Եռանկյան բարձրություն

Բարձրություններ տարբեր տեսակի եռանկյուններում

Եռանկյան բարձրություն, եռանկյան գագաթից հանդիպակաց կողմին կամ այն պարունակող ուղղին տարված ուղղահայաց։ Եռանկյան տեսակից կախված, բարձրությունը կարող է գտնվել եռանկյան ներսում(սուրանկյուն եռանկյան համար), համընկնել նրա կողմի հետ(ուղղանկյուն եռանկյան համար հանդիսանում է էջ), կամ անցնել եռանկյան արտաքին տիրույթով(բութանկյուն եռանկյան համար)։

Եռանկյան երեք բարձրությունների հատման կետի (օրթոկենտրոնի) հատկությունները

Եռանկյան բարձրություններ

Եռանկյան բարձրությունները հատվում են մեկ կետում, որը կոչվում է օրթոկենտրոն։ Այս պնդումը հեշտ է ապացուցել, կիրառելով ցանկացած $A,\ B,\ C,\ E$ կետերի (որոնց պատկանելիությունը միևնույն հարթությանը պարտադիր չէ) համար վեկտորական նույնությունը.

${\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0$

(Նույնության ապացուցման համար պետք է օգտվել

${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EB}}-{\overrightarrow {EA}},\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {EC}}-{\overrightarrow {EB}},\,{\overrightarrow {CA}}={\overrightarrow {EA}}-{\overrightarrow {EC}}$

բանաձևերից։ Որպես E կետ պետք է վերցնել եռանկյան երկու բարձրությունների հատման կետը։)

Հավասարասրուն եռանկյան բարձրությունների հատկությունները

• Եթե եռանկյան երկու բարձրությունները հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է (Շտեյներ-Լեմուսի թեորեմ), իսկ երրորդ բարձրությունը միաժամանակ հանդիսանում է այն անկյան կիսորդն ու միջնագիծը, որից այն դուրս է գալիս։
• Ճշմարիտ է և հակադարձը. հավասարասրուն եռանկյան երկու բարձրությունները հավասար են, իսկ երրորդ բարձրությունը միաժամանակ հանդիսանում է միջնագիծ և կիսորդ։
• Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր երեք բարձրությունները հավասար են։
• Հավասարասրուն եռանկյան՝ հիմքին հանդիպակաց անկյան գագաթից դուրս եկող բարձրությունը միջնագիծ է և կիսորդ։

Եռանկյան բարձրությունների հիմքերի հատկությունները

• Եռանկյան բարձրությունների հիմքերը կազմում են, այսպես կոչված, օրթոեռանկյուն, որն օժտված է սեփական հատկություններով։
• Օրթոեռանկյանն արտագծված շրջանագիծը Էյլերի շրջանագիծն է։ Այդ շրջանագծի վրա գտնվում են եռանկյան երեք կողմերի միջնակետերը և օրթոկենտրոնը եռանկյան գագաթներին միացնող երեք հատվածների միջնակետերը։
• Վերջին հատկության այլ ձևակերպում.
  • Էյլերի թեորեմը ինը կետերի շրջանագծի համար.

Ցանկացած եռանկյան երեք բարձրությունների հիմքերը, նրա երեք կողմերի միջնակետերը (միջնագծերիհիմքերը ) և օրթոկենտրոնը եռանկյան գագաթներին միացնող երեք հատվածների միջնակետերը գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա (ինը կետերի շրջանագծի վրա)։

• Թեորեմ։ Ցանկացած եռանկյան մեջ երկու բարձրությունների հիմքերը միացնող հատվածը առանձնացնում է տրվածին նման եռանկյուն

Եռանկյան բարձրությունների այլ հատկություններ

• Ոչ հավասարասրուն եռանկյան ներքին կիսորդը գտնվում է այն միջնագծի և բարձրության միջև, որոնք տարված են նույն գագաթից, ինչ այդ կիսորդը։
• Սուրանկյուն եռանկյան մեջ երկու բարձրություները նրանից առանձնացնում են նման եռանկյուններ։
• Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունն այդ եռանկյունը տրոհում են տրվածին նման երկու եռանկյունների։

Եռանկյան բարձրություններից փոքրագույնի հատկությունները

Եռանկյան բարձրություններից փոքրագույնն օժտված է մի շարք էքստրեմալ հատկություններով։Օրինակ.

