Պատահական պրոցես

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Գնդի մակերևույթի վրա Վիներյան կամ Բրոունյան շարժման պրոցեսի համակարգչային իրացում։ Վիներյան պրոցեսը համարվում է հավանականությունների տեսությունում ամենաուսումնասիրված և հիմնարար պատահական պրոցեսը[1][2][3]։

Հավանականությունների տեսությունում և առնչվող բնագավառներում պատահական, հավանականային կամ ստոխաստիկ պրոցեսը մաթեմատիկական օբյեկտ է, որը սովորաբար սահմանվում է որպես պատահական մեծությունների ընտանիք։ Պատմականորեն պատահական մեծությունները կապվել կամ ինդեքսավորվել են թվերի բազմությամբ և սովորաբար դիտարկվել են որպես ժամանակի կետեր՝ պատահական պրոցեսները մեկնաբանելով որպես ժամանակի ընթացքում ինչ-որ համակարգի պատահական փոփոխությունների թվային արժեքները ներկայացնեող մեծություններ (օրինակ՝ բակտերիաներ բնակչության աճ, ջերմային աղմուկի պատճառով էլեկտրական հոսանքի փոփոխություն կամ գազի մոլեկուլների շարժ)[1][4][5][6]։ Պատահական պրոցեսները լայնորեն կիրառվում են թվացիալ պատահական փոփոխվող համակարգերի կամ երևույթների մաթեմատիկական մոդելավորման համար։ Ունեն կիրառություններ բազմաթիվ բնագավառներում, ինչպես օրինակ՝ կենսաբանություն[7], Քիմիա[8], էկոլոգիա[9], նյարդագիտություն[10], ֆիզիկա[11], պատկերի թվային մշակում, ազդանշանի մշակում[12], ինֆորմացիայի տեսություն[13], ինֆորմատիկա[14], գաղտնագրություն[15] և հեռահաղորդակցություն[16]։ Բացի դա, ֆինանսական շուկայում թվացիալ պատահական փոփոխությունները հիմք են հանդիսացել ֆինանսներում պատահական պրոցեսների լայնորեն կիրառման համար[17][18][19]։

Կիրառությունները և երևույթների ուսումնասիրությունները դրդել են նոր պատահական պրոցեսների առաջարկների։ Նման պատահական պրոցեսների օրինակ է Վիներյան պրոցեսը կամ Բրաունյան շարժման պրոցեսը[Ն 1], որն օգտագործվել է Լուի Բաշելերը Փարիզի ֆոնդային բորսաում գնի փոփոխությունը ուսումնասիրելու համար[22] և Պուասոնի պրոցեսը, որն օգտագործել է Ա․ Կ․ Էրլանգը՝ որոշակի ժամանակահատվածում հեռախոսազանգերի քանակն ուսումնասիրելու համար[23]։ Այս պատահական պրոցեսները համարվում են պատահական պրոցեսների տեսության ամենակարևոր և հիմնական պրոցեսները[1][4][24] և մի քանի անգամ իրարից անկախ հայտնաբերվել են ինչպես նախքան Բաշելերը կամ Էրլանգը, այնպես էլ նրանցից հետո[22][25]։

Պատահական պրոցեսները նաև կոչվում են պատահական ֆունկցիա[26][27], քանի որ պատահական պրոցեսը կարելի է մեկնաբանել որպես ֆունկցիաների տարածությունում պատահական տարրեր[28][29]։ Պատահական պրոցես կամ ստոխաստիկ պրոցես եզրերը փոխարինելիորեն կիրառվում են առանց մաթեմատիկական տարածություն նշելու (պատահական մեծությունն ինդեքսավորող բազմության համար)[28][30]։ Բայց այս եզրերը հաճախ օգտագործվում են, երբ պատահական մեծությունները ինդեքսավորված են ամբողջ թվերով կամ միջակայքերով[5][30]։ Եթե պատահական մեծությունները ինդեքսավորված են Դեկարտյան հարթությամբ կամ այլ Էվկլիդյան տարածությամբ, ապա պատահական մեծությունների հավաքածում հաճախ կոչվում է պատահական դաշտ[5][31]։ Պատահական պրոցեսների արժեքները ոչ միշտ են թվեր․ դրանք կարող են լինել վեկտորներ կամ այլ մաթեմատիկական օբյեկտներ[5][29]։

