Հիպերբոլական ֆունկցիաներ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
\sinh(x)-հիպերբոլական սինուս
\cosh(x)-հիպերբոլական կոսինուս

Հիպերբոլական ֆունկցիաներ - պատկանում են տարրական ֆունկցիաների դասին, որոնք արտահայտվում են էքսպոնենտայի միջոցով և սերտորեն կապված են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ։

Սահմանումը[խմբագրել]

Հիպերբոլական ֆունկցիաները տրվում են հետնյալ բանաձևերով.

  • հիպերբոլական սինուս
\operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}
(անգլալեզու գրականությունում գրվում է \sinh(x))
  • հիպերբոլական կոսինուս
\operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
(անգլալեզու գրականությունում գրվում է cosh(x))
  • հիպերբոլական տանգենս
\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}
(անգլալեզու գրականությունում գրվում է \tanh(x))
  • հիպերբոլական կոտանգենս
\operatorname{cth}x=\frac{1}{\operatorname{th}x}

Որոշ դեպքերում սահմանվում են

  • հիպերբոլական սեկանսը և կոսեկանսը
\operatorname{sech}x=\frac{1}{\operatorname{ch}x}
\operatorname{csch}x=\frac{1}{\operatorname{sh}x}

Երկրաչափական սահմանումը[խմբագրել]

Հիպերբոլական սինուսի և կոսինուսի սահմանումը հիպերբոլայի միջոցով

Հաշվի առնելով \operatorname{ch}^2t-\operatorname{sh}^2t=1 հարաբերությունը հիպերբոլիկ ֆունկցիան տալիս են պարամետրական տեսքով ~x^2-y^2=1 (x=\operatorname{ch}t, y=\operatorname{sh}t)։ Ընդ որում արգումենտը t=2S, որտեղ SOQR կորագիծ եռանկյան մակերեսն է, վերցրած «+» նշանով, եթե սեկտորը գտնվում է OX առանցքից վերև, և «-»՝ հակառակ դեպքում։ Ակնհայտ է, որ և հիպերբոլական ֆունկցիան սահմանվում է այդ պարամետրի միջոցով, օրինակ, հիպերբոլական սինուսի հավասարման պարամետրական տեսքն այսպիսին է՝ x=t, y=f(t), որտեղ f(t) - հիպերբոլայի օրդինատի կետն է, որն համապատասխանում է t=2S մակերեսին։ Այս սահմանումը նման է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի սահմանմանը միավոր շրջանագծի միջոցով, որը նույնպես կարելի է կառուցել նման ձևով։

Հատկություններ[խմբագրել]

Կապը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ[խմբագրել]

Հիպերբոլական ֆունկցիաներն արտահայտվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով կապված կեղծ արգումենտից.


\operatorname{sh}x=-i\sin(ix),\quad
\operatorname{ch}x=\cos(ix),\quad
\operatorname{th}x=-i\operatorname{tg}(ix)
.

\operatorname{sh}(ix) = i\operatorname{sin}x,\quad
\operatorname{ch}(ix) = \cos x,\quad
\operatorname{th}(ix)= i\operatorname{tg}x
։

Կարևոր հարաբերությունները[խմբագրել]

Հիպերբոլական ֆունկցիաները միմյանց հետ կապված են հետևյալ հարաբերություններով.

