Կանոնավոր տասներկուանիստ

Կանոնավոր տասներկուանիստ կամ կանոնավոր դոդեկաէդր (հին հունարեն՝ δώδεκα - «տասներկու» և εδρον - «նիստ»), հինգ հնարավոր կանոնավոր բազմանիստերից մեկը։ Տասներկուանիստը բաղկացած է տասներկու կանոնավոր հնգանկյուններից^[1], որոնք հանդիսանում են նրա նիստերը։ Տասներկուանիստի յուրաքանչյուր գագաթ հանդիսանում է երեք կանոնավոր հնգանկյունիների գագաթ։ Այսպիսով՝ տասներկուանիստը կազմված է 12 նիստից (հնգանկյուն), 30 կողից և 20 գագաթից (յուրաքանչյուր գագաթից՝ 3 կող)։

Պատմություն

Թերևս ամենահին տասներկուանիստի տեսքով իրը հայտնաբերվել է Իտալիայի հյուսիսում՝ Պադովայի մոտ, 19-րդ դարի վերջին, այն թվագրվում է մ.թ.ա. 500 թվականին և ենթադրաբար օգտագործվել է որպես զառախաղ էտրուսկների կողմից^[2]^[3]։

Հին հույն գիտնականները իրենց աշխատություններում նշել են տասներկուանիստի մասին։ Պլատոնը տարբեր դասական տարրեր համեմատեց կանոնավոր բազմանիստերի հետ։ Տասներկուանիստի մասին Պլատոնը գրել է, որ «... Աստված սահմանեց այն Տիեզերքի համար և օգտագործեց որպես մոդել»^[4]։ Էվկլիդեսը իր «Սկզբունքներ» XIII գրքի 17-րդ նախադասության մեջ խորանարդի կողերին կառուցում է տասներկուանիստ^[5]^[6]^:132-136։ Պապուս Ալեքսանդրիացին «Մաթեմատիկական ժողովածուում» զբաղվում է տասներկուանիստի կառուցմամբ, ճանապարհին ապացուցելով, որ տասներկուանիստի գագաթները գտնվում են զուգահեռ հարթություններում^[6]^:318-319^[7]։

Եվրոպական մի քանի երկրների տարածքում հայտնաբերվել են բազմաթիվ առարկաներ, որոնք կոչվում են հռոմեական տասներկուանիստներ, որոնք թվագրվում են մեր թվարկությունից առաջ 2-3-րդ դարերով, որի նպատակը ամբողջովին պարզ չէ։

Հիմնական բանաձևեր

Եթե որպես կողի երկարություն վերցնենք $a$ , ապա տասներկուանիստի մակերևույթի մակերեսը հավասար է

S=3a^{2}{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\approx 20{,}645728807067602a^{2}

։

Տասներկուանիստի ծավալը

V={\frac {a^{3}}{4}}(15+7{\sqrt {5}})\approx 7{,}663118960624632a^{3}

։

Տասներկուանիստին արտագծյալ գնդի շառավիղը^[8]

R={\frac {a}{4}}(1+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}\approx 1{,}4012585384440734a

։

Տասներկուանիստին ներգծյալ գնդի շառավիղը^[8]

r={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+{\frac {22}{\sqrt {5}}}}}\approx 1{,}1135163644116066a

։

Հատկություններ

Տասներկուանիստի բոլոր գագաթները՝ հինգական, գտնվում են չորս զուգահեռ հարթություններում՝ դրանցից յուրաքանչյուրում կազմելով կանոնավոր հնգանկյուն։
Տասներկուանիստի ցանկացած երկու կից նիստերով կազմված երկնիստ անկյունը հավասար է arccos(−1/√5) = 116.565051177078°^[8]։
20 գագաթներից յուրաքանչյուրի հարթ անկյունների գումարը 324 ° է, եռանիստ անկյունը հավասար է arccos(−11/5√5) ≈ 2,9617 ստեռադիան։
Տասներկուանիստին կարելի է ներգծել խորանարդ այնպես, որ խորանարդի կողմերը հանդիսանան տասներկուանիստի անկյունագծեր։
Տասներկուանիստն ունի երեք աստղային տեսք։
Տասներկուանիստին կարելի է ներգծել հինգ խորանարդ։ Եթե տասներկուանիստի հնգանկյուն նիստերը փոխարինենք հարթ հնգանկյուն աստղերով այնպես, որ տասներկուանիստի կողերը վերանան, ապա մենք ստանում ենք հինգ հատվող խորանարդի տարածություն։ Տասներկուանիստը, որպես այդպիսին, կվերանա։ Փակ բազմանկյան փոխարեն կհայտնվի հինգ ուղղանկյուն բաց երկրաչափական համակարգ։ Կամ հինգ եռաչափ տարածությունների համաչափ հատում։
Կամայական նիստին զուգահեռ ամենամոտ հարթությունը, որն ունի հինգ գագաթ՝ տվյալ նիստին չպատկանող, գտնվում է այս նիստին ներգծված շրջանագծի շառավղի երկարության վրա։ Եվ այս հինգ գագաթների շուրջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է շրջաններից մեկի տրամագծին։ Այս երկու մեծությունները համապատասխանաբար հավասար են՝ ${\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}a$ և ${\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}a$ , որտեղ $a$ –ն տասներկուանիստի կողի երկարությունն է։