Կախված իրենց մաթեմատիկական հատկություններից պատահական պրոցեսները կարող են խմբավորվել տարբեր կատեգորիաներում, որոնցից են պատահական քայլ[32], մարտինգալներ[33], Մարկովի շղթաներ[34], Լևիի պրոցեսներ[35], Գաուսյան պրոցեսներ[36], պատահական դաշտեր[37], վերսկսվող պրոցեսներ և ճյուղավորման պրոցեսներ[38]։ Պատահական պրոցեսներն ուսումնասիրելու համար օգտագործվում է հավանականությունների տեսությունից, մաթեմատիկական անալիզից (այդ թվում՝ իրական անալիզ, չափերի տեսություն, ֆուրեի անալիզ և ֆունկցիոնալ անալիզ[39][40][41]), գծային հանրահաշվից, բազմությունների տեսությունից և տոպոլոգիայից մաթեմատիկական գիտելիքներ և մեթոդներ[42][43][44]։ Պատահական պրոցեսների տեսությունը համարվում է կարևոր ներդրում մաթեմատիկայում[45] և շարունակում է մնալ ակտիվ հետազոտությունների առարկա՝ ինչպես կիրառության, այնպես էլ տեսական հետաքրքրության պատճառով[46][47][48]։

Ներածություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ստոխաստիկ կամ պատահական պրոցեսը կարելի է սահմանել որպես պատահական մեծությունների հավաքածու, որը ինդեքսավորված է որոշակի մաթեմատիկական բազմությամբ, այսինքն՝ պատահական պրոցեսի յուրաքանչյուր պատահական մեծությունը միակորեն կապված է բազմության որևէ տարրի հետ[4][5]։ Այս բազմությունը կոչվում է ինդեքսավորման բազմություն։ Պատմականորեն ինդեքսավորման բազմությունը եղել է իրական թվերի որևէ ենթաբազմություն, ինչպես օրինակ բնական թվերը՝ ինդեքսավորման բազմությանը ժամանակի մեկնաբանություն տալով[1]։ Հավաքածու յուրաքանչյուր պատահական մեծություն արժեքներ է ընդունում նույն տարածությունից, որը հայտնի է վիճակի տարածություն անվամբ։ Այս տարածությունը կարող են լինել ամբողջ թվերը, իրական թվերը կամ չափանի Էվկլիդյան տարածություն[1][5]։ Աճը այն չափն է, որով պատահական պորցեսը փոխվում է ինդեքսների արժեքների միջև (հաճախ մեկնաբանվում է որպես ժամանակի երկու կետ)[49][50]։ Պատահական պրոցեսը կարող են բազմաթիվ արդյունքներ ունենալ՝ իր պատահական լինելու պատճառով, իսկ պատահական պրոցեսի որևէ արդյունքը կոչում են իրացում[29][51]

A single computer-simulated sample function or realization, among other terms, of a three-dimensional Wiener or Brownian motion process for time 0 ≤ t ≤ 2. The index set of this stochastic process is the non-negative numbers, while its state space is three-dimensional Euclidean space.