  1. \operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x = 1
  2. Զույգություն
    1. \operatorname{sh}(-x)=-\operatorname{sh}x
    2. \operatorname{ch}(-x)=\operatorname{ch}x
    3. \operatorname{th}(-x)=-\operatorname{th}x
  3. Գումարման բանաձևեր
    1. \operatorname{sh}(x \pm y)=\operatorname{sh}x\,\operatorname{ch}y \pm \operatorname{sh}y\,\operatorname{ch}x
    2. \operatorname{ch}(x \pm y)=\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y \pm \operatorname{sh}y\,\operatorname{sh}x
    3. \operatorname{th}(x \pm y)=\frac{\operatorname{th}x \pm \operatorname{th}y}{1 \pm \operatorname{th}x\,\operatorname{th}y}
    4. \operatorname{cth}(x \pm y)=\frac{ 1 \pm \operatorname{cth}x\,\operatorname{cth}y}{\operatorname{cth}x \pm \operatorname{cth}y}
  4. Կրկնակի անկյան բանաձևեր
    1. \operatorname{sh}2x=2\operatorname{ch}x\,\operatorname{sh}x=\frac{2\,\operatorname{th}x}{1-\operatorname{th}^2x}
    2. \operatorname{ch}2x=\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x=2\operatorname{ch}^2x-1=1+2\operatorname{sh}^2x=\frac{1+\operatorname{th}^2x}{1-\operatorname{th}^2x}
    3. \operatorname{th}2x=\frac{2\operatorname{th}x}{1+\operatorname{th}^2x}
    4.  \operatorname{cth}2x=\frac{1}{2} (\operatorname{th}x+\operatorname{cth}x)
    5.  \operatorname{th}x=\frac{\operatorname{ch}2x-1}{\operatorname{sh}2x}=\frac{\operatorname{sh}2x}{1+\operatorname{ch}2x}
    6.  \operatorname{ch}2x \pm \operatorname{sh}2x=(\operatorname{sh}x\pm\operatorname{ch}x)^2
  5. Բազմակի անկյունների բանաձևեր
    1. \operatorname{sh}3x=4\operatorname{sh}^3x+3\operatorname{sh}x
    2. \operatorname{ch}3x=4\operatorname{ch}^3x-3\operatorname{ch}x
    3. \operatorname{th}3x=\operatorname{th}x\frac{3+\operatorname{th}^2x}{1+3\operatorname{th}^2x}
    4. \operatorname{sh}5x=16\operatorname{sh}^5x+20\operatorname{sh}^3x+5\operatorname{sh}x
    5. \operatorname{ch}5x=16\operatorname{ch}^5x-20\operatorname{ch}^3x+5\operatorname{ch}x
    6. \operatorname{th}5x=\operatorname{th}x\frac{\operatorname{th}^4x+10\operatorname{th}^2x+5}{5\operatorname{th}^4x+10\operatorname{th}^2x+1}
  6. Արտադրյալ
    1. \operatorname{sh}x\,\operatorname{sh}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)-\operatorname{ch}(x-y)}{2}
    2. \operatorname{sh}x\,\operatorname{ch}y=\frac{\operatorname{sh}(x+y)+\operatorname{sh}(x-y)}{2}
    3. \operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)+\operatorname{ch}(x-y)}{2}
    4. \operatorname{th}x\,\operatorname{th}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)-\operatorname{ch}(x-y)}{\operatorname{ch}(x+y)+\operatorname{ch}(x-y)}
  7. Գումարներ
    1. \operatorname{sh}x \pm \operatorname{sh}y=2\operatorname{sh}\frac{x \pm y}{2}\operatorname{ch}\frac{x \mp y}{2}
    2. \operatorname{ch}x + \operatorname{ch}y=2\operatorname{ch}\frac{x+y}{2}\operatorname{ch}\frac{x -y}{2}
    3. \operatorname{ch}x - \operatorname{ch}y=2\operatorname{sh}\frac{x+y}{2}\operatorname{sh}\frac{x -y}{2}
    4. \operatorname{th}x \pm \operatorname{th}y=\frac{\operatorname{sh}(x \pm y)}{\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y}
  8. Աստիճանի նվազեցման բանաձևեր
    1. \operatorname{ch}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x + 1}{2}
    2. \operatorname{sh}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x - 1}{2}
  9. Ածանցյալներ
    1. (\operatorname{sh}x)^\prime=\operatorname{ch}x
    2. (\operatorname{ch}x)^\prime=\operatorname{sh}x
    3. (\operatorname{th}x)^\prime=\frac{1}{\operatorname{ch}^2x}
    4. (\operatorname{cth}x)^\prime=-{\frac{1}{\operatorname{sh}^2x}}
    5. \operatorname{sh}x=\int\limits^x_0\operatorname{ch}tdt
    6. \operatorname{ch}x=1+\int\limits^x_0\operatorname{sh}tdt
    7. \operatorname{th}x=\int\limits^x_0\frac{dt}{\operatorname{ch}^2t}
  10. Ինտեգրալներ
    1. \int\operatorname{sh}x\,dx=\operatorname{ch}x+C
    2. \int\operatorname{ch}x\,dx=\operatorname{sh}x+C
    3. \int\operatorname{th}x\,dx=\ln\operatorname{ch}x+C
    4. \int\frac{1}{\operatorname{ch}^2x}\,dx=\operatorname{th}x+C
    5. \int\frac{1}{\operatorname{sh}^2x}\,dx=-\operatorname{cth}x+C

