Եռանկյունաչափական նույնություններ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Եռանկյունաչափական նույնությունները մաթեմատիկական արտահայտություներ են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար, որոնք կատարվում են արգումենտի բոլոր արժեքների համար (ընդհանուր որոշման տիրույթից)։

Հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևեր[խմբագրել]

Բանաձևեր Արգումենտի թույլատրելի արժեքներ Համար
~ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \forall \alpha (1)
 \operatorname{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{sec}^2 \alpha  \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z (2)
 \operatorname{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{cosec}^2 \alpha  \alpha \neq \pi n, n \in \mathbb Z (3)

Բանաձև (1)-ը հետևանք է Պյութագորասի թեորեմայից։ (2)-րդ և (3)-րդ բանաձևերը ստացվում են (1)-ին բանաձևից բաժանելով համապատասխանաբար ~ \cos^2 \alpha-ի և ~ \sin^2 \alpha-ի։

Արգումենտի գումարի բանաձևերը[խմբագրել]

Արգումենտի գումարի բանաձևերը Համարը
 \sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta  (4)
 \cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta  (5)
 \operatorname{tg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}\beta} (6)
 \operatorname{ctg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1}{\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg}\alpha} (7)

Բանաձև (6)-ը ստացվում է (4)(5)-ի վրա բաժանելիս, իսկ (7)-րդ բանաձևը՝ (5)(4)-ի բաժանելիս։

Կրկնակի անկյան բանաձևերը[խմբագրել]

Կրկնակի անկյան բանաձևերը Համարը
 \operatorname{sin} 2 \alpha = 2 {\sin \alpha}{\cos \alpha} (8)
 \operatorname{cos} 2 \alpha = {\cos^2 \alpha} - {\sin^2 \alpha}
 \operatorname{cos} 2 \alpha = 2 {\cos^2 \alpha} - 1 = 1 - 2 {\sin^2 \alpha}
(9)
 \operatorname{tg} 2 \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} (10)
 \operatorname{ctg} 2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} \alpha} (11)

Կրկնակի անկյան բանաձևերը դուրս են բերվում (4), (5), (6) և (7) բանաձևերից, եթե հաշվի առնենեք, որ \beta և \alpha անկյունները հավասար են։


Եռակի անկյան բանաձևերը[խմբագրել]

Եռակի անկյան բանաձևերը Համարը
\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3\alpha \, (12)
\cos 3\alpha = 4 \cos^3\alpha - 3 \cos \alpha \, (13)
\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\alpha} (14)
\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\alpha} (15)


Աստիճանի իջեցման բանաձևերը[խմբագրել]

Աստիճանի իջեցման բանաձևերը դուրս են բերվում (9)-րդ բանաձևերից։

Աստիճանի իջեցման բանաձևերը Համարը
Սինուս \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} (16)
Կոսինուս \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} (17)

Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևեր[խմբագրել]

Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևեր Համարը
 \sin  \alpha  \sin  \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) -  \cos ( \alpha + \beta)}{2} (18)
 \sin  \alpha  \cos  \beta = \frac{ \sin ( \alpha - \beta) +  \sin ( \alpha + \beta)}{2} (19)
 \cos  \alpha  \cos  \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) +  \cos ( \alpha + \beta)}{2} (20)


Ֆունկցիաների գումարի ձևափոխման բանաձևեր[խմբագրել]

Ֆունկցիաների գումարի ձևափոխման բանաձևեր Համարը
 \sin  \alpha \pm  \sin  \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2} (21)
 \cos  \alpha + \cos  \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2} (22)
 \cos  \alpha - \cos  \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2} (23)
 \operatorname{tg}  \alpha \pm \operatorname{tg}  \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos  \alpha \cos  \beta} (24)
 \operatorname{ctg}  \alpha \pm \operatorname{ctg}  \beta = \frac{ \sin ( \beta \pm \alpha)}{ \sin  \alpha \sin  \beta} (25)


Պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում[խմբագրել]

  •  \sin x = a
եթե |a|>1 — իրական լուծում չունի։
եթե |a| \leqslant 1 — լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ x=(-1)^n \arcsin a + \pi n;\ n \in \mathbb Z:
  •  \cos x = a
եթե |a|>1 — իրական լուծում չունի։
եթե |a| \leqslant 1 — լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ x=\pm \arccos a + 2 \pi n;\ n \in \mathbb Z:
  •  \operatorname{tg}\, x = a
լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ x=\operatorname{arctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z:
  •  \operatorname{ctg}\, x = a
լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ x=\operatorname{arcctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z: