Ամահեսթում» լրացնում է Հիպարքոսի ստացած արդյունքները։ «Ալմահեսթի» տասներեք գրքերը հանդիսանում են անտիկ գիտության մեծագույն եռանկյունաչափական աշկատությունները։ Մասնավորապես «Ալմահեսթը» պարունակում է աղեղների հսկայական հնգամակարդակ աղյուսակներ ինչպես սուր, այնպես էլ բութ անկյունների համար 30 րոպեին հավասար քայլերով[1]։ Լարերը հաշվելու համար Պտղոմեոսն (X գլխում) օգտագործում էր Պտղոմեոսի թեորեմը (որը հայտնի էր դեռ Արքիմեդին), որը պնդում է հետևյալը. Շրջանագծին ներգծված ուռուցիկ բազմանկյան հանդիպակաց կողմերի երկարությունների արտադրյալներրի գումարը հավասար է այդ բազմանկյան անկյունագծեր արտադրյալին։ Այս թեորեմից դժվար չէ ստանալ երկու բանաձևեր՝ գումարային անկյան սինուսն ու կոսինուսը, և ևս որկու բանաձևեր՝ տարբերություն անկյան սինուսն ու կոսինուսը։ Սակայն հուների մոտ բանաձևային տեսքերը բացակայում էին[19]։

Անտիկ եռանկյունաչափական տեսության հիմնական հայտնագործությունը եղավ այսպես կոչված «եռանկան լուծումը», այսինք, եռանկյան անհայտ տարրերը գտնելը օգտվելով երեք տրված տարրերից (որոնցից գոնե մեկը կողմ է)[6]։ Արդյունքում այդ խնդիրն ու դրա ընդհանրացումը դարձան եռանյունաչափության հիմքը[1]. տրված են եռանկյան որոշ (սովորաբար երեք) հայտնի տարրեր, պահանջվում է գտնել մյուսները օգտվելով դրանցից։ Ի սկզբանե եռանկյան տարրերի (հայտնի կամ անհայտ) ցանկում էին միայն նրա կողմերն ու գագաթի անկյունները, ավելի ուշ դրանց միացան նաև բարձրությունները, կիսորդները, միջնագծերը, ներգծված ու արտագծված շրջանագծերի շառավիղները, ծանրության կենտրոնը և այլն։ Կիրառական եռանկյունաչափական խնդիրները տարբեր են լինում. օրինակ, կարող էն տրված լինել ոչ անմիջական տվյալներ (օրինակ, անկյունների գումար կամ կողմերի հարաբերություն)։

Սֆերիկ եռանկյունաչափություն[խմբագրել]

Հարթ եռանկյունաչափության հետ զուգահեռ հույները, աստղագիտության ազդեցության տակ, լայնորեն զարգացրին սֆերիկ եռանկյունաչափությունը։ Էվկլիդեսի «Սկզբունքներում» այդ թեմայով միայն մի քանի թեորեմ կա, որոնք նվիրված են տարբեր տրամագծերով գնդերի ծավալների հարաբերություններին, բայց աստղագիտության ու քարտեզագրության մեջ թեմայի խիստ պահանջված լինելու շնորհիվ այն արագորեն սկսեց զարգանալ։ Սֆերիկ եռանկյունաչափությունը կիրառվում է նաև երկնային կոորդինատների, քարտեզագրական պրոյեկցիաների մեջ (մասնավորապես՝ աստրոլաբիա [20]

Պատմաբաններն այդպես էլ կոնսենսուսի չեկան անտիկ հույների երկնային սֆերայի ուսումնասիրությունների զարգացման մակարդակի վերաբերյալ։ Որոշ հետազոտողներ եզրակացնում են, որ հասարակածային ու խավարման կոորդինատային համակարգները օգտագործվել են աստղագիտական հետազոտությունների ամփոփման համար ու հայտնագորվել են նվազագույնը Հիպարքոսի ժամանակներում[21]։ Հնարավոր է, որ այն ժամանակ արդեն հայտնի են եղել սֆերիկ եռանկյունաչափության որոշ թեորեմներ, որոնք անհրաժեշտ էին աստղային կատալոգների[22] ստեղծման համար ու գեոդեզիայում։

«Սֆերիկայի» (ասինքն, սֆերիկ երկրաչափություն, պարզ արտահայտված աստղագիտական մոտիվներով) թեմայով մեզ հայտնի առաջին գիտական աշխատությունները գրել են[23].

  • Աուտոլիկուսը Պետեից և Եվկլիդեսը («Ֆենոմեններ») (մ. թ. ա. IV դար)։
  • Թեոդոսիոսը և Հիփսիկլեսը (մ. թ. ա. II դար)

Այս ժողովածուներում բազմիցս հանդիպում են եռանկյունաչափական արտահայտություններ, սակայն մակերեսային ուսումնասիրության պատճառով հեղինակները լուրջ եզրահանգումների չեն գալիս։ Օրինակ, «գտնել լրիվ արևածագի (մայրամուտի) կենդանակերպի համաստեղությունում» խնդիրը Հիպսիկլեսը լուծել է բազմանկյուն թվերի օգնությամբ[23]։

Գնդոլորտային եռանկյուն

Տեսության զարգացման վճռական էտապ հանդիսացավ Մենելայ Ալեքսանդրիացու «Սֆերիկա» մոնոգրաֆիան (մոտավորապես մեր թվարկության 100 թվական)։ Առաջին գրքում նա նկարագրում է սֆերիկ եռանկյուների մասին թեորեմները, Եվկլիդեսի անալոգային թեորեմները հարթ եռանկյուների մասին (տե՛ս «Սկզբունքների» առաջին գիրք)։ Պատմաբանները կարծում են, որ Մենելեյի մոտեցումը շատ առումներով հիմնվում է Թեոդոսիոսի աշխատության վրա, սակայն Մենելեյը առավել խորացված է ներկայացրել եզրակացություններն ու ավելացրել նորերը։ Համաձայն Պապուս Ալեքսանդրիացու հաղորդագրության, Մենելեյն առաջինն էր, որ գնդոլորտային եռանկյունը դիտարկեց, որպես գառանձին մարմին, այն ներկայացնելով գնդի հատվածների միջոցով[24]։ Մենելայն ապացուցել է թեորեմ, որի վերաբերյալ Եվկլիդեսը չունի հարթ անալոգ. երկու սֆերիկ եռանկյուններ համատեղելի են, եթե համապատասխան անկյունները հավասար են։ Նրա այլ թեորեմ պնդում է, որ սֆերիկ եռանկյան անկյունների գումարը միշտ մեծ է 180°[24]։

«Սֆերիկայի» երկրորդ գիրքը ներկայացնում է սֆերիկ երկրաչափության կիրառությունը աստղագիտության մեջ։ Երրորդ գիրքը պարունակում է կիրառական աստղագիտության կարևորագույն թեորեմներից մեկը՝ Մենելեյի թեորեմը, որն այլ կերպ հայտնի է «վեց բարձրույթունների կանոն»[25]։ Մենելեյի մյուս երկու հայտնագործությունները, որոնք ևս ֆունդամենտալ բնույթ ունեն, հետագայում կոչվեցին «չորս բարձրությունների կանոն» և «տանգենսների կանոն»[24]։

Մի քանի տասնամյակ անց Կլավդիա Պտղոմեոսը իր «Երկրաչափություն», «Անալեմա» և «Պլանիսֆերաներ» աշխատույթուններում տալիս է եռանկյունաչափական արտահայտությունների հստակ կիրառությունը քարտեզագրության, աստղագիտության ու մեխանիկայի մեջ։ Այդ ամենի հետ մեկտեղ, նկարագրված է ստերեոգրաֆիկ պրոյեկցիան ու բցատրված են մի քանի կոնրետ առաջադրանքներ. գտնել երկնային լուսատուի բարձրություն ու ազիմուտը կախված նրա թեքումից ու ժամային անկյունից։ Եռանկյունաչափության տեսանկյունից, դա նշանակում է, որ պետք է գտնել սֆերիկ եռանկյան կողմը, ըստ մյուս երկու կողմերի ու հանդիպակաց անկյան[26]։

Պտղոմեոսը սֆերիկ երկրաչափությանն է նվիրել նաև XIII գլուխը առաջին գրքում՝ «Ալմեհեսթում»; ի տարբերություն Մենելեյի, Պտղոմեոսը չի տվել իր պնդումների մեծ մասի ապացույցները, բայց մեծ ուշադրություն է դարձրել ալգորիթմերին, ինչը շատ անհրաժեշտ է աստղագիտության մեջ։ Որպես հիմնական կառուցվածք, լարերի փոխարեն «Ալմահեսթում» ծառայում է «Մենելեյի քառանկյունը»։ Ուղղանկյուն սֆերիկ եռանկյան «լուծման» համար, այսինք եռանկյան բնութագրիչների որոշման համար, Պտղոմեոսը տվել է չորս թեորեմ։ Ժամանակաից տերմինալոգիայով դրանք ունեն այ տեսքը (C անկյունն ուղիղ է)[27].