Անհավասարություններ[խմբագրել]

Բոլոր x\in\R համար տեղի ունի՝

  1.  0 \le \operatorname{ch}x-1 \le |\operatorname{sh} x| < \operatorname{ch}x
  2.  | \operatorname{th}x | <1

Աստիճանային շարքերի ձևափոխություն[խմբագրել]

\operatorname{sh}\,x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\operatorname{ch}\,x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}
\operatorname{th}\,x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad|x|<\frac{\pi}{2}
\operatorname{cth}\,x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\ldots=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad0<|x|<\pi (Լորանի շարք)

Այստեղ B_{2n} - Բերնուլլիի թիվն է։

Գրաֆիկներ[խմբագրել]

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)
sh, ch և th
csch, sech և cth

Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաներ[խմբագրել]

Կարդում են ареа_ (-սինուս և այլն) - լատ.՝ «area» - «մակերես»։

\operatorname{Arsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) - հակադարձ հիպերբոլական սինուս, հիպերբոլական արկսինուս, արկսինուս.\operatorname{sh}(\operatorname{Arsh}x)=x:
\operatorname{Arch}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1 - հակադարձ հիպերբոլական կոսինուս, հիպերբոլական արկկոսինուս, արկկոսինուս;
\operatorname{Arth}x=\ln\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) - հակադարձ հիպերբոլական տանգենս, հիպերբոլական արկտանգենս, արկտանգենս;
\operatorname{Arcth}x=\ln\left(\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) - հակադարձ հիպերբոլական կոտանգենս, հիպերբոլական արկկոտանգենս, արկկոտանգենս;
\operatorname{Arsch}x=\pm\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right) - հակադարձ հիպերբոլական սեկանս, հիպերբոլական արկսեկանս, արկսեկանս;
\operatorname{Arcsch}x=\left\{\begin{array}{l}\ln\left(\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right),\quad x<0 \\ \ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right),\quad x>0\end{array}\right. - հակադարձ հիպերբոլական կոսեկանս, հիպերբոլական արկկոսեկանս, արկկոսեկանս:

Գրաֆիկներ[խմբագրել]

arsh(x), arch(x), arth(x), arcth(x)

Որոշ հակադարձ հիպերբոլական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև՝

\operatorname{Arsh}x=-i\arcsin(-ix),
\operatorname{Arsh}(ix)=i\arcsin x,
\arcsin x=-i\operatorname{Arsh}(ix),
\arcsin (ix)=-i\operatorname{Arsh}(-x),

որտեղ i -ն կեղծ միավորն է։

Այս ֆունկցիաները ունեն շարքերով ներկայացման այսպիսի տեսքեր՝

\operatorname{Arsh}x=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad x<1;
\operatorname{Arch}x=\ln(2x)-\left(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\ldots\right)=\ln(2x)-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{-2n}}{2n},\quad x>1;
\operatorname{Arth}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|<1:

Արտասահմանյան գրականության մեջ հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաները հաճախ ներկայացնում են բացասական առաջին աստիճանի տեսքով, օրինակ, \operatorname{Arth}\,x գրում են \operatorname{tanh}^{-1}x տեսքով (ընդ որում (\operatorname{tanh}\,x)^{-1} նշանակում է այլ ֆունկցիա՝ \operatorname{cth}\,x), և այլն։

Պատմություն[խմբագրել]