Տասներկուանիստի համաչափության տարրեր

Տասներկուանիստն ունի համաչափության կենտրոն և համաչափության 15 առանցք:Առանցքներից յուրաքանչյուրն անցնում է հակառակ՝ զուգահեռ, կողերի միջնակետերով։
Տասներկուանիստն ունի 15 համաչափության հարթություն։ Համաչափության ցանկացած հարթություն յուրաքանչյուր նիստով անցնում է հակառակ՝ զուգահեռ, կողի գագաթով և միջնակետով։

Կապը գնդային մակերևույթի հետ

Կանոնավոր տասներկուանիստ առաջանում է նաև գնդի մակերևույթում՝ կանոնավոր հնգանկյուններով։

Օրթոգոնալ պրոյեկցիա^[en]	Ստերեոգրաֆիկ պրոյեկցիա

Հետաքրքիր փաստեր

Ռադիոլյարյան Circorrhegma dodecahedra- ն, որը նկարագրեց Էռնստ Հեկկե լը 1887 թվականին, ունի տասներկուանիստի մոտավոր տեսք^[9]։
2003 թվականին, WMAP տիեզերանավի տվյալների վերլուծության ժամանակ, առաջ քաշվեց վարկած, որ տիեզերքը Պուանկարեի տասներկուանիստ տարածություն է^[10]^[11]^[12]։

Մշակույթի մեջ

Տասներկուանիստը օգտագործվում է որպես պատահական թվերի գեներատոր (այլ զառերի հետ միասին) սեղանի դերախաղերում և նշվում է d12 (զառախաղ)։
Սեղանի օրացույցները պատրաստվում են թղթե տասներկուանիստի տեսքով, որտեղ տասներկու ամիսներից յուրաքանչյուրը գտնվում է կողերից մեկում^[13]։
Megaminx-ը նման է կուբիկ Ռուբիկի, միայն տասներկուանիստի նմանությամբ։ Ընդհանուր 62 մաս` 12 կենտրոն, 20 անկյուն և 30 կող։

Տես նաև

Ծանոթագրություններ

↑ Селиванов Д. Ф., (1890–1907). «Тело геометрическое». Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ). Սանկտ Պետերբուրգ.{{cite book}}: CS1 սպաս․ location missing publisher (link) CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link) CS1 սպաս․ հավելյալ կետադրություն (link)
↑ Stefano De' Stefani Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa(իտալ.) // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti : diario. — 1885-86. — С. 1437—1459. См. также изображение этого предмета в конце тома, стр. 709 файла со сканом
↑ Amelia Carolina Sparavigna An Etruscan Dodecahedron. — 1205.0706
↑ Платон. «Тимей»
↑ «Euclid's Elements. Book XIII. Proposition 17».
↑ ^6,0 ^6,1 Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
↑ Roger Herz-Fischler A Mathematical History of the Golden Number. — Courier Dover Publications, 2013. — С. 117—118.
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 Доказательство приведено в: Cobb, John W. (2005—2007). «The Dodecahedron» (անգլերեն). Վերցված է 2014 թ․ հունիսի 1-ին.
↑ В таблице XVII четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2
↑ «The optimal phase of the generalised Poincare dodecahedral space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps» (անգլերեն).
↑ «Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background» (անգլերեն).
↑ Jeffrey Weeks. «The Poincare Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations» (PDF) (անգլերեն). Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2012 թ․ նոյեմբերի 4-ին.
↑ A. T. White Graphs of Groups on Surfaces: Interactions and Models. — Elsevier, 2001. — P. 45. — 378 p. — ISBN 0-080-50758-1, 978-0-080-50758-3

Արտաքին հղումներ

[:0-1] Селиванов Д. Ф., (1890–1907). «Тело геометрическое». Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ). Սանկտ Պետերբուրգ.{{cite book}}: CS1 սպաս․ location missing publisher (link) CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link) CS1 սպաս․ հավելյալ կետադրություն (link)

[:1-2] Stefano De' Stefani Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa(իտալ.) // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti : diario. — 1885-86. — С. 1437—1459. См. также изображение этого предмета в конце тома, стр. 709 файла со сканом

[:2-3] Amelia Carolina Sparavigna An Etruscan Dodecahedron. — 1205.0706

[:3-4] Платон. «Тимей»

[:4-5] «Euclid's Elements. Book XIII. Proposition 17».

[Euclid-6] 6,0 ^6,1 Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.

[:5-7] Roger Herz-Fischler A Mathematical History of the Golden Number. — Courier Dover Publications, 2013. — С. 117—118.

[Dok-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 Доказательство приведено в: Cobb, John W. (2005—2007). «The Dodecahedron» (անգլերեն). Վերցված է 2014 թ․ հունիսի 1-ին.

[:6-9] В таблице XVII четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2

[:7-10] «The optimal phase of the generalised Poincare dodecahedral space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps» (անգլերեն).

[:8-11] «Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background» (անգլերեն).

[:9-12] Jeffrey Weeks. «The Poincare Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations» (PDF) (անգլերեն). Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2012 թ․ նոյեմբերի 4-ին.

[white-13] A. T. White Graphs of Groups on Surfaces: Interactions and Models. — Elsevier, 2001. — P. 45. — 378 p. — ISBN 0-080-50758-1, 978-0-080-50758-3

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]