\sin a = \sin c \cdot \sin A (Սինուսների թեորեմի մասնավոր դեպք)
\operatorname{tg} a = \sin b \cdot \operatorname{tg} A
\cos c = \cos a \cdot \cos b (կոսինուսների թեորեմի մասնավոր դեպք)
\operatorname{tg} b = \operatorname{tg} c \cdot \cos A

Պարզաբանենք, որ սֆերիկ երկրաչափությունում եռանկյան կողմերն ընդունված է չափել ոչ թե գծային միավորներով, այլ նրա վրա հենված կոնտրանական անկյան աստիճանային չափով։ Ժամանակակից սֆերիկ երկրաչափությունում կիրառում են ևս երկու հայտնի հարաբերակցույթուն

\cos A = \cos a \cdot \sin B (ևս հետևում է սֆերիկ երկրաչափության կոսինուսների թեորեմից)
\cos c = \operatorname{ctg} A \cdot \operatorname{ctg} B

Պտղոմեոսի մոտ սրանց բացակայում են, քանի որ դրանք չեն հետևում Մենելեյի տեսությունից[27].

Միջնադար[խմբագրել]

Հնդկաստան[խմբագրել]

IV դարում, անտիկ գիտության վախճանից հետո մաթեմատիկայի զարգացման կենտրոնը տեղափոխվեց Հնդկաստան։ Հնդիկ մաթեմատիկոսների աշխատությունները՝ սիդհանթերը, ցույց են տալիս, որ նրանք քաջատեղյակ են հույն երկրաբանների ու աստղագետների աշխատություններին[28]։ Մաքուր երկրաչափությամբ հնդիկները քիչ էին հետաքրքրվում, բայց նրանց ներդրումը կիրառական աստղագիտության ու ասպեկտների հաշվման եռանկյունաչափությունում անփոխարինելի է։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների որոշումը միջնադարյան մաթեմատիկայում

Առաջին հերթին հնդիկները փոխեցին եռանկյունաչափության բազմաթիվ կոնցեպցիաներ, այն մոտեցնելով ժամանակակիցին։ Նրանք անտիկ լարերի փոխարեն ուղղանկյուն եռանկյուններում ներմուծեցին սինուսները («սինուս» բառը սանսկրիտում գալիս է «աղեղնլարից»[29])։ Դրանով սկսվեց հնդիկների կողմից եռանկյունաչափությունը որպես առանձին գիտություն ուսումնասիրելը, չնայած ի տարբերություն հունական լարերի, հնդկական մոտեցումը վերաբերում էր միայն սուր անկյուններով ֆունկցիաներին[30]։

Հնդիկները սինուսն ավելի այլ կերպ էին ընկալում, քան ժամանակակից մաթեմատիկայում (տե՛ս, նկար աջից)։ Սինուսի տակ ընկալվում է AD հատվածի երկարությունը, որը հենված է R=3438 շառավղով (ինչպես Հիպարքոսի մոտ) շրջանագծի AC լարի վրա։ Այդ կերպ անկյան «հնդկական սինուսը» 3438 անգամ մեծ էր ժամանակակից սինուսի արժեքից ու երկարության չափողականություն ուներ[29]։ Այդ կանոնից բացառությունների կային, օրինակ, Բրահմագուտը անհայտ մեթոդներով գտել էր 3270 միավորի հավասար ռադիուս[31]։

Հնդիկներն առաջինն էին, որ օգտագործեցին կոսինուսը։ Կիրառվում էր նաև, այսպես կոչված, հակադարձ սինուսը, կամ սինուս-վերզուսը, որը աջ մասի նկարում հավասար է DC գատվածի երկարությանը[32]։

Ինչպես հույների մոտ, այնպես էլ հնդիկների մոտ եռանկյունաչափությունը զարգանում էր աստղագիտության, մոլորակների շարժման ու երկնային ոլորտի ուսումնասիրությունների համար։ Դա վկայում է այն մասին, որ նրանք լավ տեղյակ էին «Ալմահեսթ» և «Անալեմա» աշխատություններում նկարագրված գնդոլորտային երկրաչափությունից, սակայն նրանց սեփական հայտնագործություններ ու աշխատություններ կոնկրետ եռանկյունաչափության վերաբերյալ չեն հայտնաբերվել[33]։ Այնուամենայնիվ, աստղագիտական խնդրների լուծման բնագավառում հնդիկները ահռելի հաջողությունների են հասել[28]։ Օրինակ, Վարահամիհիրի (VII դար) «Պանչա-սիդհանթիկայում» տրվում է Պտղոմեոսի կողմից նկարագրված աստղագիտական խնդրի յուրօրինակ լուծում. գտնել Արևի բարձրությունը հորիզոնից, եթե հայտնի է տեղանքի լայնությունը, Արեգակի թեքումն ու ժամային անկյունը։ Լուծման համար հեղինակը կիրառում է կոսինուսների թեորեմի անալոգը[34], հենց նա է առաջին անգամ ստացել կես անկյան սինուսի բանաձևը[35]։

Արիբհատոսի արձանը: Աստղագիտության ու աստղաֆիզիկայի հնդկական միջհամալսաևային կենտրոն (IUCAA)

Աստղագիտական հաշվարկների համար ստեղծվեցին եռանկյունաափական աղյուսակներ։ Սինուսների առաջին (քառարժեք) աղյուսակները ստեղծվել են Արիաբհատոսի կողմից՝ «Սուրիա-սիդահարթ» («Արիաբհատիա», V դար)։ Արիաբհատոսի աղյուսակները պարունակում են սինուսների ու սինուս-վերզուսների 24 արժեքներ, 3°45' միջակայքերով (սրա մի մասը արդեն կար Հիպարքոսի աղյուսակում)։

Եռանկյունաչափության մեջ մեծ ներդրում ունեցավ Բրահմապուտրան (VII դար), ով հայտնագործեց մի քանի եռանկյունաչափական հարաբերություն, այդ թվում նաև նրան, որոյք ժամանակակից տերմինալոգիայում ունեն այս տեսքը[36].

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)

Բացի այդ, հնդիկները գիտեին բազմապատիկ անկյունների սինուսներ՝ \sin n\varphi, \cos n\varphi, n = 2, 3, 4, 5 համար։ «Սուրիա-սիդահարթ»-ում օգտագործվում է սինուսների թեորեմի սֆերիկ տարբերակը, սակայն այդ թեորեմի վերջնական տեսքը հնդիկներին այդպես էլ չհաջողվեց տալ[37]։ Պատմաբանները հնդիկների մոտ հայտնաբերեցին տանգենսի մասնակի օգտագործման դեպքեր, բայց այդ հասկացության կարևորությունը հասկացվեց ավելի ուշ, իսլամական երկրների մաթեմատիկոսների կողմից[28]

Մեկ այլ հայտնի գիտնականի՝ Բհասկարա II-ի աշխատություններում (XII դար), տրվում են անկյունների գումարների ու տարբերությունների սինուսների ու կոսինուսների տարբերությունների բանաձևերը.

\sin (\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta,

ինչպես նաև.