Հիպերբոլիկ ֆունկցիաների մասին առաջին տեղեկությունները հայտնվել են անգլիացի մաթեմատիկոս Աբրահամ դե Մուավրի (1707, 1722) աշխատություններում։ Ժամանակակից սահմանումը և նրանց մանրակրկիտ ուսումնասիրությունը կատարել է Վինչենցո Ռիկկատին 1757 թվականին («Opusculorum», հատոր 1-ին), նա էլ առաջարկեց այն նշանակել \operatorname{sh}, \operatorname{ch}-ով։ Ռիկկատին հաշվի էր առել միավոր հիպերբոլի դիտարկումը (տես #Սահմանում բաժնի նկարը)։

Հիպերբոլիկ ֆունկցիաների անկախ հայտնագործումը և հատկությունների հետագա ուսումնասիրությունը կատարվել է Իհոան Լամբերտի կողմից 1768 թվականին, ով հաստատեց բանաձևերի լայն պարալլելիզմ սովորական և հիպերբոլական եռանկյունաչափություններում։ Հետագայում Նիկոլայ Լոբաչևսկին օգտագործեց այդ պարալլելիզմը, փորձելով ապացուցել ոչէվկլիդյան երկրաչափության ոչհակասականությունը, որում սովորական եռանկյունաչափությունը փոխարինվում է հիպերբոլականով։

Հիպերբոլական ֆունկցիաների նշանակումներում ստեղծվել է տարատեսակություն։ Օրինակ, Բրոկգաուզի և Էֆրոնայի հանրագիտարանում օգտագործվում է \operatorname{sinhyp}, \operatorname{coshyp} նշանակումը, իսկ ռուսալեզու գրականությունում ամրագրվել է \operatorname{sh}, \operatorname{ch} նշանակումը, անգլալեզու գրականությունում՝ \sinh, \cosh։

Կիրառություններ[խմբագրել]

Հիպերբոլական ֆունկցիաները հաճախ հանդիպում են տարբեր ինտեգրալների հաշվման ժամանակ։ Ռացիոնալ ֆունկցիաների որոշ ինտեգրալներ և ռադիկալներ պարունակող ֆունկցիաներ բավականին հեշտ կարելի է հաշվել փոփոխականների փոխարինման օգնությամբ հիպերբոլական ֆունկցիաների միջոցով։

Նմանապես, \begin{pmatrix}\cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x\end{pmatrix} տեսքի մատրիցաները նկարագրում են էվկլիդյան տարածության երկչափ պտույտները, \begin{pmatrix}\mathop{\mathrm{ch}}\,x & \mathop{\mathrm{sh}}\,x\\ \mathop{\mathrm{sh}}\,x & \mathop{\mathrm{ch}}\,x\end{pmatrix} մատրիցաները նկարագրում են Մինկովսկու տարածության երկչափ պարզ պտույտները։ Այդ իսկ պատճառով հիպերբոլական ֆունկցիաները հաճախ հանդիպում են հարաբերականության տեսությունում։

Միատար կապը կամ շղթան ազատ կասեցվում են իրենց ծայրերին, ընդունում է y=a\,\mathop{\mathrm{ch}}\,\frac{x}{a} ֆունկցիայի գրաֆիկի տեսքը (որի պատճառով հիպերբոլական կոսինուսի գրաֆիկը որոշ դեպքերում անվանում են շղթայական գիծ)։ Այս առանձնահատկությունը օգտագործում են կամարների նախագծման ժամանակ, քանի որ կամարը շրջված շղթայական գծի տեսքով առավել հաջող ձևով է բաշխում ծանրությունը։

Գրականություն[խմբագրել]

  • Բուգրով Յ.Ս., Նիկոլսկի Ս.Մ.։ Բարձրագույն մաթեմատիկա։ Դիֆֆերենցիալ հավասարումներ։ Կրկնակի ինտեգրալներ։ Շարքեր։ Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաներ։ - Մոսկվա։ Գիտություն։ 1985 - էջ 464։

Արտաքին հղումներ[խմբագրել]

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական տարբերակը վերցված է Հայկական սովետական հանրագիտարանից, որի նյութերը թողարկված են Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) թույլատրագրի ներքո։ CC-BY-SA-icon-80x15.png