Կանոնավոր հնգանկյուն

Կանոնավոր հնգանկյուն

Կանոնավոր հնգանկյուն (կամ պենտագրամ հուն․՝ πενταγωνον), երկրաչափական պատկեր, կանոնավոր բազմանկյուն, որն ունի հինգ կողմ։

Հատկություններ

Կանոնավոր հնգանկյան կառուցումը

• Կանոնավոր հնգանկյան անկյունը հավասար է․

$\alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {3}{5}}\cdot 180^{\circ }=108^{\circ }$

• Կարելի է հաշվել տրված հինգ բանաձևերից ցանկացածով․

$S={\frac {5}{4}}t^{2}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}={\frac {5}{12}}Rd={\frac {5}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{5}}=5r^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{5}}$,

որտեղ $R$-ը՝ արտագծած շրջանագծի շառվիղն է, $r$-ը՝ ներգծած շրջանագծի շառավիղը, $d$-ն անկյունագիծն է, $t$-ն կողմի երկարությունը։

• Կանոնվոր հնգանկյան բարձրությունը․

$h={\frac {\operatorname {tg} \,72^{\circ }}{2}}t={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}t\approx 1,539t$

• Անկյունագծերը նաև ներքին անկյան կիսորդներն են և միջնուղղահայացները։
• Անկյունագծի հարաբերությունը կողմին հավասար է «ոսկե հատմանը», այսինքն ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ թվին։

Ներգծված և արտագծված շրջանագծերի շառավիղները, բարձրությունը, կողմը, անկյունագիծը և մակերեսը կարելի է հաշվել առանց եռանկյունաչափական բանաձևերի օգտագործման։

• Կողմը․

$t=R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\approx 1{,}17557~R$

• Ներգծված շրջանագծի շառավիղը․

$r={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{10}}t\approx 0{,}688191~t$

• Արտագծված շրջանագծի շառավիղը․

$R={\frac {{\sqrt {1}}0{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{10}}t=({\sqrt {5}}-1)~r\approx 0{,}850651~t\approx 1{,}23607~r$

• Անկյունագիծը․

$d={\sqrt {\Phi {\sqrt {5}}}}R={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}t\approx 1{,}902~R\approx 1{,}618~t$

• Մակերեսը․

$S={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}\approx 1{,}72048~t^{2}$

• Կանոնավոր հնգանկյունով հնարավոր չէ լցնել հարթությունը առանց միջակայքերի։
• Կանոնավոր հնգանկյան մակերեսի հարաբերությունը այն հնգանկյան մակերեսին, որն առաջանում է սկզբնական հնգանկյան անկյունագծերի հատումից։

${\frac {S}{s}}=\Phi ^{4}=3\Phi +2={\frac {3{\sqrt {5}}+7}{2}}\approx 6{,}8541$

որտեղ $\Phi$ — ոսկե հատման հարաբերությունն է։

Կառուցում

Կանոնավոր հնգանկյան կառուցումը

Հնգանկյան կառուցման քանոնով և կարկինով այլընտրանքային ձև

Ահա տրված շրջանագծում կանոնավոր հնգանկյան կառուցման մեթոդներից։

Այն կարելի է կառուցել կամ կարկինով ու քանոնով, կամ շրջանագծին ներգծելով, կամ տրված կողմի հիմքի վրա։ Այս գործողությունը նկարագրվել է առաջին անգամ Ք․ա 300 թվականին Էվկլիդեսի «Սկզբունքներում»։

1. Կառուցեք շրջանագիծ, որի մեջ պիտի կառուցվի հնգանկյունը և նշանակեք կենտրոնը O տառով։ (Նկարի վրա կանաչ գույնով է)
2. Ընտրեք շրջանագծի վրա A կետը, որը հնգանկյան գագաթներից է լինելու։ Գծեք OA ուղիղը։
3. Կառուցեք OA ուղղին ուղղահայաց ուղիղ։ Շրջանագծի հետ հատման կետը նշանակեք B։
4. Կառուցեք OB հատվածի միջնակետը։
5. Կառուցեք շրջանագիծ, որն անցնի A կետով և C կենտրոնով, OB ուղղի հետ հատումը նշանակեք D-ով։
6. A կենտրոնով տարեք շրջանագիծ, որն անցնի D-ով։ Կանաչ շրջանագծի հետ հատման կետերը նշանակեք E և F։
7. Տարեք շրջանագիծ E կենտրոնով, որն անցնում է A: Հատումը կանաչ շրջանագծի հետ նշանակենք G:
8. Տարեք F կենտրոնով շրջանագիծ, որն անցնի A կետով։ Հատումը նշանակեք H կետով։
9. Կառուցեք AEGHF հնգանկյունը։

Հնգանկյուն հանգույց հարթ թղթի օգնությամբ

Ստացում հարթ թղթի օգնությամբ

Կանոնավոր հնգանկյուն կրելի է ստանալ հարթ թղթի շերտից հանգույց անելով։

Բնության մեջ

Պղնձի հարթ մակերևույթին 100—140 K -ում ջրային սառույցի առաջացումն ուսումնասիրումը ցույց տվեց, որ սկզբում մակերևույթի վրա առաջանում են 1 նմ լայնության մոլեկուլային շղթաներ, բայց ոչ թե վեցանկյան այլ հնգանկյան տեեսքով։

Հնգահամաչափություն բնության մեջ կարելի է հանդիպել մի շարք ծաղիկների և մրգերի մեջ՝ օրինակ, գերմանական զկեռ։ Կենդանիներից ծովային ասեղամորթները (օրինակ՝ ծովաստղը)։

• 
  Կենդանիներից հնգահամաչափ են ծովային ասեղամորթները (օրինակ՝ծովաստղը)։
• 
  Հնգահամաչափություն բնության մեջ կարելի է հանդիպել մի շարք ծաղիկների և մրգերի մեջ՝ օրինակ, գերմանական մուշմուլան։

Հետաքրքիր փաստեր

Պենտագոն

• Դոդեկաեդր միակ կանոնավոր բազմանիստն է, որի նիստերը կանոնավոր հնգանկյուններ են։
• Պենտագոնը` ԱՄՆ-ի Պաշտպանության նախարարության շենքն է, այն ունի կանոնավոր հնգանկյան ձև։
• Բնության մեջ չկան բյուրեղներ, որոնց նիստերը հնգանկյուն են։

Տես նաև

• Ոսկե հատում
• Հնգանկյուն
• Հնգանիստ
• ԽՍՀՄ որակի պետական նշան