\sin \alpha - \sin \beta \approx (\alpha - \beta)\cos \beta

(\alpha \approx \beta դեպքում) որը համապատասխանում է սինուսի դիֆերենցման արտահայտությանը։ Հնեվելով սինուսի գումարման բանաձևի վրա, Բհասկարան հարապարակեց Արիաբհատոսի եռանկյունաչափական աղյուսակի ավելի ճշգրիտ ու մանրամասն տարբերակը, 1° միջակայքով[38]։

XI դարում մուսուլմանները (Մահմուդ Գազնեվի) գրավեցին ու ավիրեցին Հյուսիսային Հնդկաստանը։ Մշակութային կենտրոնները տեղափոխվեցին Հարավային հնդկաստան որտեղ ձևավորվում էր այսպես կոչված «Կերալի դպրոցը» (Հնդկաստանի հարավում գտնվող Կերալի նահանգի անունից)[39]։ XV—XVI դարերում Կերալի մաթեմատիկոսները աստղագիտական հետազոտությունների ընթացքում մեծ հաջողությունների հասան թվային շարքերի հետ առնչվող հաշվարկներում, այդ թվում նաև եռանկյունաչափական ֆունկցիաներում[37]։ Անանուն «Կարանապադհատի» («Հաշվարկների տեխնիկա») տրակտատում տրված են սինուսներն ու կոսնուսներրը անվերջ թվով շարքերի բաժանելու բանաձևեր[40], որոքն ստացվել էն, ամենայն հավանականությամբ նույն դպրոցի Մեդհավ (XV դարի առաջին կես[41]) անունով գիտնականի ու նրա հետևորդ Նիլականտի աշխատություններից։ Այդ բանաձևերից հեշտությամբ հնարավոր է ստանալ արկտանգենսը անվերջ թվով շարքերի բաժանելու բանաձևերը։ Եվրոպայում նման արդյունքի եկան միայն XVII—XVIII դարերում։ Այդ ձևով սինուսների ու կոսինուսների շարքերը կիրառում էր Իսահակ Նյուտոնը մոտավորապես 1666 թվականին, իսկ արկտանգենսը հայտնաբերվեց Ջ. Գրեգորիի կողմից 1671 թվականին և Լեյբնիցի կողմից 1673 թվականին[42]։

Իսլամական երկրներ[խմբագրել]

VIII դարում Մերձավոր ու Միջին արևելքում ծանոթացան հին հունական ու հնդկական մաթեմտիկոսների ու աստղաբանների աշխատություններին։ Այդ աշխատությունները արաբերենի թարգմանելու կարևորագույն գործով զբաղվել են VIII դարի այնպիսի լեգենդար գիտնականներ, ինչպիսիսք են Իբրահիմ Ալ-Ֆազարին և Յակուբ իբն Տարիկը։ Հետագայում նրանք ու նրանց սերունդնեը սսկեցին լայնորեն զբաղվել այդ տեսությունների մեկնաբանությամբ ու զարգացմամբ։ Ինչպես հնդիների, այնպես էլ իսլամական գիտնականների համար հետազոտման համար հիմնական կառուցվածք էր ծառայում սինուսը եռանկյան մեջ, կամ որ նույն է լարի կեսը շրջանագծի մեջ։[33]

Նրանց աստղագիտական տրակտատները, հնդկական սիդհաների օրինակով, կոչվւմ էին «զիջեր»; տիպական զիջը իրենից ներկայացնում էր աստղագիտական ու եռանկյունաչափական աղյուսակների հավաքածու, որտեղ աղյուսակները դասակարգված են ըստ օգտագործելության և (ոչ միշտ) ընդհանուր տեսության մեջ օգտագործելիության[43]։ VIII—XIII դարեի զիջերի ուսումնասիրությունները ցույց են տալիս, որ եռանկյունաչափության վերաբերյալ գիտելիքներն արագորեն ավելանում են։ Իսլամի գիտնականների համար առավել հետաքրքրությւուն էր ներկայացնում գնդոլորտային եռանկյունաչափությունը, որի միջոցով հնարավոր էի իրականացնել աստղագիտական ու գեոդեզիական հաշվարկներ[44] Նոր նուծելու խնդիրների շարքում էին նաև սրանք[45][43].

— Օրվա տեվողության ստույգ որոշում:
— Երկնային մարմինների ապագա դիրքերի հաշվարկները, դրանց դուրս գալու ու մայր մտնելու ժամանակների որոշումը, Արեգակի ու Լուսնի խավարումները
— Տվյալ վայրի աշխարհագրական կոորդինատների որոշումը
— Քաղաքների միջև հեռավորությունների ու տրված կոորդինատների միջև հեռավորությունների որոշումը
— Մեկկուի դիրքի որոշումը սահմանված դիրքից:
Միջնադարյան արաբական մաթեմատիկայում տանգենսի, կոտանգենսի, սեկանսի ու կոսեկանսի որոշումը: AD-ն գնոմոնն է (ողղաձիգ՝ վերևում, հորիզոնական՝ ներքևում), OD հատվածը նրա ստվերն է

Պահպանված ամենահին աշխատություններից են Ալ-Խորեզմիի ու Ալ Մարվազի (IX դար) տեսությունները, ովքեր դեռևս հնդիկներին հայտնի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների՝ սինուսի ու կոսինուսի, հետ մեկտեղ ներմուծեցին նոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. տանգենս, կոտանգենս, սեկանս, կոսեկանս[32]։ Ի սկզբանե այս ֆունկցիաներն այլ կերպ էինք ընկալվում, քան ժամանակակից մաթեմատիկայում։ Այսպես, կոտանգենսի տակ ընկալվում էր ուղղաձիգ 12 (երբեմն 7) միավոր բարձրությամբ գնոմոնի ստվերի երկարությունը։ Սկզբում այս հաշվարկներն օգտագործվում էին արևային ժամացույցների հաշվարկների համար։ Տանգենս էր կոչվում հորիզոնական գնոմոնի ստվերը։ Սեկանս ու կոսեկանս էին կոչվում գնոմոնից ու նրա ստվերից առաջացած ուղղանկյուն եռանկյունների ներքնաձիգերը (աջ մասի նկարում AO հատվածը)[46]։ Միայն X դարում փիլիսոփա ու մաթեմատիկոս Ալ Ֆարաբին իր «Ալմահեսթի» մեկնաբանություններում տվել է նոմոնիկայից անջատ այդ հասկացությունների սահմանումները, դրանք որոշելով պտղոմեոսյան եռանկյունաչափական ռադիուսի սինուսներով ու կոսինուսներով (60 միավոր)։ Այս վեց ֆունկցիաների կապերը տվել է Ալ Բատանին նույն հարյուրամյակում։Ընդհանում, հիմանակն միավորման հասավ Աբու-լ-Վաֆան X դարի կեսերին։ Նա առաջին անգամ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հաշվարկների ժամանակ օգտագործեց միավոր շրջանագիծը, ինչպես արվում է ժամանակակից մաթեմատիկայում։

Սաբիտ իբն Կուրան (IX դար) և Ալ-Բատանին (X դար) առաջինը բացահայտեցին սինուսների հիմնական թեորեմը մասնավոր ուղղանկյուն սֆերական եռանկյան համար։ Սֆերիկ եռանկյան գամար թեորեմի ապացույցը գտնվեց (տարբեր եղանակներով, և, հավանաբար, միմյանցից անկախ) Աբու-յ-Վաֆայի, ալ-Հուջանիի ու իբն Իրաքի կողմից X դարի վերջում[47]։ Այլ տրակտատում իբն Իրաքը ձևակերպել ու ապացուցել է սինուսների թեորեմը հարթ եռանկյան համար[48]։

Կոսինուսների թեորեմը սֆերական եռանկյան համար իսլամական երկրներում ձևակերված ու ապացուցված չէր, բայց Սաբիտ իբն Կուրայի, ալ-Բատանիի ու մյուս աստղաբանների աշխատանքներում կան դրան համարժեք պնդումներ։ Հավանաբար, Ռեգիոմոնտանը, ով առաջինը տվեց այդ կարևրագույն կապվախության ձևակերպումը (XV դար), դրան տվեց «Ալբատենիայի թեորեմ» (այն ժամանակ Եվրոպայում այդպես էին անվանում ալ-Բատանիին)[49]։

Իբն Յունիսը (X դար) բացահայտեց եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բազմապատկման[50] բանաձևերը, օրինակ.

\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},

Բազմապատկման բանաձևերը հնարավորություն տվեցին խուսափել այն ժամանակատար հաշվարկներից, որոնց ժամանակ անհրաժեշտ էր վերլուծել արտադրիչների։ Արդյունքում Եվրոպայում այդ բանաձևերն օգտագործվեցին հակառակ նպատակով. գումարման ու հանման գործողությունները փոխարինում էին բազմապատկմամբ, որպեսզի արդյունքը գրանցեն լոգարիթմական աղյուսակում[51]

Այդ ժամանակների գիտության կարևորագույն խնդիրներից էր հնարավորինս փոքր քայլով եռանկյունաչափական աղյուսակների ստեղծումը: IX դարում Ալ-Խորեզմին ստեղծեց սինուսների աղյուսակ -ի հավասար քայլով, նրա ժամանակակից Խաբաշ ալ-Հասիբը (ալ-Մարվազի) դրան ավելացրեց տանգենսների, կոտանգենսների, կոսինուսների առաջին աղյուսակները (նույն քայլով)[32]: X դարի սկզբում ալ-Բատանին հրապարակեց 30' աստիճանային չափի հավասար քայլով աղյուսակներ, նույն հարյուրամյակի վերջում Իբն Յունիսը կազմեց 1' քայլով աղյուսակներ[52]: Աղյուսակներ կազմելու ժամանակ կարևորը \sin 1^\circ-ի արժեքի որոշումն էր: Դրա մեծությունը չափելու մեթոդներ առաջարկել են Իբն Յունիսը, Աբու-լ-Վաֆան, ալ-Բիրունին: XV դարում լավահույն արդյունքին հասավ ալ-Կաշին. իր աշխատություններից մեկում նա հաշվել է, որ ~\sin 1^\circ \approx 0{,}017452406437283571 (բոլոր նիշերը ճիշտ են): Սամարղանդյան Ուլուգբեկի աստղադիտարանում նրա մասնակցությամբ «Աստղագիտական աղյուսակների» կազմման ժամանակ սինուսի արժեքը հաշվվել է վեց վեցական միավորներով[53], 1' քայլով: Ուգուլբեկ սուլթանը անձամբ մասնակցել է այդ գործին. նա հատուկ տրակտատ է գրում 1°-ի անկյան սինուսի հաշվման մասին:

Եռանկյունաչափական առաջին մասնագիտացված աշխատությունը միջինասիացի գիտնական ալ-Բիրունիի (X—XI դար) «Ատղագիտական գիտությունների բանալիների գիրք» (995—996 թվականները աշխատությունն է: Եռանկյունաչափության ամբողջ կուրսը պարունակում էր ալ-Բիրունիի գլխավոր աշխատությունը՝ «Կանոն Մաս‘ուդա» (գիրք III): Բացի սինուսների աղյուսակից (15' քայլով) Ալ-Բիրունին տվել է նաև տանգենսների աղյուսակը (1° քայլով): Գաղափարապես Բիրունիի աշխատությունները մոտ են պտղոմեոսյաններին. աղեղների լեզվով նա ձևակերպում է կրկնակի ու կես սինուսների, անկյունների գումարի ու տարբերության սինուսների մասին թեորեմները[54]: Ալ-Բիրունի գիրքը ցույց է տալիս նաև կանոնավոր ներգծյալ իննանկյան կառուցումն ու դրա կողմի երկարության մոտավոր որոշումը; այդ ալգորիթմը նա օգտագործում է ~\sin 1^\circ ստացման համար: Մեկ այլ աշխատությունում՝ «Գեոդեզիայում», Բիրունին հաղրդում է երկրային զենիթի սեփական հաշվումների արդյունքները, որոնք մոտ էին իրականին (մետրական համակարգով Բիրունին ստացել էր 6340 կմ)[55]:

Եռանկյունաչափության, որպես առանձին գիտության հիմնարար հասկացությունները (ինչպես հարթաչափական, այնպես էլ սֆերական) տվել է պարսիկ մաթեմատիկոս ու աստղաբան Նասրեդին Թուսին 1260 թվականին[56]: Նրա «Աշխատություն ուռուցիկ քառանկյան մասին» աշխատությունը պարունակում է տիպիկ խնդիրների պրակտիկ լուծումներ, այդ թվում բարդ վարժությունների, իորոնք լուծել է հենց աթ-Թուսին, օրինակ, գնդոլորտային եռանկյան կառուցումն ըստ տրված երեք անկյունների[57]: Ձևակերպված է տանգենսների թեորեմը գնդային եռանկյունների համար, նկարագրված է կարևոր հասկացությունը բևեռային եռանկյունների մասին (առաջին անգամ օգտագործել են XI դարում Իբն Իրաքին ու ալ-Ջայանին): Աթ-թուսիիաշխատությունները լայնորեն հայտնի են Եվրոպայում ու խստորեն ազդել են եռանկյունաչափության հետագա զարգացման վրա:

Այդ կերպ, XIII դարի վերջում արդեն հայտնաբերվեցին հիմանարար տեսությունները, որոնք կազմում են եռանկյունաչափության հիմնական բովանդակությունը:


 — Եռանկյունաչափական կամայական ֆունկցիայի ներկայացումը ցանկացած այլ ֆունկցիայի տեսքով:
 — Սինուսների ու կոսինուսների բազմապատիկ ու կես անկյունների բանաձևերի, նաև անկյունների գումարի ու տարբերության սինուների ու կոսինուների բանաձևերի արտածումը:
 — Սինուսների ու կոսինուսների թեորեմներ:
 — Հարթաչափական ու գնդային եռանկյունների հաշվումը:

Հանրահաշվական սիմվոլիկայի բացակայության պատճառով այս բոլոր թերորեմները ներկայացվել են բառերով, չեն ունեցել բանաձևային արտահայտություն: Մյուս առումներով դրանք լիովին համապատասխանում են ժամանակաիկիցին

Եվրոպա[խմբագրել]

Ռեգիոմոնտանուս

Երբ XII—XIII դարերում արաբական տրակտատները հասան լատինական երկրներ հնդիկ ու պարսիկ մաթեմատիկոսների բազմաթիվ գաղափարներ դարձան եվրոպական գիտության հաջողությունները: Ամենայն հավանականությամբ եվրոպացիների առաջին ծանոթությունը եռանկյունաչափության հետ տեղի ունեցավ զիջու Ալ-Խորեզմիի շնորհիվ, որի երկու թարգմանությունները կատարվել են XII դարում: Սկզբնական շրջանում եռանկյունաչափության վերաբերյալ վկայությունները (նրա օգտագործման կանոններ, որոշ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների աղյուսակներ) հայտնվել են աստղագիտության վերաբերյալ աշխատություններում, սակայն Ֆիբոնաչիի «Երկրաչափության կիրառություն» աշխատությունում, որը գրվել է 1220 թվականին, եռանկյունաչափությունը ներկայացված է, որպես երկրաչափության բաժին: Առաջին եվրոպական աշխատությունը, որն ամբողջությամբ նվիրված է եռանկյունաչափությանը, հաճախ անվանում են «Չորս տրակտատ ուղիղների ու լարերի հարաբերությունների մասին»: Այն գրել է անգլիացի աստղաբան Ռիչարդ Ուոլլինգֆորդը (մոտավորապես 1320 թվական): Գիրքը պարունակում է եռանկյունաչափական նույնությունների ապացուցների շարք և սինուսների հաշվման յուրօրինակ մեթոդներ: Մոտավորապես նույն թվականներին է գրվել նաև հրեա մաթեմատիկոս Լևի բեն Գերշոմի (Գերսոնիդես) «Սինուսների, լարերի ու աղեղների մասին» աշխատությունը, որը լատիներեն թարգմանվել է 1342 թվականին[58]: Գիրքը պարունակում է սինուսների թեորեմի ապացույցն ու սինուսների հնգանիշ աղյուսակներ[59]: Եռանկյունաչափությունը շոշափվում է նաև անգլիացի մաթեմատիկոս Թոմաս Բրադվարդինի «Տեսական երկրաչափություն» աշխատությունում (գրվել է XIV դարի առաջին կեսում, հրապարակվել է 1495 թվականին): Եռանկյունաչափական աղյուսակները, որոնք առավել հաճախ թարգմանվում էին արաբերենից, իսկ երբեմն էլ օրիգինալ, պարունակվում էին նաև XIV—XV դարերի այլ հեղինակների աշխատություններում: Հենց այդ ժամանակ էլ եռանկյունաչափությունը մտավ կրթական համակարգ:

Խոշոր ձեռքբերում էր Ռեգիոմոնտանի «Հինգ գիրք բոլոր տեսակների եռանկյունների ամսին» մենագրությունը (հրատարակված՝ 1462—1464), որում ներկայացված էին այդ ժամանակ հայտնի հարթաչափական ու գնդային եռանկյուների մասին տեսություններն ու եռանկյունաչափական բանաձևերը, նաև սինուսների (1' քայլով) ու տանգենսների (1° քայլով) յոթանիշ աղյուսակներտը: Պակաս կարևոր չէ նաև այն, որ Ռեգիոմոնտանի աղյուսակներում աստղագիտական ավանդույթի խախտմամբ առաջին անգամ օգտագործվել է տասական համակարգը: Եռանկյունաչափական շրջանի շառավիղը Ռեգիոմոնտանն ընդունել է 10^7-ին հավասար, որպեսզի աղօյուսակաին տվյալները ամբողջ թվեր լինեին (տասնորդական կոտորակներն ավելի ուշ ի հայտ եկան, ընդ որում դրանց ներմուծման հիմնական դրդապատճառը եռանկյունաչափական բանաձևերն էին[60]):