• Եռանկյան հարթությանը պատկանող ուղիղների վրա եռանկյան օրթոգոնալ պրոյեկցիաներից փոքրագույնի երկարությունը հավասար է եռանկյան փոքրագույն բարձրությանը։
• Եռանկյան պարագծով երկու կետերի՝ միմյանց ընդառաջ անընդհատ շարժվելիս, նրանց մեծագույն հեռավորությունը առաջին հանդիպումից մինչև երկրորդը, չի կարող փոքր լինել եռանկյան փոքրագույն բարձրության երկարությունից։
• Եռանկյան փոքրագույն բարձրությունը միշտ անցնում է եռանկյան ներքին տիրույթով։

Հիմնական հարաբերակցություններ

• $h_{a}=b{\cdot }\sin \gamma =c{\cdot }\sin \beta ,$։
• $h_{a}={\frac {2{\cdot }S}{a}},$ որտեղ $S$ — եռանկյան մակերեսն է, $a$ — եռանկյան այն կողմի երկարությունն է, որին տարված է բարձրությունը։
• $h_{a}={\frac {b{\cdot }c}{2{\cdot }R}},$ որտեղ $b{\cdot }c$ - կողմնային կողերի արտադրյալն է, $R-$-ը՝ արտագծված շրջանագծի շառավիղը։
• $h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=(b{\cdot }c):(a{\cdot }c):(a{\cdot }b).$
• ${\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}$, որտեղ $r$ — ներգծյալ շրջանագծի շառավիղն է։
• $S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}$, որտեղ $S$ - ը եռանկյան մակերեսն է։
• $a={\frac {2}{h_{a}{\cdot }{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}}$, $a$ - եռանկյան կողմը, որին տարված է $h_{a}$ բարձրությունը։
• Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը.

$h_{c}={\frac {1}{2}}{\cdot }{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}},$

որտեղ $c$ — ն հիմքն է։

• $h=a{\cdot }{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ — հավասարակողմ եռանկյան բարձրություն։

Թեորեմ ուղղանկյուն եռանկյան բարձրության մասին

Եթե ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ուղիղ անկյան գագաթից տարված $h$ բարձրությունը $c$ ներքնաձիգը տրոհում է $b$ և $a$ էջերին համապատասխան $m$ և $n$ հատվածների, ապա ճշմարիտ են հետևյալ հավասարությունները.

• $h^{2}=n{\cdot }m$
• $a^{2}=c{\cdot }n$; $b^{2}=c{\cdot }m$
• $h{\cdot }c=a{\cdot }b$

Թեորեմ պրոյեկցիաների մասին

Թեորեմ պրոյեկցիաների մասին։ $c=a\cos \beta +b\cos \alpha ;\ a=b\cos \gamma +c\cos \beta ;\ b=c\cos \alpha +a\cos \gamma$. Պրոյեկցիաների մասին թեորեմից հետևում է, որ, օրինակ, $C$ գագաթից տարված բարձրությունը հանդիպակաց $c$ կողմը տրոհում է երկու մասի՝ $a\cos \beta$ և $b\cos \alpha$, հաշված $A$ գագաթից դեպի $B$-ն։

Տես նաև

• Եռանկյուն
• Ուղղանկյուն եռանկյուն
• Հավասարասրուն եռանկյուն
• Եռանկյան միջնագիծ
• Օրթոկենտրոն
• Կիսորդ