Դասակարգում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պատահական պրոցեսները կարելի է դասակարգել տարբեր ձևերով, օրինակ՝ իր վիճակի տարածությամբ, իր ինդեքսավորման բազմությամբ կամ պատահաման մեծության հետ կապով։ Դասակարգման ընդունված տարբերակ է ինդեքսավորման բազմության և վիճակի տարածության հազորությամբ ինդեքսավորումը[52][53][54]։

Եթե երըպատահական պրոցեսի ինդեքսավորման բազմությունը ունի վերջավոր քանակությամբ կամ հաշվելի անդամներ, ինչպես օրիկնակ թվերի որևէ վերջավոր բազմություն, ամբողջ կամ բնական թվերի բազմությունը, և այն մեկնաբանվում է որպես ժամանակ, ապա ասում են, որ պատահական պրոցեսը տեղի է ունենում դիսկրետ ժամանակում[55][56]։ Նմանապես, եթե ինդեքսավորման բազմությունը իրական առանցքի որևէ միջակայք է և այն մեկնաբանվում է որպես ժամանակ, ապա ասում են, որ պատահական պրոցեսը տեղի է ունենում անընդհատ ժամանակում։ Այս երկու տեսակի տեսակի պատահական պրոցեսները համապատասխանաբար կոչվում են դիսկրետ և անընդհատ պարամետրով պատահական պրոցեսներ[49][57][58][59]։ Համարվում է, որ դիսկրետ պարամետրով պատահական պրոցեսները ավելի հեշտ է ուսումնասիրել, քանի որ անընդհատ պարամետրով պատահական պրոցեսները պահանջում են ավելի բարդ մաթեմատիկական գիտելիքներ, հիմնականում անհաշվելի ինդեքսավորման բազմության պատճառով[60][61]։ Եթե ինդեքսավորման բազմությունը ամբողջ թվերի բազմությունն է կամ դրա ինչ-որ ենթաբազմություն, ապա պատահական պրոցեսը նաև կոչում են պատահական հաջորդականություն[56]։

Եթե վիճակի տարածությունը ամբողջ կամ բնական թվերն են, ապա պատահական պրոցեսը կոչվում է դիսկրետ կամ ամբողջարժեքանի պատահական պրոցես։ Եթե վիճակի տարածությունը իրական առանցքն է, ապա պատահական պրոցեսը կոչվում է իրական անընդհատ վիճակի տարածությամբ պրոցես։ Եթե վիճակի տարածությունը չափանի Էվկլիդյան տարածությունն է, ապա պատահական պրոցեսը կոչվում է չափանի վեկտորական պրոցես[52][53]։

Տերմինաբանություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պատահական պրոցեսի սահմանումները տարբերվում են[62], բայց ավանդաբար պատահական պրոցեսը սահմանվում է որպես պատահական մեծությունների հավաքածու, որոնք ինդեքսավորված են որևէ բազմությամբ[63][64]Պատահական պրոցես և ստոխաստիկ պրոցես եզրերը համարվում են հոմանիշ և փոխարինելիորեն կիրառվում են առանց ինդեքսավորման բազմությունը շեշտելու[28][30][31][65][66][67]։ Կիրառվում են և՛ «հավաքածու»[29][65], և՛ «ընտանիք» եզրերը[4][68], իսկ «ինդեքսավորման բազմության» փոխարեն հաճախ կիրառվում է «պատամետրերի բազմություն»[29] կամ «պարամետրերի տարածություն»[31] եզրերը։

Պատահական ֆունկցիա եզրը նույնպես օգտագործվում է ստոխաստիկ կամ պատահական պրոցեսի փոխարեն[5][69][70] , չնայած այս անվանումը օգտագործվում է միայն այն դեպքում, երբ պատահական պրոցեսը ընդունում է իրական արժեքներ[29][68]։ Այս եզրը նաև օգտագործվում է, երբ ինդեքսավորման բազմությունը իրական թվերի տարբեր այլ մաթեմատիկական տարածություն է[5][71] , մինչդեռ ստոխաստիկ պրոցես կամ պատահական պրոցես եզրերը սովորաբար կիրառվում է, երբ ինդեքսավորման բազմությունը մեկնաբանվում է որպես ժամանակ[5][71][72][73]։ Երբ ինդեքսավորման բազմությունը չափանի Էվկլիդյան տարածություն է կամ որևէ բազմաձևություն, սովորաբար կիրառվում է պատահական դաշտ եզրը[5][29][31]։