Աթ-Թուսիի աշխատության կհամեմատ Ռեգիոմոնտանի աշխատութունն ավելի ընդհանրացված էր, պարունակում էր նոր վարժությունների ցանկ, որոնք լուծվել են յուրօրինակ մեթոդներով: Օրինակ, ցուցադրվում է, թե ինչպես կառուցել եռանկյունը, եթե հայտնի է նրա մի կողմը, նրան տարված բարձրությունն ու հանդիպակաց անկյունը[61]:

Նոր ժամանակներ[խմբագրել]

XVI—XVII դարեր[խմբագրել]

Ֆերդինանդ Բոլ, Մաթեմատիկոսի դիմանկարը (1658): Պատի դիագրամը ցույց է տալիս եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, որոնք որոշվել են միավոր շրջանագծով

Նոր ժամանակներում եռանկյունաչափության զարգացումը չափազանց կարևոր էր ոչ միայն աստղաբանության ու աստղագիտության զարգացման համար, այլ նաև այլ ոլորտների համար, այդ թվում հրետանու, օպտիկայի, ծովային հեռավոր ճանապարհորդությունների կազմակերպման համար: Այդ իսկ պատճառով XVI դարում այդ թեմայով սկսեցին զբաղվել անպիսի մեծանուն գիտնականներ, ինչպիսիք են Նիկոլայ Կոպեռնիկոսը, Յոհան Կեպլերը, Ֆրանսուա Վիետը: Կոպեռնիկոսը եռանկյունաչափությանն է նվիրել իր «Երկնայի գնդերի պտույտի մասին» (1543) տրակտարի երկու գլուխներ: Շուտով (1551) հայտնվեցին Կոպեռնիկոսի աշակերտի՝ Ռետիկի տասնհինգանիշ եռանկյունաչափական աղյուսակները՝ 10" քայլով[62]: 1604 թվականին Կեպլերը հրապարակում է «Աստղագիտության օպտիկական մաս» աշխատությունը:

Բարդ եռանկյունաչափական հաշվարկների անհրաժեշտություն առաջացավ XVII դարի սկզբում, լոգարիթմների հայտնաբերմամբ: Ընդ որում, Ջոն Նեպերի առաջին լոգարիթմական աղյուսակները պարունակում էին միայն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների լոգարիթմներ: Նեպերի այլ հայնտագործությունների ցանկում կարևոր է սֆերական եռանկյունների լուծման նպատակահարմար մեթոդները, որոնք ստացել են «Նեպերի անալոգիայի բանաձևեր» անվանումը: [63]

«Եռանկյունաչափություն» տերմինը, որպես մաթեմատիկական դիսցիպլինա ներմուծել է գերմանացի մաթեմատիկոս Պիտիսկուսը, իր 1595 թվականին հրապարակված «Եռանկյունաչափություն, կամ համառոտ ու պարզ աշխատություն եռանկյունների լուծման մասին» (լատ.՝ Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus) գրքում: XVII դարի վերջում ի հայտ եկան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակակից անվանումները: «Սինուս» եզրույթն առաջին անգամ, մոտավորապես 1145 թվականին օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկոս ու արաբագետ Ռոբերտ Չեստերսկին[29]: Ռեգիոմոնտանն իր աշխատությունում կոսինուսն անվանել է «լրացման սինուս» (լատ.՝ sinus complementi), քանի որ ~\cos x = \sin(90^\circ - x); նրա հետևորդները XVII դարոհմ այդ անվանումը կրճատեցոին ու դրաձրին co-sinus (Էդմունդ Հունթեր)[64], իսկ ավելի ուշ՝ cos (Ուիլիամ Օտրեդ): Տանգենսի ու սեկանսի անվանումները 1583 թվականին առաջարկել է դանիացի մաթեմատիկոս Թոմաս Ֆինկը (անգլ.՝ Thomas Fincke)[64], իսկ վերոնշյալ Էդմունդ Գունտերը ներմուծեց կոտանգենսի ու կոսեկանսի անվանումները: «Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ» եզրույթն առաջին անգամ օգտագործել է Գեորդ Սիմոն Կլյուգելը[65] իր «Անալիտիկ եռանկյունաչափություն» (1770):

Եռանկյան ստանդարտ նշանակումները

Թոմաս Ֆինկն առաջարկել է գեոդեզիական խնդիրների յուրօրինակ լուծում՝ գտնել եռանկյան անկյունները, եթե հայտնի է նրանց գումարը՝ \alpha+\beta և հանդիպակաց կողմերի հարաբերությունը՝ a:b: Լուծման համար Ֆինկն օպգտագործել է Ռեգիոմոնտանի բանաձևը (տես նկարը)[66]:

\frac{a+b}{a-b} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\alpha+\beta}{2}} {\operatorname{tg}\frac{\alpha-\beta}{2}}

Վիետն իր «Մաթեմատիկական կանոնի» (1579) առաջին մասում ներառել է տարբեր աղյուսակներ, այդ թվում նաև եռանկյունաչափականներ, իսկ երկրորդ մասում տվել է հարփաչափական ու գնդային եռանկյունաչափական հասկացությունների կապերի բանաձևեր, սակայն առանց ապացույցների:1593 թվականին Վիետը պատրաստեց այդ աշխատության ընդլայնված, ավարտուն տեսքը:

Aquote1.png Կասկած չկա, որ նրա հետաքրքրությունը հանրահաշվի բնագավառում պայմանավորված էր աստղագիտության ու եռանկյունաչափության մեջ դրա լայն կիրառությամբ[67] Aquote2.png


Վիետի հաջորդ կարևւորօագույն ներդրումը եռանկյունաչափության մեջ հանրահաշվական սիմվոլիկայի ներմուծումն էր; եթե նախկինում առաջադրանքի լուծումը երկրաչափական գծագրի կառուցումն էր, ապա այժմ, սկսած Վիետի աշխատությունից լուծումը սկսում է ձեռք բերել նաև հանրահաշվական տեսք[68]: Սիմվոլիկայի ներմուծումը հնարավորություն տվեց կոմպակտ ձևով ներկայացնել եռանկյունաչափական նույնությունները, օրինակ բազմապատիկ անկյան բանաձևերը[69]՝

\cos m\alpha = \cos ^{m} \alpha - \frac{m(m-1)}{1\cdot 2}\cos ^{m-2} \alpha \cdot \sin ^2 \alpha + \dots
\sin m\alpha = m \cos ^{m-1} \alpha \cdot \sin \alpha - \frac{m(m-1)(m-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cos ^{m-3} \alpha \cdot \sin ^3 \alpha + \dots

Պետք է նշենք, որ հենց ինքը Վիետը այս բանաձևերը սկզբնական շրջանում մասամբ բառային տեսքով է տվել, բայց դրա հետ մեկտեղ պարզորեն ցույց է տվել կապը բանաձևերի գործակիցների ու բինոմալ գործակիցների միջև: Նա նաև տվել է աղյուսակ m-ի ոչ մեծ արժեքների համար[67]:

Վիետի այլ ձեռքբերումներից[70]՝ «Լրացումներ երկրաչափությանը» աշխատությունում Վիետն առաջարկել է խոանարդական հավասարման եռանկյունաչափական նոր լուծում: Վիետը տվել է պատմության մեջ առաջին անվերջ հավասարումը՝

\frac{2}{\pi} = \cos \frac{90^\circ}{2} \cdot \cos \frac{90^\circ}{4} \cdot \cos \frac{90^\circ}{8} \dots
Բարձրության չափումը

Բացի հրետանուց ու տեղորոշումը եռանկյունաչափությունը արագորեն տարածվել է նաև գեոդեզիայում: Տանգենսների լայն կիրառությունը բացատրվում է նրանով, որ դրանոցվ հեշտ է լեռների կամ շենքների բարձրությունների որոշումը (տեսն նկարը)՝

 h = \frac{\operatorname{tg}\alpha\ \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha} \,l

1615 թվականին Սնելիուսը գտավ «Սնելիուսի-Պոնտոյի առաջադրանքի» լուծումը. գտնել կետը, որից տրված (հարթ) եռանկյան կողմերը երում են տրված անկյան տակ: Նա նաև բացահայտել է լույսի բեկման օրենքը. տրված սկզբնական ու բեկվող ճառագայթների համար անկման ու բեկման անկյունների սինուսների հարաբերությունը հաստատուն է: Հենց դրանով էլ Սնելիուսը բացահայտեց օպտիկայում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կիրառման նոր ճանապարհը, իսկ նույն թվականին հայտնագործված աստղագիտակն էլ ավելի մեծացրեց Սնելիուսի գյուտի նշանակությունն ու կարևորությունը:

Սինուսոիդի առաջին գրաֆիկը հայտնվել է Ալբրեխտ Դյուրերի «Կարկինով ու քանոնով չափումների ուղեցույց» (գերմ.՝ Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, 1525 թվական)[71]: 1630-ական թվականներին Ժիլ Ռոբերվալը, իր ցիկլոիդների ուսումնասիրության արդյունքում, անկախ իր իսկ կամքից գծագրում է սինուսոիդ[72], հենց նա է հրապարակել կրկնակի անկյան տանգենսի բանաձևը[73]: Ջոն Վալլիսն իր «Մեխանիկայում» (1670)ճշգրտորեն ներկայացրել է յուրաքանչյուր քառորդում սինուսի նշանը և ցույց տվեց, որ սինուսոիդն անվերջ պարբերական ֆունկցիա է: Տանգենսի գրաֆիկն առաջին քառորդի համար առաջինը տվել է Ջեյմս Գրեգորին (1668)[74]:

XVII դարի երկրորդ կեսում կտրուկ զարգացում սկսվեց կվադրատուրայի (այսինքն, մակերեսների հաշվման) զարգացումը, որն ավարտվեց դարի վերջում մաթեմատիկական անալիզի առաջացմամբ: Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար կարևոր էին այդ շրջանի սկզբում Բլեզ Պասկալի հայտնագործությունները (հրապարակված իր «Ա. Դետոնվիլի նամակները իր մի քանի երկրաչափական հայտնագործությունների մասին» գրքում, 1659 թվական): Ժ;ամանակակից տերմինալոգիայով Պասկալը հաշվեց սինուսի ու կոսինուսի ու դրանց հետ կապված այլ մեծությունների դրական աստիճանների ինտեգրալները[75], նաև նշեց, որ ~d(\sin x) = \cos x\ d x: Եռանկյունաչափության բնագավառում աշխատանքներ տարել են XVII դարի այնպիսի նշանավոր մաթեմատիկոսներ ինչպիսիք են Օտրեդը, Հյուգենսը, Օզանամը, Վալլիսը: XVII դարի երկրորդ կեսում նշանավոր պրոցես էր եռանկյունաչափության հանարահաշվացումը, դրա սիմվոլիկայի կատարելագործումն ու պարզեցումը (չնայած Էյլերից առաջ սիմվոլիկան ավելի բարդ էր քան այժմ)[76]

XVIII դար[խմբագրել]

Մաթեմատիկական անալիզի հայտնագործումից հետո, սկզբում Ջեյմս Գրեգորին, հետո Իսահակ Նյուտոնը ստացան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների (ինչպես նաև նրանց հակադարձների) հետազոտությունները անվերջ շարքերում: Նյուտոնը եռանկյունաչափական ու երկրաչափական խնդիրներին է նվիրել իր «Համալսարանային թվաբանություն» գրքի 10 առաջադրանք[77]: Օրինակ, X առաջադրանքում պահանջվում է «լուծել եռանկյունը», եթ հայտնի են նրա մի կողմը, դրա դիմացի անկյունն ու մյուս երկու կողմերի գումարը: Նյուտոնի առաջարկած մեթոդն իրենից ներկայացնում է Մոլվեյդի բանաձևերից մեկը:[78]

Լեյբնիցը խիստ ապացուցել է, որ \sin x-ը չի կարող հանրահաշվորեն արտահայտվել լինել x-ով, այսինքն, ժամանակակից տերմինալոգիայով ասած եռանկյունաչափական ֆունցիաները տրանսցենդենտ են[79]:

XVIII դարեսկզբի կարևորագույն հայտնագործություններն են՝

— Անկյունների ռադիանային չափերի հայտնագործումն ու տարածումը[80] (Ռոջեր Քոթս, 1714): Ինքը տերմինը՝ Ռադիանը, առաջացել է ավելի ուշ, 1873 թվականին, առաջարկել է Ջեյմս Թոմսոնը[81]:
— Կոմպլեքս թվի եռանկյունաչափական տեսքի ներկայացումն ու Մուավրի բանաձևը:
(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos n\varphi + i \sin n\varphi \
— Կոորդինատների բևեռային համակարգի (դեկարտյանի հետ եռանկյունաչափական հարաբերություններով կապված) օգտագործման սկիզբը (Նյուտոն և Գրեգորի), ընդհանուր օգտագործման համար այս համակարգը հարմարեցրեց Էյլերը (1748)[82]:

1706 թվականին շվեյցարացի մաթեմատիկոս Յակոբ Գերմանը հրապարակեց անկյունների գումարի ու բազմապատիկ անկյունների տանգենսների հաշվման բանաձևերը, իսկ Յոհան Լամբերտը 1765 թվականին ստացավ չափազանց կարևոր բանաձևեր, որոնք եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն արտահայտում են կես անկյան տանգենսի բանաձևով[83]: Ուսումնասիրելով հիպերբոլական ֆունկցիաները (1761), Լամբերտը ցույց տվեց, որ դրանց հատկությունները անալոգային են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ; դրա պատճառը դեռ 1707 թվականին նկատել էր Մուավրը[84]:

Գերմանացի մաթեմատիկոս Ֆրիդրիխ Վիլհելմ ֆոն Օփելը «Եռանկյունների անալիզ» գրքում (1746) հրապարակեց Մոլվեյդի բանաձևերի ժամանակակից տեսքերը[85]:

«Բազմանկյունաչափություն» (1789) գրքում Սիմոն Լյուիլյեն ընդհանրացնում է եռանկյունաչափական հարաբերությունները եռանկյունների համար, տալով դրանց արտահայտությունները նաև այլ կանոնավորբազմանկյունների համար, ներառյալ տարածականները: Այս թեմայով աշխատանքներ տանելիս Լյուիլյեն հանգեց եռանկյունաչափության հիմնական թեորեմներից մեկին. բազմանիստի յուրաքանչյուր նիստի մակերեսը հավասար է մյուս նիստերի մակերեսների ու աառջին նիստի հետ նրանց կազմած անկյան կոսինուսի արտադրյալների գումարին: Նա դիտարկել է n հատ կողմ ունեցող «բազմանկյունների լուծման» տարբեր եղանակներ տրված հնարավոր տարբեր դեպքերով. տրված է ~n-1 կողմ և ~n-2 անկյուն, կամ բոլոր անկյուններն ու ~n-2 կոմղ, կամ բոլոր կողմերն ու ~n-3 անկյուն[86]:

1798 թվականին Լեժանդրն ապացուցեց, որ եթե գնդային եռանկյան չափերը փոքր են սֆերայի շառավղի համեմատ, ապա եռանկյունաչափական խնդիրների լուծման համարկարելի է կիրառել հարթ եռանկյունների բանաձևերը[87]:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձերը arc-ի (լատ.՝ arcus՝ աղեղ) միջոցով ներկայացնելու մեթոդն առաջարկել է ավստրիացի մաթեմատիկոս Կարլ Շերֆերը (անգլ.՝ Karl Scherffer, 1716—1783), բայց ամրապնդվել է Լեժանդրի շնորհիվ: Ի նկատի ունեին, որ, օրինակ, եթե սինուսը թույլ է տալիս շրջանագծի աղեղի միջոցով հաշվել լարի երկարությունը, իսկ հակադարձ ֆունկցիան թույլ կտար հաշվել հակառակը: 16-րդ դարի անգլիական ու գերմանական մաթեմատիկական դպրոցներն այլ նշանակումներ առաջարկեցին՝ \sin^{-1}, \frac{1}{\sin}, բայց դրանք չկիրառվեցին[88]:

Լեոնարդ Էյլերի բարեփոխումները[խմբագրել]

Եռանկյունաչափության ժամանակակից տեսքը տվել է Լեոնարդ Էյլերը: «Ներդրումներ անվերջների անալիզում» (1748) տրակրտատում Էյլերը տվել է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների որոշումները, որոնք համարժեք են ժամանակակիցներին[77], և համապատասխանաբար որոշեց հակադարձները: Եթե նրա նախորդները սինուսն ու մյուս հասկացությունները երկրաչափորեն ընկալերին, այսինքն, որպես շրջանագծի կամ եռանկյան գծեր, ապա Էյլերի աշխատանքներից հետո \sin x, \cos x, \operatorname{tg} x և մյուսները կդիտարկվեին, որպես իրական ու կոմպլեքս փոփոխականների առանց չափերի անալիտիկ ֆունկցիաներ: Կոմպլեքս դեպքերի համար նա ստացավ կապը եռանկյունաչափական ֆունկցիայի ու տրված ֆունկցիայի մեջ (Էյլերի բանաձև): Էյլերի մոտեցումը համընդհանուր ընդունման արժանացավ ու մտավ դասագրքեր:

Էյլերը հետազոտել էր ինչպես թույլատրելի բացասական անկյունները, այնպես էլ 360°-ից մեծ անկյունները, ինքչը հնարավորություն էր տալիս եռանկյունաչափական ֆունկցաները ներկայացնել ամբողջ թվային առանցքում, իսկ հետո շարունակել կոմպլեքս հարթությունում: Երբ առաջացավ բութ անկյուններում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կիրառման հարցը, պարզ դարձավ, որ մինչև Էյլերը նշանների մի մասը սխալ էր որոշված: Օրինակ, շատ մաթեմատիկոսներ կարծում էին, որ բութ անկյան կոսինուսն ու տանգենսը դրական են[72]: Էյլերը որոշեց այդ ֆունկցիաների նշանները տարբեր կոորդինատային վանդակների համար[89]:

Էյլերն առաջինն էր, ով եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներկայացրեց անվերջ արտադրիչների տեսքով (1734), որից էլ ստացավ դրանց լոգարիթմերը[90]:

Այլ աշխատություններում, առաջին հերթին «Սֆերիկ եռանկյունաչափության հիմքեր, մաքսիմումներով ու մինիմումներով» (1753) և «Համընդհանուր սֆերիկ եռանկյունաչափություն, պարզ ու համառոտ ներկայացված սկսած սկզբնաղբյուրներից» (1779), Էյլերն առաջին անգամ տվեց գնդոլորտային եռանկյունաչափության լրիվ համակարգված հիմքերը[91], ընդ որում խոշոր հայտնագործությունների մի մասը պատկանում են հենց Էյլերին:

18-րդ դարի կեսերին այրվեց իր հետևանքներով շատ կարևոր «վեճ լարի մասին»-ը[92]: Լեդամբերի հետ բանավեճի ժամանակ Էլյերն իառաջարկեց ֆունկցիայի ավելի ընդհանուր որոշումը, քան ընդունված էր նախկինում, մասնավորապես, ֆունկցիան կարող էր ներկայացվել եռանկյունաչափական շարքի տեսքով: Իր աշխատություններում Էյլերն օգտագործել է որոշ հանրահաշվական ֆունկցիաների ներկայացումները եռանկյունաչափական շարքի տեսքով, օրինակ՝[93]

\frac{\pi - x}{2} = \sin x + \frac{\sin 2 x}{2} + \frac{\sin 3 x}{3}\dots

Եռանկյունաչափական շարքերի ընդհանուր ուսումնասիրությամբ Էյլերը չի զբաղվել ու ստացված շարքերի համատեղելիությունը չի ուսումնասիրել, բայց ստացել է մի շարք կարևոր հետևանքներ: Մասնավորապես, նա ստացել է սինուսի ու կոսինուսի ամբողջ աստիճանների բանաձևերը[93]:

Եռանկյունաչափությունը Ռուսաստանում[խմբագրել]

Ռուսաստանում առաջին եռանկյունաչափության վերաբերյալ գրառումները կատարվել են «Լոգարիթմերի, սինուսների, կոսինուսների ու տանգենսների աղյուսակներ» գրքում, որը հրապարակվել է Լ. Ֆ. Մագնիցկու ներկայությամբ 1703 թվականին[94]: 1714 թվականին հայտնվեց «Երկրաչափության պրակտիկա» բովանդակային ձեռնարկը՝ ռուսական առաջին եռանկյունաչափական դասագիրքը, որը հիմնված է հրետանային, տեղորոշման ու գեոդեզիական առաջադրանքների վրա[95]: Ռուսաստանում եռանկյունաչափական գիտելիքների յուրացման շրջանի ավարտ կարելի է համարել Մ. Ե. Գոլովինի (Էյլերի աշակերտը) «Հարթ ու սֆերիկ եռանկյունաչափությունները հանրահաշվական ապացույցներով» (1789):

18-րդ դարի վերջում Սանկտ Պետերբուրգում հիմնադրվեց եռանկյունաչափական հատուկ դպրոց (Ա. Ի. Լեկսել, Ն. Ի. Ֆուս, Ֆ. Ի. Շուբերտ)[65]:

XIX-XX դարեր[խմբագրել]

XIX դարի սկզբում Ն. Ի. Լոբաչևսկին հարթ ու գնդոլորտային եռանկյունաչափությանը ևս մի բաժին ավելացրեց՝ հիպերբոլական (Լոբաչևսկու երկրաչափության համար, առաջին աշխատությունը հրապարակեց Ֆ. Ա. Տաուրինուսը 1826 թվականին): Լոբաչևսկին ցույց տվեց, որ սֆերական եռանկյունաչափության բանաձևերը անցնում են հիպերբոլականի եռանկյան կողմերի a, b, c երկարությունները ai, bi, ci փոխելու դեպքում, կամ, որ համարժեք է, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխումը հիպերբոլականի[96]:

XIX—XX դարերում հատկապես բուռն զարգացում ապրեցին եռանկյունաչափական շարքերի տեսությունները իրենց հետ կապված մաթեմատիկական ոլորտների հետ մեկտեղ. հարմոնիկ անալիզ, պատահական պրոցեսների տեսություն, աուդիո և վիդեո ինֆորմացիայի կոդավորում և այլն: Դեռ Դանիել Բեռնուլին առաջարկել էր պնդում, որի համաձայն յուրաքանչյուր (ոչ ընդհատ) ֆունկցիա տրված միջակայքում հնարավոր է ներկայացնել եռանկյունաչափական շարքի տեսքով [97]: Քննարկումները շարունակվում էին մինչև 1807 թվականը, երբ Ֆուրիեն հրապարակեց մասաանալիտիկ ֆունցիաները եռանկյունաչափական շարքերի տեսքով ներկյացնելու տեսությունը (ավարտուն տարբերակը պարունակվում է նրա «Ջերմության անալիտիկ տեսություն» աշխատությունում, 1822)[92]: f(x) ֆունցիան եռանկյունաչափական շարքի տեսքով ներկայացնելու համար՝

f(x)=a_{0}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n} \cos{nx} + b_{n} \sin{nx}).

Ֆուրիեն տվել է գործակիցների հաշվարկի ինտեգրալային բանաձևերը[92].

a_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_0^{2 \pi}\! f(x) \cos{nx} \,dx  \quad (n=0, 1, 2, \dots); \quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_0^{2 \pi}\! f(x) \sin{nx}\, dx\quad (n=1,2,3, \dots)

Ֆուրիեի ստացածը խիստ չէ ըստ ժամանակակից հասկացողության, արդեն պարունակում էր բոլոր նմանատիպ շարքերի նմանության տարրերը: Այն ֆունցիաների համար, որոնք որոշված են ամբողջ թվային առանցքի վրա և պարբերական չեն Ֆուրիեն առաջարկել է Ֆուրիեի ինտեգրալի ձևակերպումը:

Ռիմանն իր ատենախոսության մեջ անդրադառնում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին առանց դիտարկելու դրանց կապը որևէ ֆունկցիայի հետ (1853), նա կիրառում էր «տեղայնացման սկզբունքը»: Կամայական չափումներով և գրեթե ամեն տեղ անվերջ ֆունցիայի ներկայացումը եռանկյունաչափական շարքի տեսքով (որի համընկնումը Ֆուրեյի շարքի հետ պարտադիր չէ) լուծվեց 1941 թվականին Մենշովի թեորեմի շնորհիվ:

Ուսումնասիրելով եռանկյուանաչափական շարքերի հատուկ կետերի բազմությունները Գեորգ Կանտորը ստացավ ամբողջ մաթեմատիկայի համար հիմնարար բնույթ ունեցող բազմությունների տեսությունը[98] Եռանկյունաչափական շարքերի տեսությունը ահռելի նշանակություն ունեցավ նաև կոմպլեքս անալիզի, մաթեմատիկական ֆիզիկայի, էլեկտրոնիկայի ու գիտության մյուս ճյուղերի համար[92]: Լեբեգի իրական փոփոխականի ֆունցիայի, չափման ու ինտեգրալի տեսությունները ի հայտ եկան և սկսեցին զարգանալ եռանկյունաչափական շարքերի հետ հեռավոր կապի մեջ լինելով[92][99]:

Եռանկյունաչափության պատմաբաններ[խմբագրել]