Նշանակում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պատահական պրոցեսները նշանակվում են [57], [64], [74], կամ պարզապես կամ ձևով, չնայած նշանակումը համարվում է ֆունկցիայի նշանակման չարաշահում[75]։ Օրինակ՝ -ով կամ -ով նշանակում են ինդեքսով պատահական մեծությունը, ոչ թե ամբողջ պատահական պրոցեսը[74]։ Եթե ինդեքսավորման բազմություն էմ, ապա պատահական պրոցեսը կարելի է նշանակել ձևով[30]։

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բեռնուլիի պրոցես[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ամենապարզ պատահական պրոցեսներից մեկը Բեռնուլիի պրոցեսն է[76], որը անկախ և նույնական բաշխմամաբ պատահական մեծությունների հաջորդականություն է, որոնցից յուրաքանչյուրը ընդունում է մեկ կամ զրո արժեքը, համապատասխանաբար և հավանականությամբ։ Այս պրոցեսով կարելի է մոդելավորել մետաղադրամի պարբերաբար նետումը, որտեղ գիր ունենալու հավանականությունը իսկ գերբ ունենալու հավաբականությունը՝ [77]: Այլ կերպ ասած՝ Բեռնուլիի պրոցեսը անկախ և նույնական բաշխմամաբ Բեռնուլիի պատահական մեծությունների հաջորդականություն է[78], որտեղ մետաղադրամի յուրաքանչյուր նետումը Բեռնուլիի փորձի օրինակ է[79]։

Պատահական քայլ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պատահական քայլերը պատահական պորցեսներ են, որոնք սովորաբար սահմանվում են որպես իր անկախ և նույնական բաշխմամաբ պատահական մեծությունների կամ Էվկլիդյան տարածությունում պատահական վեկտորների գումար, այսինքն՝ այս պրոցեսները փոխվում են ժամանակում[80][81][82][83][84]։ Սակայն, որոշ հեղինակներ եզրը կիրառում են անընդհատ ժամանակում փոխվող պրոցեսների համար[85], մասնավորապես՝ ֆինանսներում գործածվող Վիներյան պրոցեսը, ինչը որոշ շփոթության և քննադատության առիթ է տվել[86]։ Գոյություն ունեն պատահական քայլերի այլ տարբերակներ՝ սահմանված այլ մաթեմատիկական օբյեկտների վիճակի տարածության վրա, ինչպես օրինակ՝ խմբերը կամ կավարներ, և ընդհանուր առմամաբ պատահական քայլերը լայնորեն ուսումնասիրվել և կիրառվում են տարբեր բնագավառներում[85][87]։

Պատահական քայլի դասական օրինակներից մեկը կոչվում է պարզ պատահական քայլ, որը դիսկրետ ժամանակում փոփոխվող պատահական պորցես է՝ սահմանված ամբողջ թվերի վիճակի տարածության վրա, և հիմնված է Բեռնուլիի պրոցեսի վրա, որտեղ կամայական Բեռնուլիի մեծություն ընդունում է դրական կամ բացասական մեկ արժեքը։ Այլ կարպ ասած՝ պարզ պատահական պրոցեսը տեղի է ունենում ամբողջ թվերում և դրա արժեքը աճում է մեկով հավանականությամբ կամ նվազում հավանականությամբ, հետևաբար՝ այս պատահական քայլի ինդեքսավորման բազմությունը բնական թվերն են, իսկ վիճակի տարածությունը՝ ամբողջ թվերը։ Եթե , ապա այս պատահական քայլը կոչվում է համաչափ պատահական քայլ[88][89]։

Նշումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. ↑ Բրաունյան շարժում եզրը կարող է վերաբերել ինչպես ֆիզիկական երևույթին, այնպես էլ պատահական պրոցեսին, բայց երկիմաստությունից խուսափելու համար այս հոդվածում մաթեմատիկական օբյեկտի համար օգտագործվում է Վիներյան պրոցես կամ Բրոունյան շարժման պրոցես եզրերը[20][21]։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Joseph L. Doob (1990)։ Stochastic processes։ Wiley։ էջեր 46, 47 
  2. ↑ L. C. G. Rogers, David Williams (2000)։ Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations։ Cambridge University Press։ էջ 1։ ISBN 978-1-107-71749-7 
  3. ↑ J. Michael Steele (2012)։ Stochastic Calculus and Financial Applications։ Springer Science & Business Media։ էջ 29։ ISBN 978-1-4684-9305-4 
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 Emanuel Parzen (2015)։ Stochastic Processes։ Courier Dover Publications։ էջեր 7, 8։ ISBN 978-0-486-79688-8 
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 Iosif Ilyich Gikhman, Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969)։ Introduction to the Theory of Random Processes։ Courier Corporation։ էջ 1։ ISBN 978-0-486-69387-3 
  6. ↑ Gagniuc Paul A. (2017)։ Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation։ NJ: John Wiley & Sons։ էջեր 1–235։ ISBN 978-1-119-38755-8 
  7. ↑ Paul C. Bressloff (2014)։ Stochastic Processes in Cell Biology։ Springer։ ISBN 978-3-319-08488-6 
  8. ↑ N.G. Van Kampen (2011)։ Stochastic Processes in Physics and Chemistry։ Elsevier։ ISBN 978-0-08-047536-3 
  9. ↑ Russell Lande, Steinar Engen, Bernt-Erik Sæther (2003)։ Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation։ Oxford University Press։ ISBN 978-0-19-852525-7 
  10. ↑ Carlo Laing, Gabriel J Lord (2010)։ Stochastic Methods in Neuroscience։ OUP Oxford։ ISBN 978-0-19-923507-0 
  11. ↑ Wolfgang Paul, Jörg Baschnagel (2013)։ Stochastic Processes: From Physics to Finance։ Springer Science & Business Media։ ISBN 978-3-319-00327-6 
  12. ↑ Edward R. Dougherty (1999)։ Random processes for image and signal processing։ SPIE Optical Engineering Press։ ISBN 978-0-8194-2513-3 
  13. ↑ Thomas M. Cover, Joy A. Thomas (2012)։ Elements of Information Theory։ John Wiley & Sons։ էջ 71։ ISBN 978-1-118-58577-1։ Արխիվացված է օրիգինալից 2020-05-29-ին։ Վերցված է 2020-08-06 
  14. ↑ Michael Baron (2015)։ Probability and Statistics for Computer Scientists, Second Edition։ CRC Press։ էջ 131։ ISBN 978-1-4987-6060-7 
  15. ↑ Jonathan Katz, Yehuda Lindell (2007)։ Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols։ CRC Press։ էջ 26։ ISBN 978-1-58488-586-3 
  16. ↑ François Baccelli, Bartlomiej Blaszczyszyn (2009)։ Stochastic Geometry and Wireless Networks։ Now Publishers Inc։ ISBN 978-1-60198-264-3 
  17. ↑ J. Michael Steele (2001)։ Stochastic Calculus and Financial Applications։ Springer Science & Business Media։ ISBN 978-0-387-95016-7 
  18. ↑ Marek Musiela, Marek Rutkowski (2006)։ Martingale Methods in Financial Modelling։ Springer Science & Business Media։ ISBN 978-3-540-26653-2 
  19. ↑ Steven E. Shreve (2004)։ Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models։ Springer Science & Business Media։ ISBN 978-0-387-40101-0 
  20. ↑ Iosif Ilyich Gikhman, Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969)։ Introduction to the Theory of Random Processes։ Courier Corporation։ ISBN 978-0-486-69387-3 
  21. ↑ Murray Rosenblatt (1962)։ Random Processes։ Oxford University Press 
  22. ↑ 22,0 22,1 Jarrow Robert, Protter Philip (2004)։ «A short history of stochastic integration and mathematical finance: the early years, 1880–1970»։ A Festschrift for Herman Rubin։ Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series։ էջեր 75–80։ ISBN 978-0-940600-61-4։ ISSN 0749-2170։ doi:10.1214/lnms/1196285381 
  23. ↑ Stirzaker David (2000)։ «Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary»։ The Mathematical Gazette 84 (500): 197–210։ ISSN 0025-5572։ JSTOR 3621649։ doi:10.2307/3621649 
  24. ↑ Donald L. Snyder, Michael I. Miller (2012)։ Random Point Processes in Time and Space։ Springer Science & Business Media։ էջ 32։ ISBN 978-1-4612-3166-0 
  25. ↑ Guttorp Peter, Thorarinsdottir Thordis L. (2012)։ «What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes»։ International Statistical Review 80 (2): 253–268։ ISSN 0306-7734։ doi:10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x 
  26. ↑ Gusak Dmytro, Kukush Alexander, Kulik Alexey, Mishura Yuliya, Pilipenko Andrey (2010)։ Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory։ Springer Science & Business Media։ էջ 21։ ISBN 978-0-387-87862-1 
  27. ↑ Valeriy Skorokhod (2005)։ Basic Principles and Applications of Probability Theory։ Springer Science & Business Media։ էջ 42։ ISBN 978-3-540-26312-8 
  28. ↑ 28,0 28,1 28,2 Olav Kallenberg (2002)։ Foundations of Modern Probability։ Springer Science & Business Media։ էջեր 24–25։ ISBN 978-0-387-95313-7 
  29. ↑ 29,0 29,1 29,2 29,3 29,4 29,5 29,6 John Lamperti (1977)։ Stochastic processes: a survey of the mathematical theory։ Springer-Verlag։ էջեր 1–2։ ISBN 978-3-540-90275-1 
  30. ↑ 30,0 30,1 30,2 30,3 Loïc Chaumont, Marc Yor (2012)։ Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning։ Cambridge University Press։ էջ 175։ ISBN 978-1-107-60655-5 
  31. ↑ 31,0 31,1 31,2 31,3 Robert J. Adler, Jonathan E. Taylor (2009)։ Random Fields and Geometry։ Springer Science & Business Media։ էջեր 7–8։ ISBN 978-0-387-48116-6 
  32. ↑ Gregory F. Lawler, Vlada Limic (2010)։ Random Walk: A Modern Introduction։ Cambridge University Press։ ISBN 978-1-139-48876-1 
  33. ↑ David Williams (1991)։ Probability with Martingales։ Cambridge University Press։ ISBN 978-0-521-40605-5 
  34. ↑ L. C. G. Rogers, David Williams (2000)։ Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations։ Cambridge University Press։ ISBN 978-1-107-71749-7 
  35. ↑ David Applebaum (2004)։ Lévy Processes and Stochastic Calculus։ Cambridge University Press։ ISBN 978-0-521-83263-2 
  36. ↑ Mikhail Lifshits (2012)։ Lectures on Gaussian Processes։ Springer Science & Business Media։ ISBN 978-3-642-24939-6 
  37. ↑ Robert J. Adler (2010)։ The Geometry of Random Fields։ SIAM։ ISBN 978-0-89871-693-1 
  38. ↑ Samuel Karlin, Howard E. Taylor (2012)։ A First Course in Stochastic Processes։ Academic Press։ ISBN 978-0-08-057041-9 
  39. ↑ Patrick Billingsley (2008)։ Probability and Measure։ Wiley India Pvt. Limited։ ISBN 978-81-265-1771-8 
  40. ↑ Pierre Brémaud (2014)։ Fourier Analysis and Stochastic Processes։ Springer։ ISBN 978-3-319-09590-5 
  41. ↑ Adam Bobrowski (2005)։ Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction։ Cambridge University Press։ ISBN 978-0-521-83166-6 