XVIII—XIX դարերում մաթեմատիկայի ու աստղագիտության պատմություններում մեծ տեղ հատկացվեց նաև եռանկյուանաչափության պատմությանը (Ժ. Է. Մոնտուկլա, Ժ. Բ. Ժ. Դելամբր, Հ. Հանկել, Պ. Տանների և ուրիշներ): 1900 թվականին գերմանացի մաթեմատիկական պատմաբան Անտոն ֆոն Բրաունմյուլը հրապարակեց առաջին մոնոգրաֆիան երկու հատորով, որը հատուկ նվիրված էր եռանկյունաչափության պատմությանը[100]: XX դարում այդ թեմայով խոշորածավալ աշխատանքներ հրապարակեցին Ցեյտենը, Կանտորը, Նայգեբաուերը, Ռոզենֆելդը, Մատվիևսկայան և ուրիշներ:

Գրականություն[խմբագրել]

Գրքեր[խմբագրել]

  • Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4
  • Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: ГИФМЛ, 1959.
  • Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — 468 с.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76-95. — 240 с.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1983. — 352 с.
  • История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.։ Наука.
  • Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9
  • Паплаускас А. Б. Тригонометрические ряды. От Эйлера до Лебега. — М.: Наука, 1966. — 277 с.
  • Рожанская М. М. Механика на средневековом Востоке. — Москва: Наука, 1976.
  • Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960. — Т. I.
  • Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. Абу Райхан Беруни и его математические труды. Пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1978. — 95 с. — (Люди науки).
  • Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1976. — 318 с.
  • Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. — М.-Л.: ГТТИ, 1932. — 230 с.
  • Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. — М.-Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.
  • Юшкевич А. П. История математики в Средние века. — М.: ГИФМЛ, 1961. — 448 с.
  • Plofker K. Mathematics in India. — Princeton: Princeton University Press, 2009.
  • Scott J. F. A History of Mathematics From Antiquity to the Beginning of the Nineteen Century. — London: Tailor & Francis Ltd, 1958. — 266 p.
  • Thurston H. Early astronomy. — New York: Springer-Verlag, 1994.
  • Van Brummelen G. The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry. — Princeton University Press, 2009.

Հոդվածներ[խմբագրել]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978. — С. 266-268..
  2. Paine, Thomas. The Age of Reason. — Dover Publications, 2004. — С. 52.
  3. Eli Maor. Trigonometric Delights. — Princeton University Press, 1998. — P. 20. — ISBN 0-691-09541-8
  4. Глейзер Г. И., 1982
  5. van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — Springer, 1983. — ISBN 3-540-12159-5
  6. 6,0 6,1 Глейзер Г. И., 1982
  7. Цейтен Г. Г., 1938
  8. Глейзер Г. И., 1982
  9. Գ. Պ. Մատվիևսկի, 2012, 92-96 էջեր
  10. Цейтен Г. Г., 1932
  11. Веселовский, 1961
  12. Матвиевская Г. П., 2012
  13. Boyer, Carl B. A History of Mathematics. — Second ed.. — John Wiley & Sons, Inc., 1991. — P. 158–159.. — ISBN 0-471-54397-7
  14. 14,0 14,1 Toomer, 1973
  15. Van der Waerden, 1988
  16. Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П., 1978
  17. Thurston, 1994
  18. Duke, 2011
  19. Хрестоматия по истории математики, 1976
  20. Матвиевская Г. П., 2012
  21. Duke, 2002
  22. Sidoli, 2004
  23. 23,0 23,1 Матвиевская Г. П., 2012
  24. 24,0 24,1 24,2 Матвиевская Г. П., 2012
  25. История математики, том I, 1970
  26. Цейтен Г. Г., 1932
  27. 27,0 27,1 Матвиевская Г. П., 2012
  28. 28,0 28,1 28,2 Матвиевская Г. П., 2012
  29. 29,0 29,1 29,2 История математики в Средние века, 1961
  30. Глейзер Г. И., 1982
  31. Scott J. F., 1958
  32. 32,0 32,1 32,2 Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П., 1978
  33. 33,0 33,1 Scott J. F., 1958
  34. История математики, том I, 1970, с. 199-201.
  35. История математики в Средние века, 1961
  36. История математики, том I, 1970
  37. 37,0 37,1 История математики в Средние века, 1961
  38. История математики в Средние века, 1961
  39. Бахмутская Э. Я. Степенные ряды для sint и cost в работах индийских математиков XV—XVIII вв.. — Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1960. — С. 325-335..
  40. Roy, Ranjan. Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory, and Nilakantha. — Mathematics Magazine. — 1990. — С. 291–306.
  41. Plofker, 2009
  42. История математики, том I, 1970
  43. 43,0 43,1 Матвиевская Г. П., 2012
  44. Хрестоматия по истории математики, 1976
  45. История математики, том I, 1970
  46. История математики, том I, 1970
  47. Матвиевская Г. П., 2012
  48. Матвиевская Г. П., 2012
  49. Матвиевская Г. П., 2012
  50. Матвиевская Г. П., 2012
  51. Хрестоматия по истории математики, 1976, с. 195-198,
  52. Матвиевская Г. П., 2012
  53. Хрестоматия по истории математики, 1976
  54. Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П., 1978
  55. Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П., 1978
  56. Туси Насирэддин. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.
  57. Рыбников К. А., 1960
  58. Այդ տրակտատը ներառված էր «Աստղագիտության» կազմում, «Աստծո պատերազմներ» թեոլոգափիլիսոփագիտական տրակտատի վեց ֆունդամենտալ մասերից մեկն է: Գերսոնիդեսն այդ աշխատությանն է նվիրել իր ողջ կյանքը
  59. Rabinovich, Nachum L. Рабби Леви бен Гершом и происхождение метода математической индукции. = Rabbi Levi ben Gershom and the origins of mathematical induction // Archive for History of Exact Sciences. — 1970. — В. 6. — С. 237—248.
  60. Вилейтнер Г., 1960
  61. Цейтен Г. Г., 1932
  62. История математики, том I, 1970
  63. Степанов Н. Н. §42. Формулы «аналогии Непера» // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 87-90. — 154 с.
  64. 64,0 64,1 Глейзер Г. И., 1982
  65. 65,0 65,1 Вилейтнер Г., 1960
  66. Цейтен Г. Г., 1938
  67. 67,0 67,1 Цейтен Г. Г., 1938
  68. Александрова Н. В., 2008
  69. Рыбников К. А., 1960
  70. Цейтен Г. Г., 1938
  71. Хайрер Э., Ваннер Г Математический анализ в свете его истории. — М.: Научный мир, 2008. — С. 42. — 396 с. — ISBN 978-5-89176-485-9
  72. 72,0 72,1 Глейзер Г. И., 1982
  73. Глейзер Г. И., 1983
  74. Вилейтнер Г., 1960
  75. Цейтен Г. Г., 1938
  76. Вилейтнер Г., 1960
  77. 77,0 77,1 История математики, том III, 1972
  78. Вилейтнер Г., 1960
  79. Цейтен Г. Г., 1938
  80. O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (February 2005)։ «Biography of Roger Cotes»։ The MacTutor History of Mathematics։ Արխիվացված օրիգինալից 2012-09-24-ին։ http://www.webcitation.org/6AuwvrfcU։ 
  81. Александрова Н. В., 2008
  82. Александрова Н. В., 2008
  83. Вилейтнер Г., 1960
  84. Александрова Н. В., 2008
  85. Вилейтнер Г., 1960
  86. Вилейтнер Г., 1960
  87. Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Изд. 2-е. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 139-143. — 154 с.
  88. Александрова Н. В., 2008
  89. История математики, том III, 1972
  90. Вилейтнер Г., 1960
  91. История математики, том III, 1972
  92. 92,0 92,1 92,2 92,3 92,4 Тригонометрический ряд // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5.
  93. 93,0 93,1 Паплаускас А. Б., 1966
  94. Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — С. 287. — 376 с.
  95. См.: Юшкевич А. П. Главы по истории математики в средние века. — В кн.: История естествознания в России. М.: 1957, т. I, с 45—48.
  96. См. статью Б. А. Розенфельда в книге: Каган В. Ф. Основания геометрии. Том II, стр. 313—321.
  97. Паплаускас А. Б., 1966
  98. Даубен, Джозеф У. Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств. — Scientific American, издание на русском языке. — 1983. — С. 76–86.
  99. «Тригонометрический ряд»։ Արխիվացված օրիգինալից 2012-11-23-ին։ http://www.webcitation.org/6COhoyJOo։ Վերցված է 2012-10-28։ 
  100. Braunmühl A. Vorlesungen über die Geschichte der Trigonometrie. — Leipzig, 1900—1903.

Տես նաև[խմբագրել]

Արտաքին հղումներ[խմբագրել]