  42. ↑ Bruce Hajek (2015)։ Random Processes for Engineers։ Cambridge University Press։ ISBN 978-1-316-24124-0 
  43. ↑ G. Latouche, V. Ramaswami (1999)։ Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling։ SIAM։ ISBN 978-0-89871-425-8 
  44. ↑ D.J. Daley, David Vere-Jones (2007)։ An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure։ Springer Science & Business Media։ ISBN 978-0-387-21337-8 
  45. ↑ Applebaum David (2004)։ «Lévy processes: From probability to finance and quantum groups»։ Notices of the AMS 51 (11): 1336–1347 
  46. ↑ Jochen Blath, Peter Imkeller, Sylvie Rœlly (2011)։ Surveys in Stochastic Processes։ European Mathematical Society։ ISBN 978-3-03719-072-2 
  47. ↑ Michel Talagrand (2014)։ Upper and Lower Bounds for Stochastic Processes: Modern Methods and Classical Problems։ Springer Science & Business Media։ էջեր 4–։ ISBN 978-3-642-54075-2 
  48. ↑ Paul C. Bressloff (2014)։ Stochastic Processes in Cell Biology։ Springer։ էջեր vii–ix։ ISBN 978-3-319-08488-6 
  49. ↑ 49,0 49,1 Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ KarlinTaylor2012page27 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  50. ↑ Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ Applebaum2004page1337 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  51. ↑ Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ RogersWilliams2000page121b անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  52. ↑ 52,0 52,1 Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ Florescu2014page294 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  53. ↑ 53,0 53,1 Samuel Karlin, Howard E. Taylor (2012)։ A First Course in Stochastic Processes։ Academic Press։ էջ 26։ ISBN 978-0-08-057041-9 
  54. ↑ Donald L. Snyder, Michael I. Miller (2012)։ Random Point Processes in Time and Space։ Springer Science & Business Media։ էջեր 24, 25։ ISBN 978-1-4612-3166-0 
  55. ↑ Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ Billingsley2008page482 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  56. ↑ 56,0 56,1 Alexander A. Borovkov (2013)։ Probability Theory։ Springer Science & Business Media։ էջ 527։ ISBN 978-1-4471-5201-9 
  57. ↑ 57,0 57,1 Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ Brémaud2014page120 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  58. ↑ Jeffrey S Rosenthal (2006)։ A First Look at Rigorous Probability Theory։ World Scientific Publishing Co Inc։ էջեր 177–178։ ISBN 978-981-310-165-4 
  59. ↑ Համբարձումյան Գ․ Հ․ (1977)։ Հավանականությունների տեսություն։ Երևան: «Լույս» հրատարակչություն։ էջ 161 
  60. ↑ Peter E. Kloeden, Eckhard Platen (2013)։ Numerical Solution of Stochastic Differential Equations։ Springer Science & Business Media։ էջ 63։ ISBN 978-3-662-12616-5։ Արխիվացված է օրիգինալից 2020-05-29-ին։ Վերցված է 2020-08-07 
  61. ↑ Davar Khoshnevisan (2006)։ Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields։ Springer Science & Business Media։ էջեր 153–155։ ISBN 978-0-387-21631-7 
  62. ↑ Bert E. Fristedt, Lawrence F. Gray (2013)։ A Modern Approach to Probability Theory։ Springer Science & Business Media։ էջ 580։ ISBN 978-1-4899-2837-5 
  63. ↑ Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ RogersWilliams2000page121 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  64. ↑ 64,0 64,1 Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ Asmussen2003page408 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  65. ↑ 65,0 65,1 David Stirzaker (2005)։ Stochastic Processes and Models։ Oxford University Press։ էջ 45։ ISBN 978-0-19-856814-8 
  66. ↑ Murray Rosenblatt (1962)։ Random Processes։ Oxford University Press։ էջ 91 
  67. ↑ John A. Gubner (2006)։ Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers։ Cambridge University Press։ էջ 383։ ISBN 978-1-139-45717-0 
  68. ↑ 68,0 68,1 Kiyosi Itō (2006)։ Essentials of Stochastic Processes։ American Mathematical Soc.։ էջ 13։ ISBN 978-0-8218-3898-3 
  69. ↑ M. Loève (1978)։ Probability Theory II։ Springer Science & Business Media։ էջ 163։ ISBN 978-0-387-90262-3 
  70. ↑ Pierre Brémaud (2014)։ Fourier Analysis and Stochastic Processes։ Springer։ էջ 133։ ISBN 978-3-319-09590-5 
  71. ↑ 71,0 71,1 Gusak et al. (2010), p. 1
  72. ↑ Richard F. Bass (2011)։ Stochastic Processes։ Cambridge University Press։ էջ 1։ ISBN 978-1-139-50147-7 
  73. ↑ Համբարձումյան Գ․ Հ․ (1977)։ Հավանականությունների տեսություն։ Երևան: «Լույս» հրատարակչություն։ էջ 260 
  74. ↑ 74,0 74,1 John Lamperti (1977)։ Stochastic processes: a survey of the mathematical theory։ Springer-Verlag։ էջ 3։ ISBN 978-3-540-90275-1 
  75. ↑ Fima C. Klebaner (2005)։ Introduction to Stochastic Calculus with Applications։ Imperial College Press։ էջ 55։ ISBN 978-1-86094-555-7 
  76. ↑ Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ Florescu2014page293 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  77. ↑ Ionut Florescu (2014)։ Probability and Stochastic Processes։ John Wiley & Sons։ էջ 301։ ISBN 978-1-118-59320-2 
  78. ↑ Dimitri P. Bertsekas, John N. Tsitsiklis (2002)։ Introduction to Probability։ Athena Scientific։ էջ 273։ ISBN 978-1-886529-40-3 
  79. ↑ Oliver C. Ibe (2013)։ Elements of Random Walk and Diffusion Processes։ John Wiley & Sons։ էջ 11։ ISBN 978-1-118-61793-9 
  80. ↑ Achim Klenke (2013)։ Probability Theory: A Comprehensive Course։ Springer։ էջ 347։ ISBN 978-1-4471-5362-7 
  81. ↑ Gregory F. Lawler, Vlada Limic (2010)։ Random Walk: A Modern Introduction։ Cambridge University Press։ էջ 1։ ISBN 978-1-139-48876-1 
  82. ↑ Olav Kallenberg (2002)։ Foundations of Modern Probability։ Springer Science & Business Media։ էջ 136։ ISBN 978-0-387-95313-7 
  83. ↑ Ionut Florescu (2014)։ Probability and Stochastic Processes։ John Wiley & Sons։ էջ 383։ ISBN 978-1-118-59320-2 
  84. ↑ Rick Durrett (2010)։ Probability: Theory and Examples։ Cambridge University Press։ էջ 277։ ISBN 978-1-139-49113-6 
  85. ↑ 85,0 85,1 Weiss George H. (2006)։ «Random Walks»։ Encyclopedia of Statistical Sciences։ էջ 1։ ISBN 978-0471667193։ doi:10.1002/0471667196.ess2180.pub2 
  86. ↑ Aris Spanos (1999)։ Probability Theory and Statistical Inference: Econometric Modeling with Observational Data։ Cambridge University Press։ էջ 454։ ISBN 978-0-521-42408-0 
  87. ↑ Fima C. Klebaner (2005)։ Introduction to Stochastic Calculus with Applications։ Imperial College Press։ էջ 81։ ISBN 978-1-86094-555-7 
  88. ↑ Allan Gut (2012)։ Probability: A Graduate Course։ Springer Science & Business Media։ էջ 88։ ISBN 978-1-4614-4708-5 
  89. ↑ Geoffrey Grimmett, David Stirzaker (2001)։ Probability and Random Processes։ OUP Oxford։ էջ 71։ ISBN 978-0-19-857222-0 
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 9, էջ 145)։
Ստացված է «https://hy.wikipedia.org/w/index.php?title=Պատահական_պրոցես&oldid=8096266» էջից